八年级春季班-04-整式方程和分式方程-教师版

1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方
程就叫做二项方程，关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为:0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)．
n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；
n 为偶数时，若0ab <，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若0ab >，那么方程没
有实数根．
2．一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于x 的双二次方程的一般形式为420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠）．
3．了解关于x 的双二次方程420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠），可以用新未知数y 代替方程中的2x ，同时用2y 代替4x ，将这个方程转化为关于y 的一元二次方程．20ay by c ++=这种解方程的方法是换元法．
4．整式方程和分式方程统称为有理方程．
整式方程和分式方程 知识结构
知识精讲
模块一：整式方程
【例1】下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（ ）
A ．343x y -=
B ．24x -
C ．32
2x x =-
D ．22350x x --=
【难度】★ 【答案】D
【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念．
【例2】判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方
程?
① 23270x a x +-=； ②321
240(0)x x x a b a b
+-
=+≠+； ③1
3(0)1
x x x +
=≠-； ④212(0)x x x
+=-≠； ⑤2
13502m xm x ⋅+-=-； ⑥352270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★
【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．
【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；
【总结】考察一元整式方程的概念．
【例3】（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；
（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★
【答案】（1）1a =-（2）3k =
【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，
． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．
例题解析
【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．0m ≤；
B ．0m <；
C ．0m ≥；
D ．0m >；
【难度】★ 【答案】D
【解析】因为42x m =-，所以41
2x m =-，若方程没有实数根，则0m >．
【总结】考察二项偶次方程有解的情况．
【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．1个或2个
D ．不确定
【难度】★★ 【答案】D
【解析】当0m =时，方程化为1
4104
x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次
方程，160m =+≥，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定． 【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论．
【例6】如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32
x km
kx n -+-=
，无论k 为何值，方程的解总是
1
2
，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216
m n ==
，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12
x =代入得：()1
41682k km n -=--，
整理得：()13282m k n -=
-，若k 为任意实数，则13
216
m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用．
（1）42416x x =；
（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；
（4）22(1)1x x x +--=．
【难度】★★
【答案】（1）1234022x x x x ===-=，，； （2）1211x x =-=，；
（3）123433
0322
x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．
【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2
220x x x +-=，
解得原方程的解为：1234022x x x x ===-=，，；
（2）由4220x x +-=，得：()()22210x x +-=，即()
()()22110x x x ++-=， 解得原方程的解为：1211x x =-=，； （3）由222(231)22331x x x x -+=-+，
得：()()()2
22223223111231x x x x x x -+-+=-+，
即()()2
22239230x x x x ---=，
分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，
解得原方程的解为：123433
0322x x x x ====-，，，；
（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论： ①当20x +=时，解得：12x =-；
②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，； ③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．
