2017高考文科数学一轮复习课件：第3章 导数及其应用 第1讲
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第二十六页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
利用导数的几何意义求曲线的切线问题的基本思路是设曲线 k切＝f′（x0）
在(x0，y0)处的切线为 l，则根据切点在切线l上，建立方程组 切点在曲线上
求解．
第二十七页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( C )
(2)设切点为(x0，x20)，由 y＝x2 得 y′＝2x. ∴2x0＝x20x＋0 1， 解得 x0＝1 或 x0＝－1. 当 x0＝1 时，切点为(1，1)，斜率 k＝y′|x＝1＝2. 切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1. 当 x0＝－1 时，切点为(－1，1)，斜率 k＝y′|x＝－1＝－2. 切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即 y＝－2x－1. 综上，所求切线方程为 y＝2x－1 或 y＝－2x－1.
第一页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第三章 导数及其应用
第1讲 变化率与导数、导数的运算
第二页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第三章 导数及其应用
考纲展示
考情呈现
1.了解导数概念的实际背景
2．通过函数图象直观理解导数 的几何意义 3．能根据导数的定义求函数y＝ C(C为常数)，y＝x，y＝1x，
1.考查频数：5年5考 2．考查题型：选择 题、填空题、解答题 3．试题难度：中、难
y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数
第三页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
考纲展示
第三章 导数及其应用
考情呈现
4．能利用以下给出的基本初等函数的导
数公式和导数的四则运算法则求简单函数
的导数．
4．高频考
·常见的基本初等函数的导数公式：
解析：在 x＝4 的瞬时变化率为
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
f（4＋ΔxΔ）x－f（4）＝Δlxim→0[(Δx)＋1]＝1，故选 C.
第十二页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
2 ． ( 选 修 1 － 1 P77 内 文 改 编 ) 若 函 数 f(x) 满 足
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝2.则
两条曲线的公切线
(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1) 处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝___8_____． [解析] 因为 y＝x＋ln x， 所以 y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2. 所以曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x－ 1)，即 y＝2x－1.
即 x－y＋1＝0，故选 B.
第二十三页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
2．直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点 A(1，2)，
则 ab＝( A )
A．－8
B．－6
C．－1
D．0
解析：由题意得 y＝kx＋1 过点 A(1，2)，
∴2＝k＋1，即 k＝1.
对于曲线 y＝x3＋ax＋b 有 y′＝3x2＋a，
意义求曲线的切 线方程并利用曲
u′（x）v（x）－u（x）v′（x）
线的切线方程求
v2（x）
(v(x)≠0) 解相关的问题
第五页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
Δy Δx＝
f（x0＋Δx）－f（x0）
第二十一页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
(1)求曲线切线方程的步骤： ①求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)求曲线切线方程需注意两点： ①当曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导 数不存在)时，切线方程为 x＝x0； ②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再利用两点 连线的斜率等于切点的导数值求解．
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax f(x)＝ex
f′(x)＝axln a f′(x)＝ ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝xln1 a
1
f′(x)＝ x
第八页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (3)gf（（xx））′＝f′（x）g（x[g）（－x）f（]2x）g′（x）(g(x)≠0)．
Δx
，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0
处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝
Δy Δx＝
f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
.
第六页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
(2)导数的几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处 的切线的 斜率 ．
f（x0＋2Δx）－f（x0） Δx
＝( B )
A．2
B．4
C．12
D．－2 f（x0＋2Δx）－f（x0）
解析： lim
Δx
Δx→0
2[f（x0＋2Δx）－f（x0）]
＝ lim Δx→0
2Δx
＝2f′(x0)＝4，故选 B.
第十三页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
3．(选修 1－1 P80 A 组 T6 改编)函数 y＝f(x)的图象如图，则 导函数 f′(x)的大致图象为( B )
第十八页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
导数的几何意义
(1)[曲线在某点处的切线方程](2015·高考全国卷Ⅰ)已 知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2， 7)，则 a＝__1______． (2)[过某点的曲线的切线方程]过点(0，－1)且与曲线 y＝x2 相 切的切线方程为_y_＝__2_x_－__1_或_y_＝__－__2_x_－__1_____．
(3)函数 f(x)的导函数
称函数 f′(x)＝
f（x＋ΔxΔ）x －f（x）为 f(x)的 导函数 ．
第七页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1(n∈Q*)
f(x)＝sin x
第四页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第三章 导数及其应用
考纲展示
考情呈现
·常用的导数运算法则：
5．考查能力：
法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
求函数的导数和
法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x) 利用导数的几何
法则3：uv（（xx））′＝
A．e
B．－e
C．1e
D．－1e
解析： y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则
k＝f′(x0)，
∴切线方程为 y－y0＝x10(x－x0)，又切线过点(0，0)，代入切 线方程得 x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝x10＝1e.
