江苏高二高中数学月考试卷带答案解析

江苏高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.若A （－2,3），B （3，－2），C 三点共线，则m 的值为 ．
2.过两点A
，B
的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝ ．
3.过点（1,0）且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是 ．
4.直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为（1，－1），则直线l 的斜率为 ．
5.过点P （3，6）且被圆x 2+y 2=25截得的弦长为8的直线方程为 ．
6.直线xcos α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是 ．
7.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ．
8.若直线始终平分圆的圆周，则
的最小值为 ．
9.点在直线
上，则
的最小值是 ．
10.由直线
上的点向圆
引切线，则切线长的最小值为 ．
11.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ．
12.过点A （4,1）的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为 ． 13.在圆内，过点
有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若
公差
，那么n 的取值集合 ．
14.若实数a,b,c 成等差数列，点P （-3,2）在动直线ax+by+c=0上的射影为H ，点Q （3,3），则线段QH 的最大值为 ．
二、解答题
1.已知直线经过点A ，求：
（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．
2.已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
（1）求圆的方程； （2）设直线与圆相交于A,B 两点，求实数的取值范围．
3.已知实数x,y 满足
求：（1）z ＝x ＋2y －4的最大值； （2）z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； （3）z ＝
的取值范围．
4.已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0． （1）m 取何值时两圆外切？ （2）m 取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
5.已知方程x 2+y 2-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且（其中O为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
6.已知圆M的方程为x 2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
江苏高二高中数学月考试卷答案及解析
一、填空题
1.若A（－2,3），B（3，－2），C三点共线，则m的值为．
【答案】
【解析】由三点共线可知
【考点】直线斜率
2.过两点A，B的直线l的倾斜角为45°，则m＝．
【答案】－2
【解析】连结两点的直线斜率为
【考点】直线斜率和倾斜角
3.过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是．
【答案】
【解析】直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线为
【考点】直线方程
4.直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为（1，－1），则直线l的斜率
为．
【答案】
【解析】设，PQ中点为M，
根据中点坐标公式得：
∵P点在x-y-7=0上，
解得；
∴P点坐标为（4，-3），Q点坐标为（-2，1）；
∴由斜率公式
【考点】直线的斜率．
5.过点P（3，6）且被圆x 2+y 2=25截得的弦长为8的直线方程为．
【答案】3x-4y+15=0和x=3
【解析】当直线斜率不存在时，直线为，交点为，满足弦长为8，当斜率存在时，设直线为
，由弦长为8可知圆心到直线的距离为3，，直线为3x-4y+15=0
【考点】直线与圆相交的弦长问题
6.直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是．
【答案】
【解析】直线斜率为，所以倾斜角范围
【考点】直线斜率和倾斜角
7.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是．
【答案】
【解析】直线过点时斜率为，过点时斜率为，结合图像可知斜率范围是
【考点】直线斜率
8.若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为．
【答案】4
【解析】的圆心为，代入直线得
，当且仅当时等号成立，所以最小值为4
【考点】均值不等式求最值
9.点在直线上，则的最小值是．
【答案】8
【解析】点在直线上，由得，最小值为8
【考点】不等式性质
10.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为
，所以切线长的最小值为
【考点】直线与圆相切的弦长问题
11.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是．
【答案】
【解析】圆可化为，∴圆心坐标为M（2，2），半径为，所求的圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，∴圆心M到直线l的距离d 应小于等于2，即，，所以直线的斜率的范围是，倾斜角范围
【考点】直线与圆相交的相关问题
12.过点A （4,1）的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为 ． 【答案】
【解析】设圆的方程为，解方程得，所以圆的方程为
【考点】圆的方程 13.在圆内，过点
有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若
公差
，那么n 的取值集合 ．
【答案】{4，5，6} 【解析】：∵圆的方程为，化成圆的标准方程为：
，
由此可以知道圆心：圆的半径为
，利用圆的性质可以知道最短弦应为过已知定点与圆心连线垂直的弦最
短，由此得
，最长弦为过定点的圆的直径
，
，
【考点】1．直线与圆相交的弦长问题；2．等差数列
14.若实数a,b,c 成等差数列，点P （-3,2）在动直线ax+by+c=0上的射影为H ，点Q （3,3），则线段QH 的最大值为 ． 【答案】
【解析】：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b=a+c ，即a-2b+c=0，∴直线ax+by+c=0恒过A （1，-2）； 又点P （-3，2）在动直线ax+by+c=0上的射影为H ，∴∠PHA=90°，∴H 在以PA 为直径的圆上，如图所示；
且此圆的圆心B 的坐标为，即B （-1，0），
半径
；
又Q （3，3），∴
，∴|QH|max=
，即线段QH 的最大值为
【考点】1．等差数列；2．直线与圆相交的问题
二、解答题
1.已知直线经过点A ，求：
（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程． 【答案】（1）（2）
【解析】（1）当直线过原点时，方程为 y=3x ，当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k ，把点（1，3）代入直线的方程可得k 值，即得所求的直线方程；（2）设直线方程为：，根据三角形的面积公
式和基本不等式即可求出最值，继而得到直线方程 试题解析：（1）若直线的截距为，则直线方程为
；
若直线的截距不为零，则可设直线方程为：，由题设有
，所以直线方程为：，
综上，所求直线的方程为。