【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论．
（1）(1)42a ax x -=-； （2）2(2)31a x a x --=+． 【难度】★★
【答案】（1）当2a ≠±时，1
2
x a =
+，当2a =时，x 为一切实数，当2a =-时，方程无解； （2）当1a =-时，x 为一切实数，当1a =时，方程无解，
当1a ≠±时，()()121a x a -=+，21
1a x a +=-．
【解析】解：（1）由(1)42a ax x -=-，得：()
242a x a -=-，
故当240a -≠时，即2a ≠±，1
2
x a =
+；当240a -=时， （1）2a =：00x =，x 为一切实数；（2）2a =-：04x =-，方程无解；
综上所述：当2a ≠±时，2x a =+；当2a =时，x 为一切实数；当2a =-，方程无解； （2）由2(2)31a x a x --=+，得：()()
2212310a x a a --++=， 即()()()()11121a a x a a +-=++，
当1a =-时，00x =，x 为一切实数； 当1a =时，06x =，方程无解；
当1a ≠±时，()()121a x a -=+，21
1a x a +=-．
【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论．
【例9】解下列方程：
（1）222(2)0x x --=；
（2）(1)(2)(3)35x x x x +++=；
（3）()()()()123410x x x x +++++=． 【难度】★★
【答案】（1）12342121x x x x =-===-，，，；（2）12x x ==；
（3）12x x =． 【解析】解：（1）由222(2)0x x --=， 得：()()
22220x x x x +---=，
即()()()()21210x x x x +--+=，
故原方程的解为：12342121x x x x =-===-，，，；
（2）由(1)(2)(3)35x x x x +++=，得：()()
2235370x x x x +-++=，
2350x x ∴+-=或2
370x x ++=，
当2350x x +-=，12x x ==2370x x ++=，0<，方程无解．
所以原方程的解为：12x x =
=； （3）由()()()()123410x x x x +++++=， 得：()()()()142310x x x x +++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()
22545610x x x x +++++=， 所以()2
2550x x ++=， 即2550x x ++=，
解得原方程的解为：12x x =
=．
【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用．
【例10】关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：
（1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解． 【难度】★★★
【答案】（1）3m ≠，n 为任意实数，有唯一解； （2）3m =，4n =-，有无数多解； （3）3m =，4n ≠-，方程无解．
【解析】解：43mx x n +=-，整理得：()34m x n -=+，
（1）当30m -≠时，即3m ≠，n 为任意实数，43n
x m
+=
-，即有唯一解； （2）当30m -=，40n +=时，即3m =，4n =-，00x =，x 为一切实数，即有无数多解； （3）当30m -=，40n +≠时，即3m =，4n ≠-，04x n =+，方程无解． 【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论．
【例11】解下列方程：
（1）22b x x a a b
-+=
（0a b <<）； （2）24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠）． 【难度】★★★
【答案】（1）x =（2）33
12b a x x a b
==，．
【解析】（1）因为22b x x a
a b
-+=
，所以2222b bx ax a -=+， 即2222ax bx b a +=-，则()()()2a b x a b b a +=+-，
因为0a b <<，所以0a b +≠，0b a ->，
所以原方程的解为：x =
（2）因为24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠），所以()()
330ax b bx a --=， 则30ax b -=或30bx a -=，∴3ax b =或3bx a =，0ab ≠，∴00a b ≠≠，，
∴原方程的解为：33
12b a x x a b
==，．
【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零．
【例12】已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一
个整数根，求a 的值． 【难度】★★★
【答案】a 的值为13610，，，
． 【解析】（1）将原方程变形为()()2
226x a x +=+，显然20x +≠，即2x ≠-．
()
()
2
262x a x +∴=
+，a 是正整数，1a ∴≥，即
()
()
2
2612x x +≥+，
()()228042042x x x x x ∴+-≤+-≤∴-≤<，即，．
方程至少有一个整数根，∴当x 可取431012---，，，
，，时， 故对应的a 的值为14
1610319，，，，，，
a 是正整数，a ∴的值为13610，，，
． 【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大．
分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转
化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．
【例13】已知方程：①2
510x x +-=，②22123
x x +=，③3711510x x +=+-，④1
0x =，
⑤111y z x y x z +=---，⑥12
311
x x +=-+，其中分式方程有_________________． 【难度】★
【答案】③、④、⑤．
【解析】分母中含有未知数的方程叫分式方程． 【总结】考察分式方程的概念．
【例14】解下列分式方程： （1）2
3y y +=；
（2）216
244
y y y -=--． 【难度】★