第二十八页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
第十四页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
解析：由原图知可设 y＝f(x)＝kx＋b(k＜0)．
则 f′(x)＝
f（x＋Δx）－f（x）
lim
Δx→0
Δx
＝Δlxim→0k（x＋Δx）Δx＋b－kx－b＝k＜0，故选 B.
第十五页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
4．(选修 1－1 P85 A 组 T5 改编)已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0) ＝4，则 x0＝___3_____． 解析：∵f′(x)＝－8＋4x， ∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4， 解得 x0＝3.
点：求函数
(C)′＝0(C为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈N＋)； 的导数和求
(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；
曲线的切线
(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)； 方程
(ln x)′＝1x；(logax)′＝1xlogae(a＞0，且a≠1)
第十页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
1．(选修 1－1 P75 例 1 改编)将原油精炼为汽油的过程中，需
要对原油进行冷却，已知在第 x 小时，原油的温度(℃)为 f(x)
＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．则第 4 小时，原油温度的瞬时变化
率为( C )
A．－3
B．3
C．1
D．－1
第十一页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第二十九页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
因为 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切， 所以 a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行)． 由yy＝ ＝2axx－ 2＋1（，a＋2）x＋1，消去 y， 得 ax2＋ax＋2＝0.由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8.
第十六页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
5．(选修 1－1 P85 A 组 T6 改编)函数 y＝xln x 与 x 轴的交点为 P，则曲线 y＝xln x 在点 P 处的切线方程为_y＝__x_－__1__． 解析：由 y＝0 得 xln x＝0，即 x＝1， ∴P 点的坐标为(1，0)． 又 y′＝ln x＋1， ∴曲线在点 P 处的切线斜率为 y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.故切线方程为 y＝x－1.
第十九页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
[解析] (1)因为 f′(x)＝3ax2＋1， 所以 f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， 所以切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 因为切线过点(2，7)， 所以 7－(a＋2)＝3a＋1， 解得 a＝1.
第二十页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第二十五页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
导数的几何意义的综合应用
(2015·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)＝x3＋ax＋14， 当 a 为何值时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线． [解] 设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0，0)， 则 f(x0)＝0，f′(x0)＝0，即 x330x＋02＋axa0＝＋014，＝0，解得xa0＝＝－12，34. 因此，当 a＝－34时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线．
第十七页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
导数的运算
(1)求函数 f(x)＝2ln x＋3x2－2x＋4 的导数． (2)求函数 f(x)＝scions2xx的导数． [解] (1)f′(x)＝2·1x＋3×2x－2＝2x＋6x－2＝6x2－x2x＋2； (2)∵f(x)＝scions2xx＝2sincoxscxos x＝2sin x， ∴f′(x)＝(2sin x)′＝2cos x.
第九页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
导数的运算技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复 合运算的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化 为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价 性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分 式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然 后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先 考虑利用三角公式进行化简后再求导．
又∵直线 y＝kx＋1 与曲线相切于点(1，2)，
∴y′＝k，且 y′|x＝1＝3＋a，即 1＝3＋a， ∴a＝－2，代入曲线方程 y＝x3＋ax＋b，可解得 b＝3.
∴ab＝(－2)3＝－8.
第二十四页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
3．曲线 y＝aln x(a>0)在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成的三 角形的面积为 4，则 a＝____8____． 解析：∵y＝aln x，∴y′＝ax， ∴在 x＝1 处的切线的斜率 k＝a，而 f(1)＝aln 1＝0，故切点 为(1，0)，∴切线方程为 y＝a(x－1)， ∴12×a×1＝4，∴a＝8.
第二十二页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
1．曲线 y＝x3－2x＋3 在 x＝1 处的切线 l 的方程为( B )
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－3＝0
D．x＋y＋3＝0
解析：由 y＝x3－2x＋3，得 y′＝3x2－2.
