2019-2020学年湖南师范大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南师范大学附属中学高一上学期期中数学
试题
一、单选题
1．已知集合{
}*
|21,A x x x N =-≤∈，则集合A 的真子集个数是（ ）
A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】先确定集合A 中元素个数，进而可得出结果. 【详解】
因为{
}{}{}*
*
|21,3,1,2,3A x x x N
x x x N =-≤∈=≤∈=，共含有3个元素，
因此其真子集个数为3217-=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查求集合真子集的个数，熟记求真子集个数的公式即可，属于基础题型. 2．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A ．B∩[∁U （A ∪C ）]
B ．（A ∪B ）∪（B ∪
C ） C ．（A ∪C ）∩（∁U B ）
D ．[∁U （A∩C ）]∪B
【答案】A
【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“不是A 的元素或C 的元素，且是B 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案． 【详解】
由已知中阴影部分所表示的集合元素满足不是A 的元素或C 的元素，且是B 的元素 即不是A 并C 的元素，且是B 的元素，即是A 并C 的补集的元素，且是B 的元素， 故阴影部分所表示的集合是B∩[∁U （A ∪C ）]， 故选：A ． 【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，属于基础题．
3．函数()2
2x
f x a x
=-
-的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2
C ．()0,3
D ．()0,2
【答案】C
【解析】由题意得()()f 1f 20<，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】
由条件可知()()()()f 1f 2?22a 41a 0=<－－－－
，即a(a －3)<0， 解得0<a<3. 故选C ． 【点睛】
本题考查利函数零点存在性定理的应用，解题的关键是根据函数在给定的区间两端点处的函数值异号得到不等式，考查应用能力和计算能力，属于容易题． 4
．函数1
()ln(1)
f x x =+的定义域为（ ）
A ．[3,3]-
B ．(1,0)(0,3]-U
C ．[3,0)(0,3]-U
D ．(1,3]-
【答案】B
【解析】求函数y 的定义域，首先分母不等于0，再根据对数函数和根号有意义的条件进行求解. 【详解】
1()ln(1)f x x =++，要使函数有意义，x 应满足210
1190
x x x +>⎧⎪
+≠⎨⎪-≥⎩
解得10x -<<或03x <≤，故函数的定义域为：(1,0)(0,3]-U ， 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0. 5．下列幂函数中，既是奇函数，又在区间(),0-∞上为减函数的是（ ） A ．1
2y x = B ．1
3y x = C ．2
3y x = D ．1
3y x -=
【答案】D
【解析】根据奇函数的概念，以及幂函数的单调性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
A 选项，函数1
2y x =的定义域为()0,∞+，因此不是奇函数，排除A ；
B 选项，函数13
y x =的定义域为R ，且113
3
()-=-x x ，因此13
y x =是奇函数；又1
03>，
根据幂函数的单调性，所以函数13
y x =在()0,∞+上单调递增，又其为奇函数，所以
13
y x =在(),0-∞上也单调递增；排除B ；
C 选项，函数23
y x =的定义域为R ，且2233()x x =-，所以函数23
y x =是偶函数，排除C ；
D 选项，函数13y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1133()--
-=-x x ，
所以函数1
3
y x -=是奇函数，又1
03
-
<，根据幂函数单调性，所以13y x -=在()0,∞+是减函数，根据奇函数的性质可得13
y x -=在(),0-∞也是减函数；D 正确；
故选：D 【点睛】
本题主要考查判断函数奇偶性与单调性，熟记函数奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.
6．已知()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪
=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),2-∞
B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．()2,+∞
D ．13,28⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【解析】根据函数恒减，得到()2
2012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫
-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，求解即可得出结果. 【详解】
因为()()2,2
11,22x a x x f x x ⎧-≥⎪
=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩是R 上的单调递减函数，
所以()2
2012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫
-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，即2138a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以138a ≤. 故选：B 【点睛】
本题主要考查由分段函数的单调性求参数，解决此类问题的关键在于注意每一部分的单调性，以及结点位置的取值情况即可，属于常考题型.