【答案】（1）1212y y ==，；（2）2y =-． 【解析】（1）由
2
3y y
+=，得：2320y y -+=，即()()120y y --=，解得：1212y y ==，， 经检验：1212y y ==，是原方程的解， 所以原方程的解为1212y y ==，；
（2）由216
244
y y y -=--，得：2280y y --=，即()()420y y -+=，解得：1242y y ==-，， 经检验：14y =是原方程的增根，所以原方程的解为：2y =-． 【总结】本题主要考察分式方程的解法，注意解完后要检验．
例题解析
知识精讲
模块二：分式方程
（1）26
13x x x +=
+-； （2）
214
124
x x -=--． 【难度】★★
【答案】（1）12x x ==； （2）1x =-． 【解析】（1）由
26
13
x x x +=
+-，得()()()2361x x x +-=+，即27120x x --=，
解得：12x x =
，经检验：12x x ==是原方程的解，
所以原方程的解为12x x ==； （2）由
214
124
x x -=-- ，得2244x x +-=-，即()()210x x -+=，解得：
1221x x ==-，， 经检验：2x =是原方程的增根， 所以原方程的解为：1x =-．
【总结】考察分式方程解法，注意要检验根．
【例16】解下列分式方程：
（1）2224
12352x x x x x +-+=---；
（2）
2111
1333
x x x x +-=
--． 【难度】★★
【答案】（1）12012x x ==-，；
（2）无解． 【解析】（1）由2224
12352
x x x x x +-+=---，得：
()()22412312x x x x x +-+=-+-， 即()()222314352x x x x x +++-=--， 解得：12012x x ==-，， 经检验：12012x x ==-，是原方程的解， 所以原方程的解为12012x x ==-，；
（2）由2111
1333x x x x +-=
--，得：()()1111331x x x -=--， 即()31x x x --=，解得：1x =， 经检验：1x =为原方程的增根，
所以原方程无解．
【总结】考察分式方程的解法，注意要检验．
（1）222
3x x
+=；
（2）22317
12
x x x x -+=-．
【难度】★★
【答案】（1
）123411x x x x =-==，，
（2）121
22x x =-=，
，3411x x ==
【解析】（1）由
222
3x x
+=，得42320x x -+=，即()(
)(
110x x x x +-+-=，
解得：123411x x x x =-===，，，
经检验：123411x x x x =-==，，
所以原方程的解为：123411x x x x =-==，， （2）设
2
1x a x =-，则1732
a a +=可化为整式方程：2
6720a a -+=， 即()()32210a a --=， 解得：1221
32a a ==，，
当2213x x =-时，即2
2320x x --=，()()2120x x +-=，解得：1
2122x x =-=，， 当
2
1
12
x x =-时，即2210x x --=
，解得：3411x x == 经检验：121
22x x =-=，
，3411x x ==
所以原方程的解为：121
22x x =-=，
，3411x x ==
【总结】考察利用换元法解分式方程，注意解完后进行验根．
【例18】解下列分式方程：
（1）517311x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩
；
（2）513
42212
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．
【难度】★★
【答案】（1）34
14
x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）612x y =⎧⎨=⎩．
【解析】（1）设
11a b x y x y ==+-，，则5731a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：1
2a b =⎧⎨=⎩
， 1112x y x y
⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，112x y x y +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，34
14x y ⎧
=⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩ 经检验：3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解， ∴原方程的解为34
14
x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；
（2）设11a b x y ==，，则3541222a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：16
1
12
a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
11
6
1112
x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，612x y =⎧∴⎨=⎩， 经检验：612x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解， 所以原方程的解为：612x y =⎧⎨=⎩
．
【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验．
【例19】解方程：
（1）222541
3242x x x x x -+=
++--； （2）
221
193431
x x x x x ++=--+-． 【难度】★★
【答案】（1）6x =； （2）无解．
【解析】（1）原方程可化为：()()()()2541
12222
x x x x x x -+=+++--，
去分母，得：28120x x -+=， 即()()260x x --=，解得：1226x x ==，，
经检验：2x =是方程的增根，∴原方程的解为6x =；
（2）原方程可化为：
()()()
12113313x x x x x -+=----，去分母，得：2430x x -+=， 解得：1213x x ==，，经检验：1213x x ==，是方程的增根，∴原方程无解．
【总结】考察分式方程的解法，注意先分解因式再计算，解完后注意验根．
【例20】若方程222312122
x b b
x x x x +-+=---有增根，求b 的值．
【难度】★★
