2020-2021学年镇江市扬中第二高级中学高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年镇江市扬中第二高级中学高一上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知i是虚数单位，a∈R，则“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
,1,2,3}，则使函数y=xα的定义域为R，且该函数为奇函数的α值为()
2.设α∈{−1,1
2
A. 1或3
B. −1或1
C. −1或3
D. −1、1或3
3.5、设，()，，则、、的大小关系为()
A. B. C. D.
4.已知函数f(x)=log3(9x+1)
−1，下列说法正确的是()
x
A. f(x)既不是奇函数也不是偶函数
B. f(x)的图象与y=sinx有无数个交点
C. f(x)在(0,+∞)上为减函数
D. f(x)的图象与y=2有两个交点
5.电流强度(安)随时间(秒)变化的函数的
图象如右图所示，则当时，电流强度是()
A. 安
B. 安
C. 安
D. 安
6.函数y=sinα⋅cosα的最小正周期为()
B. π
C. 2π
D. 4π
A. π
2
,e]上有解(其中e为自然对数的底数)，则实数a的取值范围是7.已知方程a−x2=−2lnx在区间[1
e
()
A. [1,1
e 2+2]
B. [1,e 2−2]
C. [1
e 2+2,e 2−2] D. [e 2−2,+∞)
8.
函数f(x)=
+
的定义域为( )．
A. [−2,0)∪(0,2]
B. (−1,0)∪(0,2]
C. [−2,2]
D. (−1,2]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.
与2020°终边相同的角是( )
A. −220°
B. −140°
C. 140°
D. 220°
10. 已知函数f(x)=(x 2−1)2−|x 2−1|，则以下四个命题正确的是( )
A. 函数y =f(x)为偶函数
B. 函数y =f(x)有且仅有四个零点
C. 存在实数k ，使得方程f(x)=k 恰有8个不同的实根
D. 函数y =f(x)在[1,+∞)上为增函数
11. 以下各式化简错误的是( )
A. a −25a 13a 1
15=1
B. (a 6a 9)−2
3=a −4a 6 C. (x 14
y −13
)(x 14
y 23
)(x −12
y 23
)=y
D.
−15a 12b 1
3c
−34
2512b 13c 54
=−3
5ac
12. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，且f(0)=f(5π
6)，
则下列说法正确的为( )
A. 函数y =f(x −2π
3)为奇函数
B. 对任意x ∈R 均满足f(7π
6+x)+f(7π
6−x)=0
C. 若函数f(x −π
2)在区间[0,m]上有两个极值点，则m 取值的范围是[11π12,
17π
12
)
D. 要得到函数g(x)=2cos2x 的图象，只需将函数f(x)的图象向右平移π
12个单位长度
三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角α的弧度数是______ ．
14.设a>0，b>0，√2是a与b的等比中项，log a x=log b y=3，则1
x +1
y
的最小值为______ ．
15.函数f(x)=√2sin(x+π4)+2x2+x
2x2+cosx
的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=______ ．
四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点P(m,12
13
)，
则tanα=.保持角α始边位置不变，将其终边逆时针旋转π
2
得到角β，则cosβ=．
五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知sinα+cosα=−1
5
，α∈(0,π)，分别求下列各式的值：
(1)tanα；
(2)sinαcosα
3sin2α−sinαcosα+2cos2α
．
18.已知函数f(x)=asin2x+2cos2x，且满足f(x)的图象过点(−π
6
,0)．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及最小正周期；
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[−π
12
,m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．
19.设函数其中向量，．
(1)求的最小值，并求使取得最小值的的集合；
(2)将函数的图象沿轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数的
图象关于轴对称？
20.上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t(单位：
分钟)满足：2≤t≤20，t∈N，经测算，地铁载客量p(t)与发车时间间隔t满足p(t)=
{1200−10(10−t)2,2≤t<10
1200,10≤t⩽20，其中t∈N．(1)请你说明p(5)的实际意义；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360
−360(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分