7．函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为 ( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：2
0,()()()x x
e e x
f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;
243
()()2(2)(2)()2,()0x x x x x x
e e x e e x x e x e
f x x f x x x
---+---++=='∴>'>Q ， 所以舍去C ；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．已知函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,则函数(1)f x +的反函数的图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】试题分析：函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图像恒过（0,1）点，函数(1)f x +的图像恒过（-1,1），则其反函数的图像恒过（1,-1）而选项A 恒过（0,0），选项B 恒过（2,0），选项C 恒过（1,0），故排除；所以正确选项为D 【考点】1、函数图像的平移；2、反函数的性质.
9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f -=，若对于任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，都有
()()
112212
0x f x x f x x x -<-成立，则不等式()0f x <的解集为（ ）
A ．()(),11,-∞+∞U
B ．()()1,00,1-U
C ．()(),10,1-∞-⋃
D ．()()1,01,-⋃+∞
【答案】C
【解析】先令()()F x xf x =，根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，结合函数奇偶性的定义，判断()F x 是偶函数；根据题意，再判断()F x 在(),0-∞上是单调递减，在()0,∞+上是单调递增，由()10f -=，得到()()110-==F F ；根据函数单调性，
分类讨论，即可求出结果； 【详解】
令()()F x xf x =，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()()F x xf x xf x F x -=--==，所以()F x 是偶函数， 因为任意()12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，都有
()()
112212
0x f x x f x x x -<-成立，
所以()F x 在(),0-∞上是单调递减，在()0,∞+上是单调递增， 又因为()10f -=，所以()()()1101F f F -=--==. 当1x <-时，()()10F x F >-=，因为0x <，∴()0f x <；
因为当10x -<<时，()()10F x F <-=，因为0x <，所以()0f x >； 当01x <<时，()()10F x F <=，因为0x >，所以()0f x <； 当1x >时，()()10F x F >=，因为0x >，所以()0f x >. 所以不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选:C 【点睛】
本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性的概念即可，属于常考题型.
10．已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()()2
0f x af x +=有n 个不同的实
根，则n 的值不可能为（ ） A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
【答案】A
【解析】先作出函数()11f x x =--的图像，根据()()20f
x af x +=得()0f x =或
()f x a =-，原方程根的个数，转化为函数()f x 与x 轴以及直线y a =-交点个数；结
合函数图像，即可得出结果. 【详解】
因为函数()
2,2 2,12
11
,01
,0
x x
x x
f x x
x x
x x
-≥
⎧
⎪-≤<
⎪
=--=⎨
≤<
⎪
⎪-<
⎩
，
作出()
f x的图像如下：
由()()
20
f x af x
+=得：()0
f x=或()
f x a
=-，
所以方程()()
20
f x af x
+=的解的个数，即为函数()
f x与x轴以及直线y a
=-交点个数，
由图像可得：()
f x与x轴有2个交点，
①当0
a
-<，即0
a>时，函数()
f x与直线y a
=-无交点，故原方程共2个解；
②当0
a
-=，即0
a=时，原方程可化为()0
f x=，故原方程共2个解；
③当01
a
<-<，即10
a
-<<时，函数()
f x与直线y a
=-有4个交点，故原方程共6个解；
④当1
a
-=，即1
a=-时，函数()
f x与直线y a
=-有3个交点，故原方程共5个解；
⑤当1
a
->，即1
a<-时，函数()
f x与直线y a
=-有2个交点，故原方程共4个解；综上，原方程解的个数可能为2，4，5，6.
故选A
【点睛】
本题主要考查方程根的个数的判定，灵活运用转化与化归的思想，根据数形结合的方法即可求解，属于常考题型.
11．已知定义域为D的函数()
f x，若对任意x D
∈，存在正数M，都有()
f x M
≤
成立，则称函数()f x 是定义域D 上的有界函数．已知下列几个函数：
①()2
5243f x x x =
-+；②()f x =()34x f x x
+=-；④()13x f x =-.其中有界函数的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】根据函数的性质，分别求出函数值域，结合题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 ①()22
552432(1)1
=
=-+-+f x x x x ，因为2
2(1)11-+≥x ， 所以()2552(1)1=
≤-+f x x ，又
()25
02(1)1
=>-+f x x ， 所以()(]0,5∈f x ；因此()5f x ≤，满足题意；①正确；
②()f x =()1=≤f x ，满足题意；②正确； ③()374711444++-=
==-+≠----x x f x x x x
，即()()(),11,∈-∞-⋃+∞f x ， 因此()1f x ≥，不满足题意；③错；
④因为30x >，所以()131=-<x
f x ，不满足题意，④错；
故选：B 【点睛】
本题主要考查函数的值域，熟记求函数值域的方法即可，属于常考题型.
