长沙市一中高三第二次月考试答案(文科数学)

某某市一中高三第二次月考试答案
（文科数学）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{1,2,3,4},{|2,}P Q x x x R ==≤∈，则P
Q 等于（ A ）
A ．{1，2}
B ．{3，4}
C ．{1}
D ．{－2，－1，0，1，2}
2．
函数()f x = （ D ） A ．(),0-∞B ．[)0,+∞ C ．(),-∞+∞ D ．(],0-∞
3. 若二次函数2
()f x ax bx c =++满足(4)(1)f f =，那么 （ C ） A ．(2)(3)f f > B ．(3)(2)f f >
C ．(3)(2)f f =
D ．(3)f 与(2)f 的大小关系不能确定 4．函数()sin f x x ω=的图象上相邻两条对称轴间的距离为π3
2
，则ω的一个值是 （ C ） A
32 B 34 C 23 D 4
3 5．计算4
4
sin 22.5cos 22.5︒-︒的值是 （ C ）
A ．
12
B
．2 C
．2- D
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A
B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则100S 等于 （ A ） Ａ．50
Ｂ．101
Ｃ．100
Ｄ．101
7．若)3,2(),1,(x b x a ==，且0x ≥
．那么
2
2
b a +⋅的取值X 围是 （ B ）
A )22,(-∞
B ]42,0[
C ]4
2,42[- D ),22[+∞
8．设p ：52)(2
3+++-=mx x x x f 在（+∞∞-,）内单调递减，q ：3
4
-
≤m ，则p 是q 的 （ C ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．函数21
1x y x -=+的图象按(1,2)a =-平移后所得图象的解析式是 （ B ） A ．3y x =B ．3y x =- C ．2y x =- D ．2
y x
=
10．已知O 为
ABC 内一点，且2OA OC OB 0，则AOC 与ABC 的面积之比
是 （ D ）
A ．1:1
B ．1:3
C ．2:3
D ．1:2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置 11．不等式
3
02x x
-≥-的解集是(]2,3 12．若函数f (x )的反函数为1
2()f
x x -=（x ＞0），则f (4)＝2
13．在ABC ∆中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且()()3a b c b c a bc +++-=，则A
等于
3
π
14．设,,,,,a b c d R a b c d ∈>>且，下列结论：
①a c b d +>+；②a c b d ->-；③ac bd >；④a b d c
>． 其中正确的序号是 ①__
15．i j 、
是平面直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上两个单位向量，42,AB i j =-74AC i j =+,36AD i j =+，则四边形ABCD 的面积是30
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分） 已知函数2()sin
cos cos 2.222
x x x
f x =+- （1）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式，并指出()
f x 的最小正周期；
（2）求函数()[0,
]4
f x π
在上的最大值和最小值．
解：(1)11cos 133
()sin 2(sin cos ))222242
x f x x x x x π+=
+-=+-=+- …4分 故()f x 的周期为2π． …………6分 (2)由04
x π
≤≤
得
4
4
2
x π
π
π
≤+
≤
…………7分
∴
sin()124x π≤+≤，1sin()2242x π≤+≤，3
1()2
f x -≤≤…………10分
∴函数()[0,
]4
f x π
在1-． …………12分 17．（本小题满分12分） 设向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ==且0αβπ<<<．
（1）证明：()()a b a b +⊥-；
（2）若,ka b a kb +=-其中0k R k ∈≠且，求βα-的值． 解：（1）()()22
2
222(cos sin )a b
a b a
b a b αα+-=-=-=+22(cos sin )ββ-+
110=-=
∴()()a b a b +⊥-…………6分
（2）ka b a kb +=-()(
)
2
2
22
ka b a kb ka b
a k
b ⇒+=-⇒+=-………… 7分
⇒2
2
2
2
2222k a ka b b a ka b k b ++=-+⇒2
2
22(1)4(1)0k a ka b k b -++-=…8分
又1,cos cos sin sin cos()a b a b αβαββα===+=-…………9分 ∴4cos()0k βα-=，
又0k R k ∈≠且，∴cos()0βα-=…………11分 ∵0αβπ<<<，∴2
πβα-=． …………12分
18．（本题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和记为n S ，111,21(1)n n a a S n +==+≥ （1）求{}n a 的通项公式;
（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．
解：（1）由121(1)n n a S n +=+≥可得121n n a S -=+，
两式相减得112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥即…………3分 又21213a S =+=∴213a a =
故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列∴1