【答案】1b =±或2b =-
【解析】222312122
x b b
x x x x +-+=---，去分母得()2221210x b x b -++-=，
方程有增根，∴（1）把增根0x =代入整式方程得：210b -=，1b ∴=±；
（2）把增根2x =代入整式方程，得：2470b b +-=，2b ∴=-
综上所述，1b =±或2b =-
【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母．先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值．
【例21】解方程：34x x x x
-= 【难度】★★★ 【答案】4x =． 【解析】当0x >时，4
3x x
-=，去分母，得：()()2340410x x x x --=-+=，， 1241x x ∴==-，，0x >，1x ∴=-舍去，4x ∴=，经检验4x =是原方程的解；
当0x <时，4
3x x
+
=，去分母，得23400x x -+=<，
此时，∴方程无解． 综上所述，原方程的解为4x =．
【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论．
【例22】解方程：
（1）1111
5867x x x x +=+
++++； （2）
222(3)
223
x x x x x x -+++=
+--． 【难度】★★★ 【答案】（1）132x =-；（2）124
03
x x ==，．
【解析】（1）由
11115867x x x x +=+++++，得1111
5678x x x x -=-
++++， 即
()()()()11
5678x x x x =++++，所以
()()()()5678x x x x ++=++， 去括号，得：2211301556x x x x ++=++，即426x =，解得：132
x =-
， 经检验：132x =-是原方程的解， ∴原方程的解为132
x =-； （2）由
222(3)
223
x x x x x x -+++=
+--，得()2362424223x x x x x x -++--++=+--， 即4412112223x x x ⎛
⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪+--⎝
⎭⎝⎭，113223x x x -=-+-， 即()()()()()()2323322x x x x x x +----=+-，2340x x -=，
解得：12403x x ==
，，经检验：124
03
x x ==，是原方程的解， ∴原方程的解为124
03
x x ==
，． 【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结．
【例23】解下列方程：
（1）22111256890x x x x ⎛⎫⎛
⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（2）11111
(1)(1)(9)(10)12
x x x x x x ++⋅⋅⋅+=-+++；
（3）
222111
011828138
x x x x x x ++=+-+---．
【难度】★★★
【答案】（1）12122x x ==
，，3432
23
x x ==，；（2）12211x x ==-，； （3）2181x x ==-，，3481x x =-=，． 【解析】（1）设1
x a x
+
=，原方程可化为：21256650a a -+=， 即()()256130a a --=，解得：12513
26
a a ==，，
当52
a =时，即152x x +=，22520x x -+=，解得：121
22x x ==，；
当136
a =
时，即1136x x +=，261360x x -+=，解得：3432
23x x ==，；
经检验：12122x x ==
，，3432
23
x x ==，是原方程的解，
∴原方程的解为12122x x ==
，，343223
x x ==，； （2）原方程变形为11111111
11
91012
x x x x x x -+-++
-=-+++， 整理得：
111111012
x x -=-+，去分母得：29220x x +-=，解得：12211x x ==-，， 经检验12211x x ==-，是原方程的根，∴原方程的解为12211x x ==-，；
（3）令228x x y +-=，原方程可化为111
0915y x y y x
++=+-， 解得：9y x =或5y x =-，
当9y x =时，2289x x x +-=，解得：1281x x ==-，； 当5y x =-时，2285x x x +-=-，解得：3481x x =-=，； 经检验1281x x ==-，，3481x x =-=，是原方程的解， ∴原方程的解为1281x x ==-，，3481x x =-=，．
【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结．
【例24】已知关于x 的方程
2
122
1232
a a x x x x ++=---+有增根，求a 的值． 【难度】★★★
【答案】3
2
a =-或2a =-．
【解析】由方程有增根可知，1x =或2x =，原方程去分母得：()2122x a x a -+-=+，
当1x =时，221a +=-，解得：3
2a =-；当2x =时，解得：2a =-，
综上所述：当32a =-或2a =-时，x 的方程2
122
1232
a a x x x x ++=---+有增根． 【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于a 的一元一次方程，从而解得求出a 的值．
【例25】当a 取什么整数时，关于x 的方程
2202(2)
x x x a x x x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根． 【难度】★★★
【答案】当4a =-时，方程只有一个实数根1x =；当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-． 【解析】原方程可化为
()
222402x x a
x x -++=-， （1）若0x ≠且2x ≠，则22240x x a -++=，方程只有一个实数根，0∴=，
即8280a =--=，7
2
a ∴=-，但a 为整数，则应舍去；
（2）若22240x x a -++=有一个根是0x =，则4a =-；
此时原方程为
()224022x x x x x x x --++=--， 去分母得2220x x -=，解得：1201x x ==，； 经检验0x =为增根，1x =是原方程的解， 4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =；
