2022版《新坐标》高考数学(文山东版)二轮复习课时分层练15 Word版含答案

课时分层练(十五) 高考中的圆锥曲线
(建议用时：45分钟) 【A 组 强化练·保一本】
一、选择题
1．已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )
A ．1 B. 2 C.3
2 D. 3
2．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过肯定点，则这肯定点的坐标是( )
A ．(0，2)
B ．(2，0)
C ．(4，0)
D ．(0，4)
3．(2021·枣庄模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x
2
2＋y 2＝1的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP
→的最小值为( ) A ．2－ 2 B.1
2 C ．2＋ 2 D ．1
4．(2021·西城模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点P (m ，0)，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得∠OQP ＝90°，则实数m 的取值范围是( )
A ．(4，8)
B ．(4，＋∞)
C ．(0，4)
D ．(8，＋∞)
5．已知双曲线T ：x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ，b >0)的右焦点为F (2，0)，且经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫
233，0，△ABC
的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k i ≠0，i ＝1，2，3.若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为－1.则1k 1
＋1k 2
＋1
k 3
的值为( )
A ．－1
B ．－12
C ．1 D.1
2
6．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →
2的最大值的取值范围是[c 2，3c 2
]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1 二、填空题
7．(2021·资阳模拟)已知P 为抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2，0)，则|P A |＋|PM |的最小值为________．
8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．
9．已知双曲线x 2
－y 2
3＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物
线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．
三、解答题
10．(2021·枣庄模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点F 1，F 2与双曲线4x 2－4
3y 2＝1的两焦点重合，抛物线x 2＝2py 上的点(2，1)处的切线经过椭圆C 的下顶点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知过点F 1的两动直线l 与m 相互垂直，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，直线m 交椭圆C 于D ，E 两点．问是否存在实常数λ，使得|AB →|＋|DE →|＝λ|AB →|·|DE →|恒成立？若存在，恳求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，求四边形ADBE 的面积S 的取值范围．
11．(2021·烟台模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2，右焦点到直线y ＝x 的距离为 3.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知点M (2，1)，斜率为1
2的直线l 交椭圆E 于两个不同点A ，B ，设直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2.
①若直线l 过椭圆E 的左顶点B ，求此时k 1，k 2的值； ②试猜想k 1，k 2的关系，并给出你的证明．
【B 组 押题练·冲名校】
1．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a
＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，13共线． (1)求椭圆的离心率；
(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值．
2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与一个顶点组成一个直角三角形的三个顶点，且椭圆E 过点M (2，2)，O 为坐标原点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求该切线在y 轴上截距的取值范围及|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．
【详解答案】
【A 组 强化练·保一本】
1．D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.5－1 8.(0，2) 9.m ＝0或－8 10．【解】 (1)由4x 2
－43y 2＝1得x 214－y 2
34
＝1.
所以椭圆C 的半焦距c ＝
14＋3
4＝1.
将点(2，1)的坐标代入x 2＝2py ，得2p ＝2， 所以x 2＝2y ，即y ＝1
2x 2.
求导得y ′＝x ，所以点(2，1)处的切线斜率为 2. 抛物线在点(2，1)处的切线的方程为y －1＝2(x －2)， 即y ＝2x －1.
在y ＝2x －1中，令x ＝0，得y ＝－1，
所以椭圆C 的下顶点为(0，－1)，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2
＝1. (2)|AB →|＋|DE →|＝λ|AB →|·|DE →|⇔λ＝1|AB →|＋1|DE →|
.
①当直线l 与m 恰有一条斜率不存在时，不妨设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，
与椭圆C 的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1，－22，
所以|AB →|＝2，直线m 为x 轴，所以|DE →
|＝2 2.
因此λ＝12＋122
＝32
4.
②当直线l 的斜率存在且非零时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)． 由⎩⎨
⎧x 22＋y 2
＝1，
y ＝k （x ＋1），
消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 该方程的判别式Δ＝8k 2＋8＞0恒成立． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由韦达定理得x 1＋x 2＝－4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2
. 所以|AB →
|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]
＝
（1＋k 2）⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22
－4（2k 2－2）1＋2k 2 ＝
22（1＋k 2）
1＋2k
2
.
由于l ⊥m ，所以直线m 的斜率为－1k ，以－1
k 代换上式中的k ， 得|DE →|＝22⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1k 21＋2k
2
＝22（k 2＋1）k 2＋2. 所以λ＝1|AB →|＋1|DE →|
＝
122⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1＋2k 21＋k 2＋k 2
＋2k 2＋1＝322
＝324. 综上，存在实常数λ＝32
4，使得|AB →|＋|DE →|＝λ|AB →|·|DE →|恒成立．
(3)由(2)知1|AB →|＋1|DE →|＝32
4.
