高中教育数学必修第二册湘教版《4.4.2.2 平面与平面垂直的性质》教学课件
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答案：BC
易错警示
易错原因
纠错心得
D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不
对平面与平面垂直 同的，即“两个平面垂直，则一个平面内垂直
的条件把握不准确，于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平
很容易认为D正确，面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂
导致错选为BCD. 线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关
答案：C
解析：直线a与直线b均不一定垂直两面的交线．
3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
答案：D
解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能．
4.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的 位置关系是 平行 ．
易错辨析 平面与平面垂直的条件把握不准确致误 例3 （多选）已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有（ ） A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直 D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一 个平面
2.已知平面α，β及直线a满足α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则
（）
A．a⊂β
B．a⊥β
C．a∥β
D．a与β相交但不垂直
答案：B
解析：由题意，α中存在直线b，b∥a，因为a⊥AB，所以b⊥AB，因为α⊥β，α∩ β＝AB，所以b⊥β，因为 b∥a，所以a⊥β.
3.已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是（ ） A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面 ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又因为平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SCD. 又因为BC⊂平面SBC，所以平面S1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β， 则应增加的条件是（ ） A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α
答案：B
解析：根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩ β＝m，n⊂α，应增 加条件n⊥m，才能使n⊥β.
（2）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.（ × ） （3）若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α.（ √ ） （4）三个两两垂直的平面的交线两两垂直．（ √ ）
2.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个 平面内的一条直线b，那么（ ）
A．直线a垂直于第二个平面 B．直线b垂直于第一个平面 C．直线a不一定垂直于第二个平面 D．过a的平面必垂直于过b的平面
题型 2 垂直关系的综合应用 例2 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面 PBC，E为垂足． （1）求证：PA⊥平面ABC； （2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
方法归纳
（1）熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的 相互转化是解题的常规思路．
解析：由题意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.
题型探究·课堂解透
题型 1 平面与平面垂直的性质定理的应用 例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平
面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD.
状元随笔
对面面垂直的性质定理的理解 （1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂 直． （2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为 线线垂直．
基础自测 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线 必在第一个平面内．（ √ ）
方法归纳
（1）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种 方法是利用面面垂直的性质定理．
（2）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下 三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须 垂直于它们的交线．
跟踪训练1 已知：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB.
（2）垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关 键，再利用线线垂直证明．
跟踪训练2 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面 PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC 的交线为l.
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC. （2）求证：直线l⊥AC.
第2课时 平面与平面垂直的性质
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点 要点 平面与平面垂直的性质
文字 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平 语言 面的 交线 ，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号 语言
AB⊂α
AB⊥CD
图形 语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
答案：D
解析：选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩ β＝m，l⊥m；选项D具备了 面面垂直的性质定理的全部条件．
4.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是 正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为 6 ．
解 析 ： ∵CA ＝ CB ， O 为 AB 的 中 点 ， ∴CO⊥AB. 又 平 面 ABC⊥ 平 面 ABD ， 交 线 为 AB ， ∴CO⊥ 平 面 ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC， △AOD，△BOD，△COD共6个．
易错警示
易错原因
纠错心得
D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不
对平面与平面垂直 同的，即“两个平面垂直，则一个平面内垂直
的条件把握不准确，于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平
很容易认为D正确，面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂
导致错选为BCD. 线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关
答案：C
解析：直线a与直线b均不一定垂直两面的交线．
3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
答案：D
解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能．
4.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的 位置关系是 平行 ．
易错辨析 平面与平面垂直的条件把握不准确致误 例3 （多选）已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有（ ） A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直 D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一 个平面
2.已知平面α，β及直线a满足α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则
（）
A．a⊂β
B．a⊥β
C．a∥β
D．a与β相交但不垂直
答案：B
解析：由题意，α中存在直线b，b∥a，因为a⊥AB，所以b⊥AB，因为α⊥β，α∩ β＝AB，所以b⊥β，因为 b∥a，所以a⊥β.
3.已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是（ ） A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面 ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又因为平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SCD. 又因为BC⊂平面SBC，所以平面S1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β， 则应增加的条件是（ ） A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α
答案：B
解析：根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩ β＝m，n⊂α，应增 加条件n⊥m，才能使n⊥β.
（2）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.（ × ） （3）若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α.（ √ ） （4）三个两两垂直的平面的交线两两垂直．（ √ ）
2.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个 平面内的一条直线b，那么（ ）
A．直线a垂直于第二个平面 B．直线b垂直于第一个平面 C．直线a不一定垂直于第二个平面 D．过a的平面必垂直于过b的平面
题型 2 垂直关系的综合应用 例2 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面 PBC，E为垂足． （1）求证：PA⊥平面ABC； （2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
方法归纳
（1）熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的 相互转化是解题的常规思路．
解析：由题意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.
题型探究·课堂解透
题型 1 平面与平面垂直的性质定理的应用 例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平
面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD.
状元随笔
对面面垂直的性质定理的理解 （1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂 直． （2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为 线线垂直．
基础自测 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线 必在第一个平面内．（ √ ）
方法归纳
（1）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种 方法是利用面面垂直的性质定理．
（2）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下 三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须 垂直于它们的交线．
跟踪训练1 已知：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB.
（2）垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关 键，再利用线线垂直证明．
跟踪训练2 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面 PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC 的交线为l.
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC. （2）求证：直线l⊥AC.
第2课时 平面与平面垂直的性质
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点 要点 平面与平面垂直的性质
文字 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平 语言 面的 交线 ，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号 语言
AB⊂α
AB⊥CD
图形 语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
答案：D
解析：选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩ β＝m，l⊥m；选项D具备了 面面垂直的性质定理的全部条件．
4.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是 正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为 6 ．
解 析 ： ∵CA ＝ CB ， O 为 AB 的 中 点 ， ∴CO⊥AB. 又 平 面 ABC⊥ 平 面 ABD ， 交 线 为 AB ， ∴CO⊥ 平 面 ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC， △AOD，△BOD，△COD共6个．