t
钟的净收益最大？并求最大净收益．
21.若关于x的不等式(k−1)x2+(k−1)x+2>0的解集为R，求k的取值范围．
22.已知函数，其中．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数的单调性．
参考答案及解析
1.答案：A
解析：
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
解：a∈R，(a+i)2=a2−1+2ai为纯虚数，则a2−1=0，2a≠0，
解得a=±1．
∴a∈R，则“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的充分不必要条件．
故选：A．
2.答案：A
解析：
1，2，3时，函数的定义域和奇偶性，然后分别和已知根据幂函数的性质，我们分别讨论α为−1，1
2
中的要求进行比照，即可得到答案．
本题考查的知识点是奇函数，函数的定义域及其求法，其中熟练掌握幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数α的关系，是解答本题的关键．
解：当α=−1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；
当α=1时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；
当α=1
函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；
2
当α=2时，函数y=xα的定义域为R且为偶函数，不满足要求
当α=3时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；
故选：A．
3.答案：C
解析：
本题考查利用对数函数及指数函数的单调性比大小，对于不同底的指对数比大小，一般利用0和1作中介．
解：
故选C．
4.答案：C
解析：解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=log3(9x+1)
x
−1，其定义域为{x|x≠0}，
则f(−x)+f(x)=log3(9x+1)
x −1+log3(9−x+1)
(−x)
−1=log3(9x+1)
x
−log3(
9x+1
9x
)
x
−2=0，则f(x)为奇函数，
A错误；
对于B，函数f(x)=log3(9x+1)
x −1=log3[9
x⋅(1+1
9x
)]
x
−1=1+log3(1+1
9x
)⋅1
x
，
当x>0时，1
x >0，1+1
9x
>1，log3(1+1
9x
)⋅1
x
>0，f(x)>1>sinx，
又由f(x)为奇函数，则当x<0时，f(x)<−1，则f(x)的图象与y=sinx没有交点，B错误；
对于C，当x>0时，1
x ，1+1
9x
都是单调递减，log3(1+1
9x
)单调递减，
故f(x)单调递减，C正确；
对于D ，若f(x)=2，则有log 3(9x +1)
x
−1=2，
即log 3(9x +1)=3x ，变形可得9x +1=27x ，即(1
3)x +(1
27)x =1，
设g(x)=(13)x +(1
27)x ，则g(x)为减函数且在其值域为(0,+∞)， 则g(x)=1有且只有1解，即f(x)的图象与y =2只有一个交点，D 错误， 故选：C ．
由已知结合函数的单调性，奇偶性等函数性质分析各选项即可判断．
本题主要考查了函数性质的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题．
5.答案：B
解析：试题分析：通过函数的图象求出满足条件的A ，周期T ，利用周期公式求出ω，根据函数的图象过的特殊点求出φ值，代入给出函数的解析式，然后将秒代入，求出题目所有的电流强度。

解：由函数图象可知函数的最大值为10，最小值为−10， 又由A >0，
∴A =10，∴I =10sin(100πt +φ)，
∴I =10sin(100πt +
)，故可知当当
时，电流强度
是2，故选B ． 考点：函数解析式
点评：已知函数图象求函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一
6.答案：B
解析：解：∵y =sinα⋅cosα=1
2sin2α ∴T =
2π2
=π
故选B ．
先根据二倍角公式化简，然后根据T =
2πw
求得最小正周期．
本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的性质--周期性．考查考生对基础知识的掌握程度．
7.答案：B
解析：解：方程a−x2=−2lnx化为a=−2lnx+x2，由f(x)=−2lnx+x2，可得f′(x)=2x−2
x
，
2x−2
x =0解得：x=1，x∈(1
e
,1)，f′(x)<0，函数是减函数，x∈(1,e)，f′(x)>0，函数是增函
数，
区间[1
e ,e]上的最小值为：f(1)=1，f(e)=e2−2，f(1
e
)=2+1
e2
，∴f(x)在区间[1
e
,e]上的最小值为：
1．
最大值为：e2−2．
故a=2lnx−x2在区间[1
e
,e]上有实根，∴实数a的取值范围为[1,e2−2]．
故选：B．
转化方程为a的表达式．通过函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的值域，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值、函数的零点与方程根的关系，正确求导是关键，属于中档题．
8.答案：B
解析：由题意知解得x∈(−1,0)∪(0,2]
9.答案：BD
解析：
