二次函数题型及解题思路

二次函数题型转化
1求函数曲线（直线）表达式（以各项系数为未知数，解方程） 二次函数表达式确定：
● 任意三点，利用一般型c bx ax y ++=2，求解 三元一次方程 ● 顶点+任意一点，利用顶点式()k h x a y +-=2
，直接带入顶点左边
()k h ,，求解一元一次方程
● 与x 轴交点+任意一点，利用双根式()()21x x x x a y --= 特别的：
● 对于一般形
⏹ c=曲线与y 轴交点的纵坐标 ⏹ 对称轴为y 轴时，b=0 ⏹ 顶点为原点时，b=0，c=0 ● 对于双根式
⏹ 前提：曲线与x 轴有交点
⏹ 顶点在x 轴上，双根式可简化为()2
1x x a y -=
一次函数表达式确定：
● 直线上任意两点，利用b kx y +=，求解二元一次方程
● b=直线与y 轴交点的纵坐标
1（2016大连）如图，抛物线4
5
3-2+
=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与
直线BC 相交于点E
（1）求直线BC 的解析式；
（2）当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．
2证明点在曲线上（求动点方程）
题型特点：满足特定条件或具有特定性质的所有点的集合曲线的确定。

解题思路：
● 明确所求动点（确定对象）
● 设该动点的坐标为()11,x y
● 根据已知条件确定1y 与1x 的关系（将1y 转化为1x 的表达式） ● 将该表达式的1y 与1x 替换为y 与x ，即可获得该动点方程
2（2016大连）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线4
1
2+
=x y 与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称 （1）填空：点B 的坐标是
（2）过点B 的直线y=kx+b （其中k ＜0）与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．
3特定的已知条件转化
● ()11,y x A 与()22,y x B 距离()()2
212
12
y y x x
d -+-=
⏹ 两点可能都是定点
⏹ 其中一点是定点，另一点为曲线上的点，将动点的y 用其对应的x
表示 ● 两曲线（直线）在垂直方向的距离12y y d -=，注意区分曲线的上下
位置关系（交点）
3（2015大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m,m ），翻折矩形OABC,使点A 与点C 重合，得到折痕DE.设点B 的对应点为F,折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点C 、F 、D 的抛物线为c bx ax y ++=2
（1）求点D 的坐标（用含m 的式子表示） （2）若点G 的坐标为（0，-3），求该抛物线的解析式。

（3）在（2）的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否
存在点P,使PM=2
1
EA? 若存在，直接写出P 的坐标，若不存在，说明理由。

4特殊的技巧
题目中出现：直接写出（……），注意对已知的点及线段的应用与分析。

4（2015沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23
4
-322+-
=x x y 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．
（1）点A 、B 、C 、D 的坐标为
（2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）
①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE=PC ，求点E 的坐标；
②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；。