二、填空题
12．化简20
11log 53
10.06428-
+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭
的结果为________． 【答案】
272
【解析】根据对数运算，以及指数幂运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】
()220
1
131log 5
log 103
315270.06420.41211822⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+-+=++=+=
⎪⎝⎭
.
故答案为：272
【点睛】
本题主要考查指数幂与对数的化简求值，熟记运算法则即可，属于基础题型. 13．已知函数()()120,1x x a
f x a a a ++-=>≠为偶函数，则a =________．
【答案】
12
【解析】根据题意，先确定函数定义域，再由函数为偶函数，得()()22f f -=，求出
1
2
a =
，代入原函数检验，即可得出结果. 【详解】
由题意，函数()()120,1x x a
f x a
a a ++-=>≠的定义域为R ，
因为函数()f x 为偶函数，
所以()()22f f -=，即21222122-++--++-=a a a a ， 即122322++=+-a a ，即1=-a a ，解得：12
a =
， 所以当12a =时，()11
12++-⎛⎫= ⎪⎝⎭
x x f x ，定义域是R ；
且()()11
11
1122-++--++-⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
x x x x f x f x ， 因此满足()f x 为偶函数；即1
2
a =满足题意； 故答案为：12
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求参数，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型. 14．设2
5
35a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，35
25b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25
25c ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则用“<”连接a ，b ，c 为________．
【答案】a c b >>
【解析】先令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数单调性，得到()25x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为减函数，推出c b >，再比较a ，c ，由20
5
33122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得出结果.
【详解】
令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵2015<<，∴()25x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数， 又2355<，所以2
3
55
2255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即c b >；
又2
5
33122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c >，
综上，可得a c b >>； 故答案为：a c b >> 【点睛】
本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数单调性即可，属于常考题型.
15．设a ，b ，c 为实数，()()()
2
f x x a x bx c =+++，()()()
2
11g x ax cx bx =+++，
记集合(){}
|0,S x f x x R ==∈，(){}
|0,T x g x x R ==∈，若S ，T 分别为集合S ，
T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．
①1S =，0T =；②1S =，1T =；③2S =，2T =；④2S =，3T =. 【答案】①②③
【解析】①根据0T =，得到方程()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 无实根，推出0a =，
240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数，即可判断①；②取2
040a b c ≠⎧⎨-<⎩，分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断②；③取20
040
a c
b
c ≠⎧⎪
≠⎨⎪-=⎩
分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断③；④当3T =时，方程
()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，由此
求()0f x =根的个数，即可判断④. 【详解】
①当0T =时，方程()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240
b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时，()3
f x x =，由()0f x =得0x =，此时1S =；
当0a =，240b c -<时，()()
2
=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时1S =；
故①成立；
②当2
040
a b c ≠⎧⎨
-<⎩时，由()()()2
0=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即1S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1
x a
=-；即1T =；存在②成立；
③当20040
a c
b
c ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩
时，由()()()2
0=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；
由()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-
或2
=-x b
；只需2b a ≠，即可满足2S =，2T =；故存在③成立；
④当3T =时，方程()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，
240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，则0
0x ≠，且
200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()030
1
0g x x ==，故0
1x 为方程()0f x =的根．此
时()0f x =有三个根，即3T =时，必有3S =，故不可能是2S =，3T =；④错； 故答案为：①②③ 【点睛】
本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.
