2019版高考理科数学一轮复习精选提分练含最新2018模拟

一、选择题
1．(2018届杭州模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n 2．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为( )
A ．a n ＝2n
B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2
C ．a n ＝2n －1
D ．a n ＝2n ＋
1 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝－2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )
A ．(－2)n －1＋1
B ．2n －
1＋1 C ．(－2)n －1 D ．(－2)n ＋
1－1 4．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) A.b －a n
B.a －b n ＋1
C.b －a n ＋1
D.b －a n ＋2 5．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4
，则a 1a 5等于( )
A ．24 2
B ．8
C ．8 2
D ．16
6．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )
A ．d >0
B ．d <0
C ．a 1d >0
D ．a 1d <0
7．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )
A ．(n ＋1)3
B ．(2n ＋1)2
C ．8n 2
D ．(2n ＋1)2－1
二、填空题
9．定义：称n x 1＋x 2＋…＋x n
为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝⎩⎨⎧ 1＋2a n 2，n 为偶数，
12＋2a n －12，n 为奇数，
n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．
11．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，若对任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3
，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 4＋b 8
＝________. 12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝3a n －1＋3n ＋4(n ∈N *，n ≥2)，若存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列，则λ＝________.
答案精析
1．A [因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ， 所以a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n
＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，
所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n (n ≥2)，
又a 1＝2也满足2＋ln n ，所以a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．]
2．B 3.A
4．C
5．C [∵a 1＋a 22＝2(a 1＋a 2)a 1a 2
，∴a 1a 2＝4，同理，a 3a 4＝16， ∴q 2＝2，即q ＝ 2.∵a 3a 4＝16，∴a 23＝82，而a 1a 5＝a 23，
∴a 1a 5＝82，故选C.]
6．D [令b n ＝2a 1a n ，因为数列{b n }为递减数列，
所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n
＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所以a 1d <0.] 7．B [∵{b n }为等差数列且b 3＝－2，b 10＝12，∴b 10－b 3＝7d ＝14，∴d ＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a n ＋1－a n ＝2n －8.
∴a 8－a 7＝6，a 7－a 6＝4，…，a 2－a 1＝－6，
累加得a 8－a 1＝7×(6－6)2
＝0，∴a 8＝a 1＝3.故选B.] 8．A [当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2
a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n n ＋1，得4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n ，两式相减，得4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ，即a n a n －1
＝(n ＋1)3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3.]
9．4n －1
解析 由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.
10．b n ＝2n
解析 由题意可知，对于任意的正整数n ，
b n ＝a 2n －1＋1，所以b n ＋1＝a 2n ＋1，
又a 2n ＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，所以b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2， 所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n .
11.1941
解析 ∵等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，对任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3
， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 4＋b 8＝a 92b 6＋a 32b 6
＝a 9＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 12．2
解析 设b n ＝a n ＋λ3n ，得a n ＝3n b n －λ，代入已知得3n b n －λ＝3(3n －1b n －1－λ)＋3n ＋4，变形为3n (b n －b n －1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n 都成立．由于{b n }是等差数列，b n －b n －1是常数，所以b n －b n －1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2.。