（2）设直线方程为：，，而面积，
又由得，
等号当且仅当成立，即当时，面积最小为12
所求直线方程为
【考点】直线方程
2.已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于A,B两点，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设圆心为M（m，0），m∈z，根据圆与直线4x+3y-29=0相切，可得，求得m的
值，可得所求的圆的方程；（2）把直线ax-y+5=0（a＞0）代入圆的方程可得，再由△＞0，求得a的范围
试题解析：（1）设圆心为。

由于圆与直线相切，且半径为5，
所以因为m为整数，故m=1。

故所求圆的方程为。

（2）把直线代入圆的方程，
消去y整理，得。

由于直线交圆于A，B两点，故。

即，由于，解得。

所以实数的取值范围是。

【考点】1．圆的标准方程；2．直线与圆的位置关系
3.已知实数x,y满足
求：（1）z＝x＋2y－4的最大值；
（2）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
（3）z＝的取值范围．
【答案】（1）21；（2）；（3）
【解析】（1）画出约束条件表示的可行域，推出目标函数z=3x-2y经过的点，求出最大值．（2）通过表达式的几何意义，转化为两点间的距离，判断最小值时的位置求出最值即可；（3）所求式子转化为连结点
的斜率，结合可行域可求得其范围
试题解析：作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A（1,3）、B（3,1）、C（7,9）．（5分）
（1）易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，将点C（7,9）代入z得最大值为21．（2）z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋（y－5）2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0,5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，
故z 的最小值是|MN|2＝．
（3）z ＝2×表示可行域内任一点（x ，y ）与定点Q 连线的斜率的两倍，
因此k QA ＝，k QB ＝，
故z 的范围为
【考点】简单线性规划
4.已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0． （1）m 取何值时两圆外切？ （2）m 取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】（1）（2）（3）直线方程为 4x+3y-23=0，弦长为
【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m 的值；（2）由两圆的圆心距
等于两圆的半径之差为
，求得m 的
值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d ，再利用弦长公式求得弦长
试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m ， 两圆的圆心距d= =5，两圆的半径之和为 +
，
由两圆的半径之和为 +
=5，可得 m=
．
（2）由两圆的圆心距d=
="5" 等于两圆的半径之差为|
-
|，
即| - |=5，可得 - ="5" （舍去），或 - =-5，解得m=
．
（3）当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2
+（y-6）2=16， 把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0． 第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d==2，可得弦长为
【考点】1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题
5.已知方程x 2+y 2-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M ，N 两点，且 （其中O 为坐标原点）求m 的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 【答案】（1）m ＜5；（2）；（3）
【解析】（1）将x 2+y 2-2x-4y+m=0转化为：，由方程表示圆，则有5-m ＞0．
（2）由
先将直线与圆方程的联立，由相交于两点，则有
，又
，得出
，由韦达定理求解；（3）线段的中点为圆心，圆心到端点的距离为半径，从而求得结论
试题解析：（1）x 2+y 2-2x-4y+m=0即（x-1）2+（y-2）2=5-m （2分） 若此方程表示圆，则5-m ＞0∴m ＜5 （2）
x=4-2y 代入得5y 2-16y+8+m="0"
∵△=（-16）2-4×5×（8+m ）＞0 ∴，
∵
得出：x 1x 2+y 1y 2=0而x 1x 2=（4-2y 1）•（4-2y 2）=16-8（y 1+y 2）+4y 1y 2
∴5y 1y 2-8（y 1+y 2）+16=0，∴
满足
故的m 值为 ．
（3）设圆心为（a ，b ），且O 点为以MN 为直径的圆上的点
,
半径圆的方程
【考点】1．直线与圆相交的性质；2．二元二次方程表示圆的条件
6.已知圆M的方程为x 2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【答案】（1）或（2）x+y-3=0或x+7y-9=0（3）详见解析
【解析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标;（2）设直线CD的方程为：y-1=k
（x-2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得;（3）设P（2m，m），MP的中点，
因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的
方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标
试题解析：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m-2）2=4，
解之得：，
故所求点P的坐标为P（0，0）或．
（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），易知k存在，
由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，
解得，k=-1或，故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0．
（3）设P（2m，m），MP的中点，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：
化简得：x 2+y 2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故x 2+y 2-2y=0且（2x+y-2）=0，
解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或
【考点】圆方程的综合运用。