（3）若22240x x a -++=有一个根是2x =，则8a =-； 此时原方程为
()228022x x x x x x x --++=--， 去分母得，22240x x --=，解得：1221x x ==-，； 经检验2x =为增根，1x =-是原方程的解， 4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =-．
综上所述：当4a =-时，方程只有一个实数根1x =； 当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．
【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论．
【例26】解已知关于x 的方程22(1)(
)(27)1011
x x
a a x x --++=-- （1）求a 的取值范围，使得方程有实数根；
（2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实数根；
（3）若原方程的两个相异的实数根为12x x ，
，且12123
1111x x x x +=--，求a 的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）5328a ≥-
且1a ≠±（2）5328
a =-或1a ≠±；（3）128
103a a ∴=-=，．
【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即210a -=，1a ∴=±，此时原方程有解；
当原方程为一元二次方程时，此时2101a a -≠≠±，，设1
x
y x =-，
原方程可以化为()
()2212710a y a y --++=，()()
2
227410a a ∴=+--≥，即28530a +≥， 解得：5328a ≥-
且1a ≠±， 综上所述：53
28
a ≥-； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则1a =±；或0=，53
28
a ∴=-； （3）令12121211x x y y x x =
=--，，则12311y y +=，即2273
111
a a +=-， 2227733a a ∴+=-，2322800a a ∴--=，128
103a a =-=解得：，．
【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论．
【习题1】 在方程：①969642x x -=-，②213014000x x +-=，③3
132
x x +=， ④
1210
14
x x -=+中，是分式方程的有（ ） A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
【难度】★ 【答案】D
【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义．
【习题2】 下列方程中，有实数根的是（
） A ．220x x -+= B ．410x -=
C ．40n x +=
D ．
1
11
x x x =
-- 【难度】★ 【答案】B
【解析】.0A <，无解；4.11B x x ==±，；.C n 为偶数时无解，n 为奇数时有解； .1D x =为增根，方程无解．
【总结】考察方程有无实数根的分类讨论．
随堂检测
【习题3】 下列方程中，不是二项方程的为（ ）
A ．51x =；
B ．6x x =
C ．31
309
x +
= D ．4160x +=
【难度】★ 【答案】B
【解析】如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这
样的方程就叫做二项方程．
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数) 【总结】考察二项方程的定义．
【习题4】 （1）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于__________；
（2）若分式351x x +-无意义，当51
0322m x m x
-=--时，则m =__________．
【难度】★
【答案】（1）2；（2）37
m =
． 【解析】（1）由2220210x x x x ⎧--=⎨++≠⎩， 得：()()()2
120
10x x x +-=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，2x ∴=； （2）若分式351x x +-无意义，10x ∴-=，即1x =；51
03221
m m ∴-=--，
去分母，得730m -=，解得：3
7m =．
【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法．
【习题5】 （1）用换元法解方程
2
22212x x x x -+=-时，如设2
12y x x
=-，则将原方程化为关于y 的整式方程是___________； （2）若关于x 的方程2133m
x x =-
--无解，则m =__________． 【难度】★
【答案】（1）2210y y --=；（2）2m =-．
【解析】（1）原方程可转化为()22
12212x x x x ⋅
--=-，2
1
2y x x =-， ∴方程转化为分式方程为1
210y y --=，去分母化为整式方程为：2210y y --=；
（2）方程去分母得：23x m =--，若方程无解，则3x =，代入整式方程得2m =-． 【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用．
（1）3(2)80x ++=； （2）45(52)10x -=．
【难度】★★
【答案】（1）4x =-；（2）12x x ==． 【解析】（1）由3(2)80x ++=，得：()3
28x +=-，解得：4x =-；
（2）由4
5(52)10x -=，得：()
4
522x -=，解得：12x x ==． 【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个．
【习题7】 解下列方程： （1）3244160x x x --+=；
（2）()()4
2
6767720x x +-+-=；
（3）4322914920x x x x -+-+=． 【难度】★★
【答案】（1）123224x x x =-==，，；（2）1252
33x x =-=-，；
（3）12341
122
x x x x ====
，，． 【解析】（1）由3244160x x x --+=，得：()()24440x x x ---=，
即()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；
（2）由()()426767720x x +-+-=，得：()()22
