已知特解的Riccati方程解法的教学探究

已知特解的Riccati方程解法的教学探究作者：周寿明
来源：《教育教学论坛》 2017年第41期
摘要：通过求已知特解的Riccati方程的通解使学生了解常微分方程历史，增强学生学习兴趣，巩固学生所学知识。

关键词：Riccati方程；Bernoulli方程
中图分类号：G642.4 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2017）41-0184-02
一、引言
常微分方程发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，这些方法是将微分问题化为积分问题，因此称为初等积分法，属于“求通解”时代。

早期求通解的热潮被刘维尔在1841年证明了Riccati方程不存在一般的初等解而中断。

加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代[1]。

由此可见Riccati方程在这次常微分方程的变革中起了非常重要的作用，但目前本科生常微分教材鲜有提及如何求Riccati方程通解。

本文通过已知Riccati方程的某一定解，可以通过变量代换将其转化成Bernoulli方程，从而求出其通解。

使学生了解这段常微分方程历史，增强学生学习兴趣，巩固学生所学的有关常数变异法的相关知识。

该方程由意大利学者Riccati提出来，虽然Riccati方程（见下面方程（1））看起来形式非常简单，但曾被邀请去彼得堡任科学院院长的Riccati也仅仅讨论过该方程的一些特例，并未给出解法，这些特例后来被Bernoulli兄弟成功解出，且在这个过程中JamesBernoulli还推导出跟踪曲线方程并提出Bernoulli方程。

1841年法国数学家Liouville证明了Riccati方程在一般情形下，他的解不能用初等函数的有限次积分以及有限次代数运算而得到，但是他证明了特殊类型的Riccati方程可化为Bernoulli方程求解。

即知道一个或n个特解的情形下可以求出Riccati方程的解。

加上柯西初值问题的提出，常微分方程从求通解转向求定解时代[2]。

尽管求一般的Riccati方程的通解比较困难，但对特殊形式的Riccati方程还是有很多研究：程永芳老师指出当函数P（x），Q（x），R（x）满足某种线性关系时，Riccati方程可用初等积分法求解[3]；王桂花等老师讨论了Riccati方程可用分项组合法的充要条件[4]；随后平根建老师得到了Riccati方程存在某种积分因子的充要条件[5]；冯兆生教授利用幂级数理论和微积分理论来研究一类特殊Riccati方程的通解[6]；李松桦与张泽川等通过函数替换得到了一类特殊Riccati微分方程的通解公式[7]；张玮玮给出了Riccati方程可求特解的一个条件[8]。

二、求已知特解的Riccati方程的通解。