当 x＝1 时，y＝2，y′|x＝1＝1. ∴曲线在 x＝1 处的切线方程为 y－2＝x－1，
利用导数的几何意义求曲线的切线问题的基本思路是设曲线 k切＝f′（x0）
在(x0，y0)处的切线为 l，则根据切点在切线l上，建立方程组 切点在曲线上
求解．
第二十七页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( C )
(2)设切点为(x0，x20)，由 y＝x2 得 y′＝2x. ∴2x0＝x20x＋0 1， 解得 x0＝1 或 x0＝－1. 当 x0＝1 时，切点为(1，1)，斜率 k＝y′|x＝1＝2. 切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1. 当 x0＝－1 时，切点为(－1，1)，斜率 k＝y′|x＝－1＝－2. 切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即 y＝－2x－1. 综上，所求切线方程为 y＝2x－1 或 y＝－2x－1.
第一页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第三章 导数及其应用
第1讲 变化率与导数、导数的运算
第二页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第三章 导数及其应用
考纲展示
考情呈现
1.了解导数概念的实际背景
2．通过函数图象直观理解导数 的几何意义 3．能根据导数的定义求函数y＝ C(C为常数)，y＝x，y＝1x，
1.考查频数：5年5考 2．考查题型：选择 题、填空题、解答题 3．试题难度：中、难
y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数
第三页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
考纲展示
第三章 导数及其应用
考情呈现
4．能利用以下给出的基本初等函数的导
数公式和导数的四则运算法则求简单函数
的导数．
4．高频考
·常见的基本初等函数的导数公式：
解析：在 x＝4 的瞬时变化率为
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
f（4＋ΔxΔ）x－f（4）＝Δlxim→0[(Δx)＋1]＝1，故选 C.
第十二页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
2 ． ( 选 修 1 － 1 P77 内 文 改 编 ) 若 函 数 f(x) 满 足
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝2.则
两条曲线的公切线
(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1) 处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝___8_____． [解析] 因为 y＝x＋ln x， 所以 y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2. 所以曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x－ 1)，即 y＝2x－1.
即 x－y＋1＝0，故选 B.
第二十三页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
2．直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点 A(1，2)，
则 ab＝( A )
A．－8
B．－6
C．－1
D．0
解析：由题意得 y＝kx＋1 过点 A(1，2)，
∴2＝k＋1，即 k＝1.
对于曲线 y＝x3＋ax＋b 有 y′＝3x2＋a，
意义求曲线的切 线方程并利用曲
u′（x）v（x）－u（x）v′（x）
线的切线方程求
v2（x）
(v(x)≠0) 解相关的问题
第五页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
Δy Δx＝
f（x0＋Δx）－f（x0）
第二十一页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
(1)求曲线切线方程的步骤： ①求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)求曲线切线方程需注意两点： ①当曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导 数不存在)时，切线方程为 x＝x0； ②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再利用两点 连线的斜率等于切点的导数值求解．
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax f(x)＝ex
f′(x)＝axln a f′(x)＝ ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝xln1 a
1
f′(x)＝ x
第八页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (3)gf（（xx））′＝f′（x）g（x[g）（－x）f（]2x）g′（x）(g(x)≠0)．
Δx
，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0
处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝
Δy Δx＝
f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
.
第六页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
(2)导数的几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处 的切线的 斜率 ．
f（x0＋2Δx）－f（x0） Δx
＝( B )
A．2
B．4
C．12
D．－2 f（x0＋2Δx）－f（x0）
解析： lim
Δx
Δx→0
2[f（x0＋2Δx）－f（x0）]
＝ lim Δx→0
2Δx
＝2f′(x0)＝4，故选 B.
第十三页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
3．(选修 1－1 P80 A 组 T6 改编)函数 y＝f(x)的图象如图，则 导函数 f′(x)的大致图象为( B )
第十八页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
导数的几何意义
(1)[曲线在某点处的切线方程](2015·高考全国卷Ⅰ)已 知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2， 7)，则 a＝__1______． (2)[过某点的曲线的切线方程]过点(0，－1)且与曲线 y＝x2 相 切的切线方程为_y_＝__2_x_－__1_或_y_＝__－__2_x_－__1_____．
(3)函数 f(x)的导函数
称函数 f′(x)＝
f（x＋ΔxΔ）x －f（x）为 f(x)的 导函数 ．
第七页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1(n∈Q*)
f(x)＝sin x
第四页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第三章 导数及其应用
考纲展示
考情呈现
·常用的导数运算法则：
5．考查能力：
法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
求函数的导数和
法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x) 利用导数的几何
法则3：uv（（xx））′＝
A．e
B．－e
C．1e
D．－1e
解析： y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则
k＝f′(x0)，
∴切线方程为 y－y0＝x10(x－x0)，又切线过点(0，0)，代入切 线方程得 x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝x10＝1e.