6796780x x ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦
，
所以()2
6790x +-=，即673x +=±，
故原方程的解为：1252
33x x =-=-，；
（3）原方程可变形为：()()
()43322227777220x x x x x x x +--+++--+=，
即()(
)()
()43322227777210x x x x x x x ---+---=，
所以()()3
2
127720x x x x --+-=，()()()3
2122770
x x
x x ⎡⎤----=⎣⎦， ()()()()2
1211710
x x x x x x ⎡⎤--++--=⎣⎦， 即()()()2
12210x x x ---=，
解得原方程的解为12341
122
x x x x ====
，，． 【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析．
（1）22(a b)ax b bx a +=+≠；
（2）2(3)40m y y -+=．
【难度】★★
【答案】（1）x a b =+；（2）124
0(3)3y y m m
==
≠-，此时． 【解析】（1）原方程可变形为：()()()a b x a b a b -=+-，
a b ≠，0a b ∴-≠，()()
a b a b x a b
+-∴=
-，x a b ∴=+；
（2）原方程可变形为：()340y m y -+=⎡⎤⎣⎦， 当30m -=，即3m =时，40y =，0y ∴=；
当30m -≠，即3m ≠时，124
03y y m
==-，，
综上所述：124
0(3)
3y y m m ==≠-，此时
【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论．
【习题9】 解下列分式方程：
（1）336
3242
x x -=
-+； （2）
214
124
y y -=--； （3）2116
122312x x x x -+=-
-+--； （4）222222322141233636109
x x x x x x x x x x -+-+-+=+--++． 【难度】★★
【答案】（1）12x x =
=；（2）1y =-； （3）12233x x =-=，；（4）129
12
x x ==-，．
【解析】（1）去分母，得：()()()()12233222432x x x x +--+=-， 化简，得：21224912127248x x x x +--+=-，2324280x x +-=，
解得：12x x =，
经检验：12x x ==是原方程的解，
所以原方程的解为12x x ==； （2）去分母，得：2244y y +-=-，即()()210y y -+=， 解得：1221y y ==-，，
经检验：12y =是原方程的增根，舍去， 所以原方程的解为：1y =-；
（3）去分母，得：()()
()()232312326x x x x ++-=-+--，即23760x x +-=， 解得：12233x x =-=，，经检验：122
33x x =-=，是原方程的解，
所以原方程的解为：122
33x x =-=，；
（4）原方程变形为：()()()()()()()()()()()12261311326(6)19x x x x x x x x x x x x ----+-+=
+--+++，
即
()()21311369x x x x x x ---+=+++，
去分母得：()()()()()()()()()169213931360x x x x x x x x x -+++-++--++=
所以()()()()()()()1692393360x x x x x x x -+++++-++=⎡⎤⎣⎦，
即 ()()112540x x -+=，解得：12912
x x ==-，
经检验：129
12
x x ==-，是原方程的解，
∴原方程的解为129
12
x x ==-，．
【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根．
【习题10】 当a 为何值时，方程2233x a
x x
-=-
--有增根． 【难度】★★ 【答案】1a =．
【解析】原方程去分母得：()223x x a -=-+，方程有增根，3x ∴=， 代入整式方程得：1a =，∴当1a =时，方程有增根．
【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值．
【习题11】 解下列分式方程：
（1）1111x a x a +=+
--（a 为已知数）； （2）1
121511015x y x y x y x y ⎧+=⎪-+--⎪
⎨⎪+=⎪-++-⎩； （3）
1625
2736
x x x x x x x x +++++=+
++++． 【难度】★★★
【答案】（1）121a x a x a ==
-，；（2）22
x y =⎧⎨=⎩；（3）9
2x =-．
【解析】（1）原方程变形为：()()11
1111
x a x a -+
=-+
--， 11x a ∴-=-或111x a -=-，解得：121a
x a x a ==-，，
经检验：121
a
x a x a ==-，是原方程组的解，
∴原方程组的解为121
a
x a x a ==
-，； （2）设x y a x y b +=-=，，则方程组变形为()()112115110215
b a
b a ⎧+=⎪⎪+-⎨⎪+=⎪+-⎩，
由()()21-，得：2
25
a =--，解得：4a =，
将4a =代入()1得：0b =，40x y x y +=⎧∴⎨-=⎩，解得：2
2x y =⎧⎨=⎩
经检验：2
2x y =⎧⎨=⎩
是原方程组的解，
∴原方程组的解为2
2x y =⎧⎨=⎩
； （3）原方程可化为111111112736x x x x -
+-=-+-++++，则1111
2736
x x x x +=+
++++， 即1111
2367
x x x x -=-
++++， 去分母，得：()()()()6723x x x x ++=++， 解得：92x =-，经检验9
2
x =-是原方程的根，
所以原方程的解为：9
2
x =-．
【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验．
【习题12】 若关于x 的方程221
11
x m x x x x --=+
--无实数根，求m 的值； 【难度】★★★
【答案】7
4
m <或2m =
【解析】去分母整理得：220x x m -+-=，原方程无实数根，则
（1）()1420m =--<，即7
4
m <；
（2）整式方程的根是原分式方程的增根，则0x =或1x =，代入整式方程得：2m =，
综上所述：当7
4m <或2m =时，原方程无实数根．
【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根．