本题考查终边相同角的概念，是基础题．
直接由2020°=5×360°+220°，2020°=6×360°−140°得答案．
解：∵2020°=6×360°−140°，2020°=5×360°+220°，
∴与2020°终边相同的是−140°或220°．
故选：BD．
10.答案：AC
解析：解：对于A：由于x∈R，且f(−x)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，故A正确；
对于B：令x2−1=t，则f(t)=t2−|t|，令f(t)=0，故t2=|t|，所以t=0，−1，1时成立，故有3个零点，故B错误；
对于C：根据函数的关系式画出函数的图象，
如图所示：
故存在k 值，使方程f(x)=k 恰有8个不同的实根，故C 正确；
对于D ：令x 2−1=t ，则f(t)=t 2−|t|，当t >0时，f(t)=t 2−t =(t −1
2)2−1
4，所以函数在[1
2,+∞)上单调递增，故D 错误． 故选：AC ．
直接利用函数的图象和性质的应用，函数的零点和方程的根的关系，换元法，二次函数的性质判断A 、B 、C 、D 的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，函数的零点和方程的根的关系，换元法，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.答案：BD
解析：
利用有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题． 解：对于选项A ：a −2
5a 1
3a 1
15=a 0=1，所以选项A 正确， 对于选项B ：(a 6a 9)−23=a −4a −6，所以选项B 错误．
对于选项C ：(x 1
4y −1
3)(x 1
4y 2
3)(x −1
2y 2
3)=x 14+14−1
2y −13+23+2
3=x 0y =y ，所以选项C 正确， 对于选项D ：−15a 12b 13c
−3
4
2512b 13c 54
=−3a 1
2c −2，所以选项D 错误，
故选：BD ．
12.答案：BD
解析：
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定函数解析式，以及正弦函数的图象和性质应用问题，是中档题．
由函数的图象求出f(x)的解析式，再根据函数解析式判断选项中的命题是否正确即可．
解：由函数图象知：A=2，
又，则函数f(x)的一条对称轴为：，
故函数f(x)的最小正周期，
则，
则函数f(x)=2sin(2x+φ)，
又点在函数图象上，则，
则，
则，(k∈Z)，又，
则，
故函数．
A.函数，
当x=0时，y=−√3，即该函数不过原点，故不是奇函数，故A错误；
B.由，
可得函数的图象关于对称，
故对任意x∈R均满足，故B正确；
C.，
则该函数，
令y′=0得，
k=0时，，k=1时，，k=2时，，
当时，y′>0，当，y′<0，当时，y′>0，
由极值点的定义，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，但该函数给定区间的端点不是函数的极值点，
故若该函数区间[0,m]上有两个极值点，则m取值的范围是(11π
12,17π
12
]，故C错误；
D.将函数f(x)的图象向右平移 π
12
得到
，故D正确．故选BD．
13.答案：2
解析：解：设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则{2r+αr=4 1
2
αr2=1
解得：α=2
故答案为：2．
设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，利用扇形的周长为4，面积为1，即可求得扇形的圆心角的弧度数．
本题考查扇形的周长与面积公式，解题的关键是建立方程组，属于基础题．
14.答案：√2
2
解析：
解：设a>0，b>0，√2是a与b的等比中项，
可得ab=2，
由log a x=log b y=3可得x=a3，y=b3，
xy=(ab)3=8，
且x>0，y>0，
由1
x +1
y
≥2√1
xy
=2√1
8
=√2
2
．
当且仅当x=y=2√2时，取得等号．
即有1
x +1
y
的最小值为√2
2
．
故答案为：√2
2
．
运用等比数列中项的性质，可得ab=2，由对数的定义可得xy，再由基本不等式可得最小值．
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．
15.答案：2
解析：解：∵√2sin(x +π
4
)=√2[√2
2
sinx +√2
2
cosx]=sinx +cosx
∴f(x)=
√2sin(x+π
4)+2x 2+x
2x 2+cosx =
2x 2+x+sinx+cosx
2x 2+cosx
=1+x+sinx
2x 2+cosx
设g(x)=x+sinx
2x 2+cosx ， ∵g(−x)=
−x−sinx 2x 2+cosx
=−g(x)
∴g(x)为奇函数，
∴函数g(x)的最大值与最小值之和为0，
∴函数f(x)的最大值和最小值之和M +m =1+1+0=2 故答案为2
先利用两角和的正弦公式化简已知函数解析式，将其分解为常数1加一个奇函数，再利用奇函数的对称性即可得f(x)最大值与最小值的和
本题考查了奇函数的定义及其判断方法，奇函数图象的对称性及其应用，三角变换公式的运用，将已知函数分解出一个奇函数是解决问题的关键
16.答案：12
5 ;
−
1213
解析：
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中应用，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．