3n n a -=.…………6分
（2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，12315b b b ++=，可得25b =，…………8分 故可设135,5b d b d =-=+
又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2
515953d d -+++=+
解得210d d ==-或…………10分
∵等差数列{b n }的各项为正，∴2d =，于是13b =
∴2(1)
3222n n n T n n n -=+
⨯=+…………12分
19．（本小题满分13分） 设M(k)是满足不等式1
2525log log (2625)21k x x k -+⨯-≥-的
正整数x 的个数，记S=M(1)+M(2)+…+M(n) n N ∈. (1)求S ；(2)设t=5n -2+5n+2+n -2 (n N ∈),试比较S 与t 的大小. 解：(1) 化简得x 2-26•25k-1x +252k-1≤0 ………………2分 ∴ 25k-1≤x ≤25k ………………4分
∴ M(k)=25k -25k-1+1 ………………5分
∴ S=(251-250+1)+(252-251+1)+ …+(25n
-25n-1
+1)=25n
+n-1………………7分
(2) 要 S-t= 52n -
0)255)(251
5(1525626>--=+⋅n n n …………9分 只要 5n >25 或5n <25
1
即 n>2 或n<-2 ……………11分
∴ 当n>2 时s>t ; 当n=2时s=t; 当n=1时s<t …………13分
20．（本小题满分13分） 设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，当x ∈[]1,0-时，
()f x =-2a x +4x 3．
（1） 若()f x 在(0,1]上为增函数，求a 的取值X 围；
（2） 是否存在正整数a ，使()f x 的图象的最高点落在直线12y =上？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
解： 因为当x ∈[]1,0-时，()f x =-2a x +4x 3． 所以当x ∈(0,1]时，()f x =()f x -=2a x -4x 3，
∴3
3
24,10,
()24,0 1.ax x x f x ax x x ⎧-+-⎪=⎨-<⎪⎩
≤≤≤………………………………………2分 （1）由题设()f x 在(0,1]上为增函数，∴()0f x '≥在x ∈(0,1]恒成立， 即22120a x -≥对x ∈(0,1]恒成立，于是，26a x ≥，从而()2max
66a x ≥=．
即a 的取值X 围是[6,)+∞………………………………6分
（2）因()f x 为偶函数，故只需研究函数()f x =2a x －4x 3在x ∈(0,1]的最大值．
令()f x '=2a -12x 2=0
，得x = ……………8分
(0,1]，即0＜a ≤6
，则3
max [()]2212f x f a a ==<， 故此时不存在符合题意的a ； ……………10分
1，即a ＞6，则()f x 在(0,1]上为增函数，于是max [()](1)24f x f a ==-．
令2a -4=12，故a =8． 综上，存在a =8满足题设． ………………13分
21．（本小题满分13分） 已知定义在1(-, 1)上的函数)(x f 满足1)21
(=f ，且对任意
x , 1(-∈y , 1)都有：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()(
（1）判断)(x f 在1(-, 1)上的奇偶性并证明； （2）令21
1=x ，2
112n
n n x x x +=+，求数列)}({n x f 的通项公式； （3）设T n 为数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧)(1n x f 的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的*
N ∈n ，
有3
4
-<
m T n 成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 解：（1）)(x f 为奇函数，令0==y x ，∴0)0(=f
又当0=x 时 )()()0(y f y f f -=- 即：)()(y f y f -=-．
故)(x f 为奇函数． ------------------------3分 （2）∵}{n x 满足21
1=
x ，122121221=<+=+=+n n
n
n n x x x x x ∴10<<n x ∴)()())(1)(()12(
)(2
1n n n n n n n n
n x f x f x x x x f x x f x f --=----=+=+-------------------5分 而由（1）知，)(x f 在1(-, 1)上为奇函数 ∴)()(n n x f x f -=-∴)(2)(1n n x f x f =+ 即
2)
()
(1=+n n x f x f ∴)}({n x f 是以1)21
()(1==f x f 为首项，以公比为2的等比数列
∴11221)(--=⋅=n n n x f ---------------------------8分 （3）12212
1
212111)(1)(1)(1-++++=+++=
n n n x f x f x f T )211(22
112111n n -=-⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ----------------------10分 假设存在正整数m ，使得对于任意的*N ∈n ，有3
4
-<m T n 成立， 即：3
4
21
21-<
-
-m n 对一切*N ∈n 恒成立． 只需23
4≥-m 即10≥m ．
故存在正整数m ，使得对*N ∈n 恒有3
4
-<m T n 成立， 此时m 的最小值为10． ----------------------------13分。