【习题13】 已知关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x -+--+=的两个根都是整数，求
实数k ． 【难度】★★★ 【答案】7k =或13
3
k =
或4k = 【解析】原方程可化为：()()()23562680k k x k x --+-+=，
即 ()()34520k x k x -+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
()()350k k --≠，1242
35
x x k k ∴=-
=---，， 1242
35k k x x ∴-=--=-，，消去k 得：122120x x x x •+-=，()()12212x x ∴+-=-．
12x x ，都是整数，122112x x +=⎧∴⎨-=-⎩，122112x x +=-⎧⎨-=⎩，122211x x +=⎧⎨-=-⎩，1222
11
x x +=-⎧⎨-=⎩
解得：1211x x =-⎧⎨=-⎩，1233x x =-⎧⎨=⎩，1200x x =⎧⎨=⎩（舍去），12
4
2x x =-⎧⎨=⎩
解得：7k =或133k =
或4k =；经检验，7k =或13
3
k =或4k =满足分式方程的解， 综上所述：7k =或13
3k =或4k =．
【总结】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数k 用方程两根表示最终消去是解题的关键．
【作业1】用换元法解分式方程
13101x x x x --+=-时，如果设1
x y x
-=，将原方程化为关 于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A ．230y y +-=
B ．2310y y -+=
C ．2310y y -+=
D ．2310y y --=
【难度】★ 【答案】A
【解析】原方程可化为3
10y y
-
+=，去分母得230y y +-=．
【总结】考察分式方程运用换元法转化整式方程的方法．
课后作业
【作业2】（1）若关于x 的方程(2)1a x b -=-无解，那么a ________，b __________；
（2）已知关于x 的方程1302x a --=与203x a
x --=的解相同，则a =____________．
【难度】★
【答案】（1）21a b =≠，；（2）5
31
a =-
． 【解析】（1）方程ax b =，当00a b ==，时，x 为一切实数；当00a b =≠，时，方程无解；
当0a ≠时，b
x a =-；
（2）由方程1302x a --=，解得：61x a =+；由方程203x a x --=，解得：5
a
x =-：
方程的解相同，615a a ∴+=-，解得：5
31a =-．
【总结】考察含字母的方程的解得问题的分类讨论．
【作业3】下列说法错误的个数是（
）
①二项方程一定有解；②二项方程的解最多有两个；③二项方程如果有两个解，则一定互 为相反数； A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【难度】★ 【答案】B
【解析】①二项方程一定有解；（错）；①二项方程的解最多有两个；（对）①二项方程如果有两 个解，则一定互为相反数；（对），故错误的有1个，选B ． 【总结】考察二项方程及二项方程的解得概念．
【作业4】关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一解，则必须（ ）
A ．2a b ≠；
B ．6a ≠且3b ≠；
C ．3b ≠；
D ．6a =且3b ≠
【难度】★ 【答案】C
【解析】原方程可化为：()36b x a -=-，若方程有唯一解，则30b -≠，3b ∴≠． 【总结】考察含字母的方程求解问题的分类讨论．
【作业5】如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程
2123
kx a x bk
+--=-的解，试求a 、b 的值． 【难度】★★ 【答案】103
32
a b =-
=，． 【解析】把1x =-代入方程，得：
2123
k a bk
-+---=-，整理得()23310b k a -+=-， 230310b a ∴-==-，
，解得：103
32a b =-=，． 【总结】考察了一元一次方程的解以及方程未知数的转换．
【作业6】解下列方程： （1）3215200x x +=；
（2）3244160x x x --+=；
（3）22(321)(327)120x x x x -+--+=； （4）222()4(223)0x x x x ----=．
【难度】★★
【答案】（1）1234
03x x x ===-，； （2）123224x x x =-==，，；
（3）123415
1133x x x x ==-=-=，，，； （4）12341223x x x x =-==-=，，，．
【解析】（1）由3215200x x +=，得：()2
5340x x +=，解得原方程的解为：123403x x x ===-，；
（2）由3244160x x x --+=，得()()24440x x x ---=，故()()()2240x x x +--=， 解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；
（3）由22(321)(327)120x x x x -+--+=，得()()2
223263250x x x x ---+=，
即()()
223213250x x x x ----=，分解因式，得：()()()()1311350x x x x -++-=，
解得原方程的解为：123415
1133
x x x x ==-=-=，，，；
（4）由222()4(223)0x x x x ----=，得：()()2
228120x x x x ---+=，
即()()
22260x x x x ----=，分解因式，得：()()()()12230x x x x +-+-=， 解得原方程的解为：12341223x x x x =-==-=，，，． 【总结】考察整式方程中运用换元思想降幂，求解高次方程的解法．
【作业7】解下列方程：
（1）222()0abx a b x ab -++=（0a ≠，0b ≠）； （2）2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-． 【难度】★★
【答案】（1）12b a
x x a b
=
=，；（2）当0a =时，0x =；当1a =时，2x =； 当0a ≠且1a ≠时，1211a a
x x a a +==
-，． 【解析】（1）原方程可分解为：()()0ax b bx a --=，即ax b =或bx a =，
00a b ≠≠，，∴可得原方程的解为：12b a
x x a b
=
=，； （2）原方程可整理为：()()()