第二十八页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
第十四页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
解析：由原图知可设 y＝f(x)＝kx＋b(k＜0)．
则 f′(x)＝
f（x＋Δx）－f（x）
lim
Δx→0
Δx
＝Δlxim→0k（x＋Δx）Δx＋b－kx－b＝k＜0，故选 B.
第十五页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
4．(选修 1－1 P85 A 组 T5 改编)已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0) ＝4，则 x0＝___3_____． 解析：∵f′(x)＝－8＋4x， ∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4， 解得 x0＝3.
点：求函数
(C)′＝0(C为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈N＋)； 的导数和求
(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；
曲线的切线
(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)； 方程
(ln x)′＝1x；(logax)′＝1xlogae(a＞0，且a≠1)
第十页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
1．(选修 1－1 P75 例 1 改编)将原油精炼为汽油的过程中，需
要对原油进行冷却，已知在第 x 小时，原油的温度(℃)为 f(x)
＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．则第 4 小时，原油温度的瞬时变化
率为( C )
A．－3
B．3
C．1
D．－1
第十一页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第二十九页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
因为 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切， 所以 a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行)． 由yy＝ ＝2axx－ 2＋1（，a＋2）x＋1，消去 y， 得 ax2＋ax＋2＝0.由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8.
第十六页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
5．(选修 1－1 P85 A 组 T6 改编)函数 y＝xln x 与 x 轴的交点为 P，则曲线 y＝xln x 在点 P 处的切线方程为_y＝__x_－__1__． 解析：由 y＝0 得 xln x＝0，即 x＝1， ∴P 点的坐标为(1，0)． 又 y′＝ln x＋1， ∴曲线在点 P 处的切线斜率为 y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.故切线方程为 y＝x－1.
第十九页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
[解析] (1)因为 f′(x)＝3ax2＋1， 所以 f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， 所以切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 因为切线过点(2，7)， 所以 7－(a＋2)＝3a＋1， 解得 a＝1.
第二十页，编辑于星期六：二十一点 五十二分。
第二十五页，编辑于星期六：二十一点 五十二 分。
导数的几何意义的综合应用
(2015·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)＝x3＋ax＋14， 当 a 为何值时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线． [解] 设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0，0)， 则 f(x0)＝0，f′(x0)＝0，即 x330x＋02＋axa0＝＋014，＝0，解得xa0＝＝－12，34. 因此，当 a＝－34时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线．
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导数的运算
(1)求函数 f(x)＝2ln x＋3x2－2x＋4 的导数． (2)求函数 f(x)＝scions2xx的导数． [解] (1)f′(x)＝2·1x＋3×2x－2＝2x＋6x－2＝6x2－x2x＋2； (2)∵f(x)＝scions2xx＝2sincoxscxos x＝2sin x， ∴f′(x)＝(2sin x)′＝2cos x.
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导数的运算技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复 合运算的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化 为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价 性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分 式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然 后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先 考虑利用三角公式进行化简后再求导．
又∵直线 y＝kx＋1 与曲线相切于点(1，2)，
∴y′＝k，且 y′|x＝1＝3＋a，即 1＝3＋a， ∴a＝－2，代入曲线方程 y＝x3＋ax＋b，可解得 b＝3.
∴ab＝(－2)3＝－8.
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3．曲线 y＝aln x(a>0)在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成的三 角形的面积为 4，则 a＝____8____． 解析：∵y＝aln x，∴y′＝ax， ∴在 x＝1 处的切线的斜率 k＝a，而 f(1)＝aln 1＝0，故切点 为(1，0)，∴切线方程为 y＝a(x－1)， ∴12×a×1＝4，∴a＝8.
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1．曲线 y＝x3－2x＋3 在 x＝1 处的切线 l 的方程为( B )
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－3＝0
D．x＋y＋3＝0
解析：由 y＝x3－2x＋3，得 y′＝3x2－2.
当 x＝1 时，y＝2，y′|x＝1＝1. ∴曲线在 x＝1 处的切线方程为 y－2＝x－1，