三、解答题
16．下列命题中错误的个数为（ ） ①()11221
x f x =
+-的图像关于()0,0对称； ②()3
1f x x x =++的图像关于()0,1对称； ③()2
1
1
f x x =-的图像关于直线0x =对称． A ．1 B ．2
C ．3
D ．0
【答案】D
【解析】根据函数奇偶性的定义，先判断()11221
x f x =
+-为奇函数，即可得出①正确；令3
()=+g x x x ，先判断其为奇函数，再由()3
1()1=++=+f x x x g x ，即可得
出②正确；根据偶函数的定义，直接判断()2
1
1
f x x =-为偶函数，即可得出③正确；从而可确定结果. 【详解】
①因为()11221
x f x =
+-，由210x -≠得，定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 所以()1112221212
--=+=+--x
x x
f x ， 因此()111212()1022121221
-+-=+++=+=---x x
x x
x f x f x ， 所以()()f x f x -=-；即函数()11
221
x f x =
+-是奇函数，关于()0,0对称；①正确；
②令3()=+g x x x ，定义域为R ，又3()()-=--=-g x x x g x ， 所以函数3
()=+g x x x 是奇函数，关于()0,0对称，
又()3
1()1=++=+f x x x g x ，所以其图像关于点()0,1对称；②正确；
③因为()2
1
1f x x =
-，由210x -≠得定义域为：()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞， 所以()()211-==-f x f x x ，因此函数()21
1
f x x =-为偶函数，其图像关于直线0x =对称；③正确.
故选：D 【点睛】
本题主要考查根据函数奇偶性判断函数的对称问题，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型.
17．已知集合
A x y ⎧⎫==
⎨⎩，{}1
|3x B y y -==. （Ⅰ）求A B I ；
（Ⅱ）若{}|40M x mx =+<且()A B M ⊆I ，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()1,A B =+∞I （Ⅱ）4m ≤-
【解析】（Ⅰ）先化简集合A B 、，再求交集，即可得出结果；
（Ⅱ）先由()A B M ⊆I ，得()1,+∞⊆M ，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】
（Ⅰ）由
A x y ⎧⎫==
⎨⎩，{}1
|3x B y y -==， 得()1,A =+∞，()0,B =+∞， 所以()1,A B =+∞I ；
（Ⅱ）由()A B M ⊆I ，得()1,+∞⊆M ，
所以041m m
<⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得4m ≤-.
【点睛】
本题主要考查求集合的交集，以及由集合的包含关系求参数，熟记交集的概念，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.
18．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2
f x x =.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
（Ⅱ
）)
+∞ 【解析】（Ⅰ）先由函数奇偶性得()00f =；再设0x <，则0x ->，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果； （Ⅱ）先由题意，将不等式化为(
))
f x a f
+≥
，再由函数单调性，得到
x a +≥
，推出)1a x ≥
，求出)
max
1⎡
⎤⎣
⎦x ，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，()00f =.
设0x <，则0x ->，故()()2
2f x x x -=-=， 又因为()f x 是奇函数，故()()2
f x f x x =--=-，
所以()22
,0
,0
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩. （Ⅱ
）由)
2
2
2x =
，不等式()()2f x a f x +≥，等价于(
))
f x a f
+≥，
因为()22,0
,0
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，所以其在R 上是增函数，
∴x a +≥
，即)
1a x ≥
，
∵[],2x a a ∈+，∴当2x a =+
时，)(
))
max
121x a ⎡
⎤=+⎣⎦，
得a ≥
a
的取值范围是)
+∞.
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型. 19．设()12
1log 1ax
f x x -=-为奇函数，a 为常数． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明：确定()f x 在区间()1,+∞内的单调性；
（Ⅲ）设[]3,4A =，()1|2x
B x f x m ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，且A B ⊆，求实数m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）1a =-（Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ）9,8⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
【解析】（Ⅰ）根据函数为奇函数，得到1
12
2
11log log 11+-=----ax ax
x x ，推出
()()()()1111ax ax x x +-=-+-，从而可求出结果；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）得()1
12
2
12log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭（1x >或1x <-），记()2
11
u x x =+
-，定义法证明()u x 在()1,+∞上的单调性，再由复合函数单调性的判定方法，即可证明结论成立；
（Ⅲ）先设()1211log 12x
x g x x +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
，根据（Ⅱ）的结果，以及指数函数单调性，判
定
()g x 在[]3,4上为增函数．再由题意，得到()g x m >对[]3,4x ∈恒成立，只需()min m g x <，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）∵()1
2
1log 1ax
f x x -=-为奇函数，所以()()f x f x -=-， ∴1
112
22
111
log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----.