解：若角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点P(m,12
13)， 则m =√1−(1213)2=5
13，
则tanα=
1213513
=
125
，
保持角α始边位置不变，将其终边逆时针旋转π
2得到角β，则cosβ=cos(α+π
2)=−sinα=−12
13． 故答案为：12
5；−12
13．
17.答案：解：(1)∵sinα+cosα=−1
5，
∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1
25， ∴sinαcosα=−
1225
<0，
又∵α∈(0,π)， ∴sinα>0，cosα<0， ∴sinα−cosα>0，
∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=7
5． 联立{sinα+cosα=−1
5
sinα−cosα=
75，解得sinα=35，cosα=−45
， ∴tanα=sinαcosα=−3
4； (2)∵tanα=−3
4，
∴
sinαcosα3sin 2α−sinαcosα+2cos 2α=
tanα
3tan 2α−tanα+2
=
−
343×916+34
+2=−12
71
．
解析：(1)利用同角三角函数基本关系式、三角函数值与角所在象限之间的关系即可得出； (2)利用“弦化切”及其同角三角函数基本关系式即可得出．
本题考查了同角三角函数基本关系式、三角函数值与角所在象限之间的关系、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.答案：解：(Ⅰ)由题意，f(−π6)=asin(−π3)+2cos 2(−π6)=−√3
2a +2×34
=0，
解得a =√3．
∴f(x)=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π
6)+1．
∴f(x)的最小正周期T =
2π2
=π；
(Ⅱ)由x ∈[−π
12,m]，得2x +π
6∈[0,2m +π
6]， ∵函数f(x)在区间[−π
12,m]上的最大值为3， ∴sin(2x +π
6)在区间[−π12,m]上的最大值为1， 则2m +π
6≥π
2，即m ≥π
6． ∴实数m 的取值范围是[π
6,+∞)．
解析：(Ⅰ)由f(−π
6
)=0列式求得a值，代入函数解析式，再由辅助角公式化积，则函数的解析式及最小正周期可求；
(Ⅱ)由x的范围求得2x+π
6的范围，再由函数f(x)在区间[−π
12
,m]上的最大值为3，可得2m+π
6
≥π
2
，
求解不等式可得实数m的取值范围．
本题考查两角和与差的三角函数，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是中档题．
19.答案：解：(1)
．
故函数的最小值为，此时；
于是．
故使取得最小值的的集合为．
(2)由条件可得，因为其图象关于轴对称，
所以，，
又，故当时，取得最小值，于是至少向右平移个单位长度，才能使得到的函数的图象关于轴对称．
解析：试题分析：本题主要考查向量的数量积、两角和与差的正弦公式、三角函数最值、三角函数图像的平移等基础知识，考查学生的数形结合思想和计算能力．
第一问，先利用向量的数量积得到解析式，再利用两角和与差的正弦公式化简，使化简成的形式，再数形结合求三角函数最值；
第二问，先利用函数图象的平移法则将表达式变形，得到，再根据函数的对称性数形结合得到的值．
20.答案：解：(1)由分段函数的表达式得p(5)的实际意义，发车间隔为5，载客量为950；
(2)当2≤x<10时，p(t)=−10t2+200t+200，
Q=6p(t)−3360
t −360=−60t2+1200t+1200−3360
t
−360=840−60(t+36
t
)≤840−60×2√t⋅36
t
=
840−60×12=120，当且仅当t=36
t
，即t=6时取等号．
当10≤t ≤20时，Q =6p(t)−3360
t
−360=
6×1200−3360
t
−360=
3840t
−360≤
384010
−360=384−
360=24．
则当t =6，Q max =120．
即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元．
解析：本题主要考查函数的应用问题，利用基本不等式以及函数的单调性求最大值是解决本题的关键．
(1)根据分段函数的表达式进行判断即可．
(2)求出Q 的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可．
21.答案：解：当k −1=0，即k =1时，2>0恒成立，符合题意；
当k −1≠0，即k ≠1时，则{k −1>0
△=(k −1)2−8(k −1)<0，解得1<k <9．
综上，实数k 的取值范围为[1,9)．
解析：分k −1=0及k −1≠0两种情况讨论即可得解，二次式要大于0恒成立，则需开口向上，且判别式小于0即可．
本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
22.答案：解：(1)
的定义域为关于原点对称，，
∴，
所以为奇函数． (2)任取
，
，且
，
则，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴
在上为减函数．
由奇函数的性质知，函数在上也单调递减．
所以，在和上为减函数．解析：(1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
(2)根据函数单调性的定义和性质进行证明即可．。