用单摆测重力加速度问题研究

用单摆测重力加速度问题研究
宜州市祥贝中学 唐立基
摘要：本文是应用单摆的周期公式测量当地重力加速度实验研究，通过介绍该实验的方法和步骤，并进行了实际测量实验，对该实验中的几个问题进行了简单探讨归纳，对中学物理测量重力加速度实验教学有一定参考价值。

1、实验器具
实验使用器具有：单摆、铁架台、刻度尺、秒表、螺旋测微器等。

其中螺旋测微器又称千分尺；主要由测杆、螺杆、固定套杆和活动套杆组成。

测杆的一部分被加工成螺距为0.5mm 的螺纹，当它在固定套管中转动时，将前进或后退，活动套管和螺杆连成一体，其周边等分成50个分格。

螺杆转动的整数由固定套管上间隔0.5mm 的刻线去测量，不足一圈的部分由活动套管周边的刻线去测量。

所以用螺旋测微器测量长度时，读数分为两步，即：
（1）从活动套管的前沿在固定套管上的位置，读出整圈数。

（2）从固定套管上的横线所对活动套管上的分格数，读出不同一圈的小数，二者相加就是测量值。

2、新课标内容要求
本实验是应用单摆的周期公式测量当地重力加速度，通过本实验使学生认识到知识的重要性，同时使他们所学知识得以应用，从而培养他们的动手能力、激发他们的学习兴趣，为以后的学习和生活打下良好的基础。

3、实验目的
①复习单摆知识，掌握螺旋测微器等器具的使用方法。

②理解单摆测重力加速度的实验原理。

③应用最小二乘法对实验数据进行处理。

4、实验原理与方法
法①：如右图，设均匀小球质量为m ，其质心到单摆支点O 的距离为l ；作用在小球上的切向力的大小为
mgsin θ,当θ角很小时，则sin θ≈θ，则切向力的
大小为mg θ
[1]
，又由牛顿第二定律质点运动方程：
θmg ma -=切
θθmg dt
d ml -=2
2
所以 θθl
g
dt d -=2
2 这是简谐振动方程，则该简谐振动角频率ω为： l
g T
==
π
ω2 g
l
T π
2= 所以 2
2
4T l
g π
= ， 测得摆球连续摆动n(n=50)个周期时间为t ，则n t
T =，因此：
2
22
4t
l
n g π=。

法②：
由于 g
l
T π
2=， 得 22
4T g l π
=
，
可令 k g =2
4π
，
于是
k
g 24π=。

所以只要取不同的摆长l ，测出相应的周期T ，然后用最小二乘法求出图线的斜率k,便可由公式求出当地重力加速度。

用此方法测量取了多次测量的平均值，同时用最小二乘法处理数据，测得结果更为精确。

5、实验步骤
①将单摆安装到铁架台上，用刻度尺测出摆线长o l 。

②用螺旋测微器测量摆球直径d ，于是摆长20d
l l +=。

③将摆球拉离平衡位置，使摆线与竖直方向约成0
5角后，放开摆球，让其自由摆动。

④待摆动稳定后，开始计时，计下摆动50个周期所用时间。

⑤改变l 的长度，重复③④步骤；并记录数据。

（实验时，小球的摆动较难掌握，容易形成圆锥摆，而实验应用的是简谐震
动原理，小球应在一个平面上摆动。

所以，可用一硬纸板挡住小球，将其慢慢拉离平衡位置，然后突然放开，如此，小球摆动效果会好些。

同时，也可以从摆的侧面观察，判断其摆动是否在同一平面内。

）
6、数据处理
d =(18.150+18.152+18.192+18.223)/4=18.179cm;
==
2
d
r 9.089cm;
以2T x =为x 轴，l y
=为y 轴，建立直角坐标，可得到l T -2的线性相关系数为：
2
2
222
222)
()
()(∑∑∑∑∑∑∑---=
l l n T T n l
T l T n γ
7929
.05503
.853448.86-=
=1.0020
可见，2
T 与l 是显著线性相关的。