2222210a a x a x a a ---++=， 当20a a -=时，当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；
当20a a -≠时，即0a ≠且1a ≠时，()()110ax a a x a -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得：1211
a a
x x a a +=
=
-，， 综上所述：当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当0a ≠且1a ≠时，1211
a a
x x a a +==
-，． 【总结】考察含字母系数的方程的求解，注意进行分类讨论．
【作业8】解下列方程：
（1）651(1)
x x x x +=++；
（2）225242414015x x x x x x
-+++=+-；
（3）221
245422
x x x x +++=++；
（4）22171
()102x x x x
+--+=．
【难度】★★
【答案】（1）1x =； （2）1212x x ==，，3434x x =-=-，；
（3）1x =-；（4）121
22
x x =-=，，3411x x ==
【解析】（1）对原方程去分母得：65x x =+，解得：1x =， 经检验1x =是原方程的解，∴原方程的解为：1x =；
（2）设251
x x
y x -=+，原方程可化为24140y y ++=， 214240y y ∴++=，()()2120y y ++=，解得：12212y y =-=-，．
当2y =-时，2521x x
x -=-+，2320x x -+=，解得：1212x x ==，
当12y =-时，25121
x x
x -=-+，27120x x ++=，解得：3434x x =-=-，
经检验1212x x ==，，3434x x =-=-，均是原方程的解， 所以原方程的解为：1212x x ==，，3434x x =-=-，； （3）原方程可化为()221
2223022
x x x x +++-=++，
设222x x a ++=，则可化为1
230a a
+
-=，转化整式方程得：22310a a -+=， ()()2110a a ∴--=，解得：121
12
a a ==，．
当12
a =
时，21
222x x ++=，22430x x ++=，0<，方程无解；
当1a =时，2221x x ++=，2210x x ++=，121x x ∴==-； 经检验1x =-是原方程的解，所以原方程的解为：1x =-； （4）原方程可化简为：2
1712102x x x x ⎛
⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
令1x t x -
=，则27
302
t t -+=，化成整式方程得：22760t t -+=，
即()()2320t t --=，解得：123
22t t ==，，
当32
t =
时，132x x -=，22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：121
22x x =-=，；
当2t =时，1
2x x
-
=，2210x x --=，解得：3411x x ==
经检验121
22x x =-=，，3411x x ==
所以原方程的解为：121
22
x x =-=，，3411x x ==
【总结】本题主要考察利用去分母或者是换元法解分式方程，注意解完后要检验．
【作业9】解下列方程：
（1）1111
8475x x x x +=+
----； （2）222212219116x x x x x x x +++++=+++． 【难度】★★★
【答案】（1）6x =；（2）12x x =，31x =． 【解析】（1）原方程可变形为：
1111
8754x x x x -=-
----，
即()()
()()
1
1
8754x x x x =
----， 所以()()()()8754x x x x --=--，
去括号，得：221556920x x x x -+=-+， 解得：6x =．
经检验6x =是原方程的解，所以原方程的解为6x =；
（2）原方程可变形为：22221123
1132
x x x x x x ++++=++++，
设2211
x x y x ++=+，则原方程变为12332y y +=+，解得：12
2332y y ==，．
当22
1213
x x x ++=+时，化简得：2
310x x ++=，解得：12x x ==； 当22
13
12
x x x ++=+时，化简得：2210x x -+=，解得：31x =，
经检验12x x ==，31x =是原方程的解，
所以原方程的解为：12x x =
=，31x =． 【总结】考察分式方程的解法，注意对方法的归纳总结，解完后注意要检验．
【作业10】若方程x 的方程221
1k x kx x x x x
+-=
--只有一个解，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】0k =或12
k =
． 【解析】原方程可以化为()22310kx k x +--=①，
（1）当0k =时，原方程有一个解，12
x =
； （2）当0k ≠时，()2
25410k k =+->，则方程①恒有两个不相等的实数根，又原方程只有一个解，则必有一个解为原方程的增根，即0x =或1x =，当0x =时，不是方程①的
解，1x ∴=，代入方程①得12k =；把1
2
k =代入原方程，得2x =-．
综上所述：0k =或1
2k =
【总结】考察先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程解的讨论．
【作业11】已知方程()2
2
2
22
1210()
x ax a a x a +-++-=+有实数根，求实数a 的取值范围． 【难度】★★★
【答案】11
22
a -≤≤且0a ≠．
【解析】原方程可整理得()()
2
2
22
1210x a x a a x a +-+
+-=⎡⎤⎣⎦+，进一步整理得：
()()
2
2
2
2
20x a x a ax x a +-+
=+，()2
0x a x a x a ⎡
⎤∴+-=⎢⎥+⎣⎦
，()
0x a x a x a ∴+-=+， 去分母整理，得：()
223210ax a x a +-+=；
当0a =时，解得：0x =，此时0x a +=，原方程无意义；
当0a ≠时，若方程有实数根，则()2242140a a =--≥，解得：11
22
a -≤≤，
其方程的根为：x =
又0x a +≠，即x a ≠-，解得：0a ≠， 综上所述，当原方程有实数根时，a 的取值范围为：11
22
a -≤≤且0a ≠．
【总结】考察方程有解求方程中参数的问题，以及结合含字母系数的分类讨论的综合运用，综合性加强，注意进行方法的总结．。