∴
11
11ax x x ax
+-=---，即()()()()1111ax ax x x +-=-+-恒成立， ∴1a =-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()1
12
212log log 111x f x x x +⎛
⎫==+ ⎪--⎝
⎭（1x >或1x <-）． 记()2
11
u x x =+
-， 任取121x x <<，则()()()()()
21121212222
1111--=
-=----x x u x u x x x x x ， 因为121x x <<，所以110x ->，210x ->，210x x ->， 因此()()()
()()
2112122011--=
>--x x u x u x x x ，即()()12u x u x >，
所以()u x 在()1,+∞上为减函数， 又函数
12
log y x =是减函数，
∴()1
2
1
log 1
x f x x +=-在()1,+∞上为增函数． （Ⅲ）设()1211log 12x
x g x x +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
.
由于()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数且12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是R 上的减函数， 所以()g x 在[]3,4上为增函数．
∵A B ⊆，[]3,4A =，所以()g x m >对[]3,4x ∈恒成立， ∴()()min 9
38
m g x g <==-. 故m 的取值范围是9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求参数，根据单调性的定义判断复合函数单调性，由集合的包含关系求参数，熟记奇偶性与单调性的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.
20．设二次函数()()2
,,f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：
①当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且图像关于直线1x =-对称；
②当()0,5x ∈时，()211x f x x ≤≤-+
恒成立．
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若()f x 在区间[]1,m m -上恒有()2
14
x f x -≤，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()2
114f x x =
+（Ⅱ）33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】（Ⅰ）先在②中令1x =，得到()11f =，根据题意，设二次函数为
()()()2
10f x a x a =+>，由()11f =，求出1
4
a =
，即可得出结果； （Ⅱ）先由（Ⅰ）得到()211
424
-=+x f x x ，由()214x f x -≤解得5322x -≤≤，再由题意，得到[]531,,22⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦
m m ，进而可求出结果.
【详解】
（Ⅰ）在②中令1x =，有()111f ≤≤，故()11f =.
当x ∈R 时，()f x 的最小值为0且二次函数关于直线1x =-对称， 故设此二次函数为()()()2
10f x a x a =+>.
∵()11f =，∴14
a =. ∴()()2114
f x x =
+. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()()222
111144424
x x f x x x -=+-=+，
因此，由()214x f x -≤即11124x +≤，得5322
x -≤≤； ∵()f x 在区间[]1,m m -上恒有()2
14
x f x -≤， 所以只需[
]531,,22⎡⎤
-⊆-⎢⎥⎣⎦
m m ， ∴5123
2m m ⎧
-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩
，解得3322m -≤≤，
∴实数m 的取值范围为33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查求二次函数的解析式，以及由不等式恒成立求参数，熟记二次函数的性质，绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.
21．对于在区间[],p q 上有意义的两个函数()f x 和()g x ，如果对于任意的[],x p q ∈，都有()()1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在区间[],p q 上是“接近”的两个函数，否则称它们在[],p q 上是“非接近”的两个函数．现有两个函数()()log 3a f x x a =-，
()1
log a
g x x a
=-（0a >，且1a ≠），给定一个区间[]2,3a a ++. （Ⅰ）若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++都有意义，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）讨论()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是否是“接近”的两个函数． 【答案】（Ⅰ）01a <<.（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）先由题意，求使()f x 与()g x 有意义的x 的范围；根据()f x 与()g x 在
[]2,3a a ++上有意义，得到23a a +>，从而可求出结果；
（Ⅱ）先由题意，得到()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦，令()()1f x g x -≤， 得到()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦，根据（Ⅰ）中范围，得到[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧，设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦，判断其在[]2,3a a ++上为减函数，求出最大值与最小值，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】
（Ⅰ）要使()f x 与()g x 有意义，则有30
10x a x a
->⎧⎪
⎨>⎪-⎩，又0a >且1a ≠，所以3x a >；
要使()f x 与()g x 在[]2,3a a ++上有意义，则3x a >对[]2,3x a a ∈++恒成立， 所以23a a +>，
又因为0a >，故01a <<；
（Ⅱ）由题意，()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦， 令()()1f x g x -≤，
得()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦.(*)
因为01a <<，所以[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧． 设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦，
则()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦在[]2,3a a ++上为减函数．
所以()()()min 3log 96a h x h a a =+=-，()()()max 2log 44a h x h a a =+=-.