并由最小二乘法计算出拟合直线的斜率公式：
∑∑∑∑∑--=
2
2)(i i i
i i i x x n y x y x n b
可算出拟合直线的斜率k 为
2
22222)()(∑∑∑∑∑--=
T T n l
T l T n k
438
.321606.32455
.8534.86--=
= 0.2493 所以
2493.08596.9442⨯⨯==k g π= 9.8319（2
s m
）
7、实验误差分析
由公式2
224t
l
n g π=可知，π、n 不考虑误差。

因此实验引入的误差主要来源于l 和t 。

即结果g 的相对误差为 t t l l g g /2//∆+∆=∆；
由于l =2/-0d l ，所以2/0d l l ∆+∆=∆，其中0l 是用钢卷尺测量的，
cm l 05.00≤∆；d 是用游标卡尺测量，d ∆远小于0l ，因此可取0l l ∆≈∆=0.05
cm ， =∆l l /0.0005。

若只考虑仪表的读数误差，测量t 是用秒表的，秒表精度为0.1s ，即
1.0=∆t s 。

当n =30，t t /∆=0.002， t t l l g g /2//∆+∆=∆=0.45%；n =50，t t /∆=0.001，=∆g g /0.25%。

若只测量一个周期，而摆长为1m 左右的周期约为2s ，那么t t /∆=0.05，
=∆g g /10.05%，比用累积计时产生的误差大10倍，故本实验采用累积法计
时具有重要意义。

同时，在一定实验条件和范围内，t 越大即累积周期个数n 越大，相对误差越小。

8、 问题研究
8.1、如何使摆角05≤α
设摆幅为χ,则χ=αsin l =05sin l =0.087l ，即让摆幅小于摆长的1/12就能保证摆角小于05。

8.2为什么从摆球通过平衡位置开始计时
由于人为的因素，不可能每次都在事先确定的计时计数参考点p 按表，即在按表的时刻，摆球与p 点存在一个距离差s δ，从而引入一个误差p s t
v /δδ≈，
p v 为摆球经过p 点的瞬时速度，可代替为按表的实际速度。

s δ的大小在每次按
表是不尽相同，但却与p 点的选择无关，易知p v 越大t δ越小，而p v 最大处为平衡位置，所以从平衡位置开始计时是最好的地点。

8.3、用图线法处理数据
1) 由公式224T
l
g π=可知，用测出的一系列摆长l 和对应的周期T 做成
2T -l 图像（如下图）
，此图像为一条经过原点的直线。

只要求出图线的斜率k 即可求得g 值。

2T /2s
l /m g=k /42
π, （k=l
T ∆∆2
） 2) 上式中l ∆为摆长长度的变化量，对于同一个单摆，摆球直径不变，因此
l ∆可认为是悬线长度的变化量，所以实验中可不测摆球直径，而直接通过测悬线的变化量和对应的周期平方之差来计算g 值，例如进行两次实
验g=212201022
4T T l l --π=2
1122201022
/-/(4）
（）n t n t l l -π 8.4、如何使用非匀质小球单摆测量重力加速度
首先测出摆线长0l ，假设物体线端到物体重心距离为s ，则有
g
s
l T +=02π。

因为0l 和周期T 可测，所以改变摆线0l 的长度，测出两次摆线长度，分别记为01l 和02l ，再测出其相应的摆动周期1T 和2T ，于是可解得：
22
21
02012)(4T
T
l l g --=π。

参考文献：
[1] 周衍柏.理论力学教程.北京[M]：高等教育出版社，1986 [2] 杨维紘.力学.合肥：中国科学技术大学出版社，2002.
[3] 李来政，何雄智. 现代基础物理教育学. 武汉：华中师范大学出版社，2004.
（本文于2010年9月20日星期一获广西物理教研论文一等奖）。