2020数学(理)二轮教师用书：第3部分 策略1 4.转化与化归思想 Word版含解析

4.转化与化归思想
应用1 直接转化
【典例1】(1)(2019·沈阳质量检测(一))抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为9
2，则点M 到坐标原点的距离为________．
(2)(2019·福州模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上单调递
增，则实数a 的取值范围是________．
(1)33 (2)[2，＋∞) [(1)由y 2＝6x ，知p ＝3，由焦半径公式得x 1＋p 2＝9
2，
即x 1＝3，代入得y 21＝18，则|MO |＝x 21＋y 2
1＝33(O 为坐标原点)，故填3 3.
(2)因为f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f ′(x )＝－
2sin 2x ＋a (cos x ＋sin x )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，因为x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ＋
sin x ＞0，a ≥2sin 2x sin x ＋cos x 在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上恒成立．令g (x )＝2sin 2x sin x ＋cos x ＝
4sin x cos x
sin x ＋cos x
，令t ＝sin x ＋cos x ，则4sin x cos x ＝2(t 2－1)，又t ＝sin x ＋cos x ＝2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，所以t ∈[]1，2，故函数h (t )＝2t 2－2t ＝2t －2t ，函数h (t )在t ∈[1，2]时单调递增，所以当t ＝2时，h (t )取到最大值，h (t )max ＝2，故g (x )max ＝2，所以a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．]
【对点训练1】(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋2α＝( )
A.7
9 B.23 C ．－23
D ．－79
(2)(2019·安庆二模)将⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋4x －43
展开后，常数项是________．
(1)D (2)－160 [(1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋2α＝cos
2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α－1＝－79，故选D.
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －2x 6，展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝
⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 6·
(x )6－2k .令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 3
6(－2)3＝－160.]
应用2 等价转化
【典例2】(1)已知正数x ，y 满足4y －2y
x ＝1，则x ＋2y 的最小值为________． (2)函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π4上的最大值为________．
(1)2 (2)1 [(1)由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋1
2x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2
x 4y ·y x ＝2，当且仅当x 4y ＝y x ，
即x ＝2y 时等号成立． 所以x ＋2y 的最小值为2.
(2)y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，
∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
0，22.
∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，22上单调递减，
∴t ＝0时，y max ＝1.]
【对点训练2】 (2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正
方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 中点，则四面体A -BC 1M
的体积( )
A.1
2 B.14 C.16
D.112
C [在棱长为1的正方体ABC
D -A 1B 1C 1D 1中，∵M 为CD 中点， ∴S △ABM ＝12×1×1＝1
2，
∴VA -BC 1M ＝VC 1-ABM ＝13×12×1＝1
6.故选C.]
应用3 正与反的相互转化
【典例3】(1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为________．
(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调
函数，则实数m 的取值范围是________．
(1)193512 (2)－37
3＜m ＜－5 [(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为C 510
210＝2521 024＝63256.利用对称性，即出现正面的次数多于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为⎝
⎛
⎭⎪⎫1－63256÷2＝193512. (2)由题意得g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，
若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2
t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；
由②得m ＋4≤2
x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，则m ≤－37
3.
∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－37
3＜m ＜－5.] 【对点训练3】(1)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，2)
C ．1
D ．2
(2)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．
(1)C (2)⎝ ⎛
⎭⎪⎫－3，32 [(1)命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知
它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.
(2)若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0， 且Δ＝36p 2≥0恒成立， 则⎩⎨
⎧
f (－1)≤0，
f (1)≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥3
2.
解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜3
2， 即为满足条件的P 的取值范围．
所以满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－3，32.]
应用4 一般与特殊的转化
【典例4】(1)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C
2的值为( )
A.15
B.14
C.12
D.23
(2)过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1
q 等于( )
A ．2a B.12a C ．4a
D.4a
(1)C (2)C [(1)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边)．
则由C ＝90°，得tan C
2＝1. 由tan A ＝43，得2tan A 2
1－tan 2 A 2＝
43， 解得tan A 2＝1
2.
所以tan A 2·tan C 2＝12×1＝1
2.
(2)取直线PQ 平行于x 轴，易知PQ 的方程为：y ＝1
4a
，如图所示，则PF ＝FQ ＝12a ，
∴1p ＋1
q ＝2a ＋2a ＝4a .故选C.]
【对点训练4】(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →
|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →
＝( )
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
(2)如图，在三棱锥S -ABC 中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将该三棱锥分成的两部分的体积之比V ABGH E F V SCGH E F
＝________.
(1)C (2)1 [(1)(特例法)若四边形ABCD 为矩形，建系如图． 由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →
＝(6,3)，NM →
＝(2，－1)，
AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.
(2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为
1.]
应用5 常量与变量的转化
【典例5】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x
)
的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，
∴⎩⎨⎧ φ(1)＜0，φ(－1)＜0，即⎩⎨⎧
3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，
解得－2
3
＜x ＜1.
故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.]
【对点训练5】(1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围为________．
(2)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．
(1)R (2)⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) [(1)∵x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，
即a ·(－x )＋x 2＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立． 令f (a )＝a ·(－x )＋x 2＋1
则⎩⎨⎧ f (－2)≥0，f (2)≥0即⎩⎨⎧
2x ＋x 2
＋1≥0，－2x ＋x 2＋1≥0.
∴x ∈R .
(2)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )＞0恒成立，
则⎩⎨⎧
f (－2)＞0，f (2)＞0，即⎩⎨⎧
(log 2x )2－4log 2x ＋3＞0，(log 2
x )2
－1＞0， 解得log 2x ＜－1或log 2x ＞3，即0＜x ＜1
2或x ＞8， 故实数x 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)．]
应用6 形体位置关系的相互转化
【典例6】 已知在三棱锥P -ABC 中，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为( )
A ．40
B ．80
C ．160
D ．240
C [因为三棱锥P -ABC 的三组对边两两相等，故可
将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC .
易知三棱锥P -ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线．
不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得
⎩⎨⎧
x 2＋y 2＝100，
x 2＋z 2
＝136，y 2＋z 2＝164
⇒⎩⎨⎧
x ＝6，y ＝8，z ＝10.
从而知V P -ABC ＝V AEBG -FPDC －V P -AEB －V C -ABG －V B -PDC －V A -FPC ＝V AEBG -FPDC －4V P -AEB
＝6×8×10－4×13×1
2×6×8×10＝160.]
【对点训练6】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1
中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值是________．
52 [连接A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开，与
△A 1BC 1在同一个平面内，如图，连接A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．
通过计算可得AB ＝A 1B 1＝38，A 1B ＝40，A 1C 1＝6，BC 1＝2，所以∠A 1C 1B ＝90°，又∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°.
由余弦定理可求得A 1C ＝5 2.]。