数值分析模拟试题

数值分析模拟试题
1、
⽅程组中，，则求解⽅程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。

2、，则A 的LDL T 分解中，。

3、，则__________，_______________.
4、已
知，则⽤复合梯形公式计算求
得，⽤三点式求得____________. 5、，则_________
，三点⾼斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有________位有效数字。

7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。

8 求⽅程()x f x =根的⽜顿迭代格式是__________________。

9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。

10.⽜顿—柯特斯求积公式的系数和()0n
n k k C ==∑__________________。

11.⽤⼆次拉格朗⽇插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。

插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

12.⽤⼆分法求⽅程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在区间内的⼀个根，误差限
210ε-=。

13.⽤列主元消去法解线性⽅程组
1231231
232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=?
14. 确定求积公式
012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++?。

中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量⾼；并指出此时求积公式的代数精度。

15、试求使求积公式的代数精度
尽量⾼，并求其代数精度。

16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。

17.设()()[,],max ()n n a x b
f x C a b M f x ≤≤∈=，若取 21cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n
+--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2n
n n a x b M b a R x n -≤≤-≤
18⽤n=10的复化梯形公式计算时，
（1）试⽤余项估计其误差
（2）⽤n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值。

19已知⽅程组AX ＝f,其中
（1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，SOR 迭代法的最佳松弛参数
和SOR 法
的谱半径(可直接⽤现有结论)
20试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式
有尽可能⾼的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？
21证明⽅程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有⼀个根,并⽤迭代法求⽅程在区间(2,3)内的根,精确到⼩数点后4位。

22设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，⽤拉格朗⽇插值法求f (x )的⼆次插值多项式P 2(x )，并求f (2)的近似值。

23⽤LU 分解⽅法求⽅程组 201131114-??-123x x x ??=363??
的解 24求⼀次数≤ 3的多项式)(x p ,使得1)1()0(==p p ,2)1()0(='='p p .。