于是()()log 441
log 96101
a a a a a ⎧-≤⎪-≥-⎨⎪<<⎩
，∴957
012
a -<≤
. 所以当9570,a ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦
时，()f x 与()g x 是接近的； 当957,112a ⎛⎫
-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时是非接近的．
【点睛】
本题主要考查由函数有意义求参数的范围，以及由绝对值不等式恒成立求参数范围，熟记具体函数定义域的求法，绝对值不等式的解法，会根据函数单调性求函数值域即可，属于常考题型.
22．如图，某油田计划在铁路线CD 一侧建造两家炼油厂A 、B ，同时在铁路线上建一个车站Q ，用来运送成品油．先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线QP ，再从P 分叉，分别向两个炼油厂铺设管线PA 、PB .图中各小写字母表示的距离（单位：千米）分别为5a =，8b =，15l =.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，公共输油管线长为k km ，总的输油管道长度为s km .
（Ⅰ）若0k =，请确定车站Q 的位置，使得总的输油管道长度为s 最小，此时输油管线铺设费用是多少？
（Ⅱ）请问从降低输油管线铺设费用的角度出发，是否需要铺设公用管线．如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案（精度为0.1千米）．
22251319.85+=22251219.21+=22251118.60+=，
18.03=17.49=17.00=16.55=，
16.16=15.81=15.52=15.30=.） 【答案】（Ⅰ） 5.77=CQ km ，输油管线铺设费用为142.92万元（Ⅱ）需要， 见详解. 【解析】（Ⅰ）当0k =时，Q 在CD 上，作A 关于CD 的对称点A '，连A B '，则它与
CD 交于点Q ，连QA 、QB ，根据图形可得，此时输油管道的总长度为
'==s A B =
+CQ a
l a b
推出=+a CQ l a b ，代入数据，即可得出结果；
（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点'A ，连'A B ，则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为
这是在确定k 的前提下最短的．以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．得到
=+=+s k k ，分别取不同的k 值，计算s ，比较大小，进而可确定大致区间，从而可确定结果.
【详解】
（Ⅰ）当0k =时，Q 在CD 上，
作A 关于CD 的对称点A '，连A B '，则它与CD 交于点Q ，连QA 、QB ， 由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为
'=+==s QA QB A B
这是最短的，此时
=
+CQ a
l a b
，所以=+a CQ l a b .
将数据代入，得19.85s km ==，575
15 5.771313
=
⨯==CQ km ， 输油管线铺设费用是7.27.219.85142.92s =⨯=万元．
（Ⅱ）设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点'A ，连'A B ， 则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．
()()2
2l a k b k +-+-⎡⎤⎣⎦
这是在确定k 的前提下最短的．
以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．
则可以得到，在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为
()()2
2s k l a k b k =++-+-⎡⎤⎣⎦.
三条管道交叉点的坐标为(),P x k ，()()
a k
x l a k b k -=-+-.0k =相当于不铺设公用管
道的情形．
将数据代入上式有()2
225132s k k =++-515132k
x k
-=⨯-.
对于不同的k ，分别计算管道的铺设长度得
k 0
1 1.5
2 2.5
3
4
5 s
19.85 19.60 19.53 19.49 19.50 19.55 19.81 20.30 x
5.77
5.45
5.25
5.00
4.69
4.29
3.00
0.00
由数据可知，最短铺设长度值在()19.53,19.50内，这个区间长度小于0.1千米的精度，于是，不妨取2k =，此时铺设管道的总长度为19.49，铺设费用为19.497.2140.328⨯=万元，比较不铺设公用管道所花的费用19.857.2142.92⨯=万元要节省2.592万元．这时三条管道交叉点位于()5,2处．
【点睛】
本题主要考查函数模型的综合应用，以及直线的应用，根据对称的方法求动点到两定点的距离的和即可，属于常考题型.。