设1|AB →|
＝t ，则|DE →|＝4
32－4t . 又|AB →|＝22（1＋k 2）1＋2k 2＝2（1＋2k 2＋1）1＋2k 2＝2＋21＋2k
2
＞2， |AB →|＝22（1＋2k 2－k 2）1＋2k 2＝22－22k 2
1＋2k 2≤22，当且仅当k ＝0时取等号．
且当直线l 的斜率不存在时，|AB →|＝2，所以2≤|AB →
|≤2 2. 24≤t ≤22.
S ＝12|AB →|·|DE →|＝2t （32－4t ）
＝
2
－4⎝
⎛⎭⎪⎫t －
3282
＋9
8.
24≤t ≤22，所以1≤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －
3282＋98≤9
8. 所以16
9≤
2
－4⎝
⎛⎭⎪⎫t －
3282
＋9
8≤2.
综上所述，四边形ADBE 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
169，2.
11．【解】 (1)设椭圆的右焦点(c ，0)，
由右焦点到直线y ＝x 的距离为3，解得c ＝6， 32，∴c a ＝3
2，解得a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆E 的方程为x 28＋y 2
2＝1.
(2)①若直线l 过椭圆的左顶点，则直线的方程是 l ：y ＝1
2x ＋2，
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋2，
x 28＋y 22＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－22，
y 2＝0，
故k 1＝－2－12，k 2＝2－12. ②猜想：k 1＋k 2＝0.证明如下：
设直线l 在y 轴上的截距为m ，所以直线l 的方程为y ＝1
2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，
得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 又k 1＝y 1－1
x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，
故k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1
x 2－2
＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）.
又y 1＝12x 1＋m ，y 2＝1
2x 2＋m ， 所以(y 1－1)(x 2－2)＋(y 2－1)(x 1－2)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m －1(x 2－2)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2＋m －1(x 1－2)
＝x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)－4(m －1)
＝2m 2－4＋(m －2)·(－2m )－4(m －1)＝0， 故k 1＋k 2＝0.
【B 组 押题练·冲名校】
1．解：(1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨
⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，y ＝－x ＋c
⇒(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0，
所以x 1＋x 2＝2a 2c
a 2＋
b 2，x 1x 2＝a 2
c 2－a 2b 2a 2＋b 2
， 而OA →＋OB →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，
所以3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0， 3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，∴2a 2c a 2＋b 2＝3
2c ， 解得a 2＝3b 2，∴ c ＝
a 2－
b 2＝6a 3，e ＝
c a ＝6
3.
(2)由a 2＝3b 2，得椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，
设P (x ，y )为椭圆上任意一点，OP →＝(x ，y )，由OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，
得(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)．
又由于点M (x ，y )在椭圆上，所以(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，
即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2
.(*)
又由(1)可知x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝1
2c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b
2
＝38c 2， 所以x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－9
2c 2＋3c 2＝0.
又由于x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入(*)得3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1，所以m 2
＋
n 2为定值．
2．解：(1)由于椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，2)，所以4a 2＋2
b 2＝1.
又椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与一个顶点组成一个直角三角形的三个顶点，∴有a 2＝2b 2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，
所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.
(2)假设存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且OA →⊥OB →，设该圆的切线方程为y ＝kx ＋m ，解方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y
2
4＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.
则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)＞0， 即8k 2－m 2＋4＞0.
⎩
⎪⎨⎪
⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2
，x 1x 2
＝2m 2
－81＋2k 2
，
y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝k 2（2m 2－8）1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2
＝m 2－8k 2
1＋2k 2
.
要使OA →⊥OB →，需使x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k
2
＝0，
即3m 2－8k 2－8＝0.∴k 2＝3m 2－8
8≥0，又8k 2－m 2＋4＞0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞2，3m 2≥8
⇒m 2≥83⇒m ≥263或m ≤－263.
由于直线y ＝kx ＋m 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r ＝m 21＋k
2
，
r 2
＝m 21＋k
2
＝m 21＋3m 2－8
8
＝83，r ＝26
3， 所求圆的方程为x 2＋y 2＝8
3. |AB |＝1＋k 2
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝
1＋k 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4·2m 2－81＋2k 2＝ 46
3（1＋4k 2）（1＋k 2）
（1＋2k 2）2＝
463
1＋k 24k 4＋4k 2＋1
∈⎝ ⎛⎦⎥⎤
463，23. 此时圆的切线y ＝kx ＋m 都满足m ≥263或m ≤－26
3.
而当切线的斜率不存在时，切线为x ＝±263与椭圆x 28＋y 24＝1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
263，263或
⎝ ⎛⎭
⎪⎫263，－263，满足OA →⊥OB →，|AB |＝463.
综上，存在原点为圆心的圆x 2＋y 2＝8
3，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →，|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤463，23，m ≥263或m ≤－263，且当切线的斜率不存在时，y 轴上的截距不存在．。