人教新课标版数学高二-人教数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》综合检测

第二章综合检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2013·霍邱二中一模)设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n ，如果P (ξ<4)＝0.3，那么n 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．9
D ．10
[答案] D
[解析] ∵P (ξ<4)＝3
n
＝0.3，∴n ＝10.
2．已知随机变量X 满足D (X )＝1，则D (2X ＋3)＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] B
[解析] D (2X ＋3)＝4D (X )＝4.
3．(2013·景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D (X )等于( )
A.19 B ．29
C ．13
D ．23
[答案] B
[解析] 由m ＋2m ＝1得，m ＝13，∴E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝(0－23)2×13＋(1－23)2×
2
3＝2
9
，故选B. 4．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫10，1
2，则该随机变量的方差等于( )
A ．10
B ．100
C ．2
π
D ．
2π
[解析] 由正态分布密度曲线上的最高点⎝
⎛⎭⎫10，12知12π·σ＝12
，∴D (X )＝σ2＝2
π.
5．(2013·辽师大附中高二期中)若随机变量η～B (n ，0.6)，且E (η)＝3，则P (η＝1)的值是( )
A ．2×0.44
B ．3×0.44
C ．2×0.45
D ．3×0.64
[答案] B
[解析] ∵η～B (n,0.6)，∴E (η)＝0.6n ＝3，∴n ＝5，∴P (η＝1)＝C 15·0.6·(1－0.6)4＝3×0.44，故选B.
6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是
3
10的事件为( )
A ．恰有1只是坏的
B ．4只全是好的
C ．恰有2只是好的
D ．至多有2只是坏的
[答案] C
[解析] X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3
C 410
(k ＝1、2、3、4)．
∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝1
6
，∴选C.
7．对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是( )
A ．1
5
B ．395
C ．319
D ．195
[答案] C
[解析] “第一次摸出次品”记为事件A ，“第二次摸出次品”记为事件B . 则P (A )＝420＝15.P (AB )＝C 24
C 220＝395，
则P (B |A )＝
P (AB )P (A )＝3
19
. 8．已知随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，则E (2ξ＋1)与D (2ξ＋1)的值分别为( ) A ．13,4 B ．13,8 C ．7,8
D ．7,16
[解析] 由已知E (ξ)＝3，D (ξ)＝4，得E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝7，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝16. 9．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为( )
A ．521
B ．2
7
C ．13
D ．821
[答案] D
[解析] 从10个球中任取4个，有C 410＝210种取法，取出的编号互不相同的取法有C 45·24＝80种，∴所求概率P ＝80210＝821
.
10．设随机变量ξ服从分布P (ξ＝k )＝k
15，(k ＝1、2、3、4、5)，E (3ξ－1)＝m ，E (ξ2)＝n ，
则m －n ＝( )
A ．－319
B ．7
C ．83
D ．－5
[答案] D
[解析] E (ξ)＝1×115＋2×215＋3×315＋4×415＋5×515＝11
3，∴E (3ξ－1)＝3E (ξ)－1＝10，
又E (ξ2)＝12×115＋22×215＋32×315＋42×415＋52×5
15
＝15，∴m －n ＝－5.
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a 、b 、c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )
A ．1
3
B ．12
C ．112
D ．16
[答案] C
[解析] 由条件知，3a ＋b ＝1，∴ab ＝13(3a )·b ≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋b 22＝112，等号在3a ＝b ＝1
2，即a ＝16，b ＝1
2
时成立． 12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取
出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( )
A ．74
B ．7720
C ．34
D ．73
[答案] A
[解析] 由于f 2(x )，f 5(x )，f 6(x )为偶函数，f 1(x )，f 3(x )，f 4(x )为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.
P (ξ＝1)＝C 13C 16＝1
2
，
P (ξ＝2)＝C 13C 13
C 16C 15＝310，
P (ξ＝3)＝C 13C 12C 13
C 16C 15C 14＝320，
P (ξ＝4)＝C 13C 12C 11C 13
C 16C 15C 14C 13＝120
.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 P
12
310
320
120
E (ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝7
4
.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10 P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． [答案] 0.4
[解析] 由分布列可得x ＝0.6－y 且7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 14.(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下
落的概率都是1
2
，则小球落入A 袋中的概率为________．
[答案] 3
4
[解析] 小球落入B 袋中的概率为P 1＝(12×12×12)×2＝1
4，∴小球落入A 袋中的概率为P
＝1－P 1＝3
4
.
15．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. [答案]
503
[解析] 这是100次独立重复试验，X ～B ⎝⎛⎭⎫100，16， ∴E (X )＝100×16＝50
3
.
16．(2013·陕西宝鸡中学高二期末)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________________(写出所有正确结论的序号)．
①P (B )＝25；
②P (B |A 1)＝5
11
；
③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；
⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④
[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1、A 2、A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，又P (B |A 1)＝5
11，
P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝4
11，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋
P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝9
22，故①⑤错误．综上知，正确结论
的序号为②④.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、
C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．
(1)求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；
(3)设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和Eξ的值． [解析] (1)记甲、乙两人同时到A 社区为事件M ，那么P (M )＝A 22
C 24A 33＝118，
即甲、乙两人同时到A 社区的概率是1
18.
(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么 P (E )＝A 33
C 24A 33＝16
，
所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P (E )＝1－P (E )＝5
6
.
(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i (i ＝1,2)”是指有i 个同学到A 社区，
则p (ξ＝2)＝C 24A 22
C 24A 33＝13
.
所以p (ξ＝1)＝1－p (ξ＝2)＝2
3，
ξ的分布列是：
∴E (ξ)＝1×23＋2×13＝4
3
.
18．(本题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望．
[分析] 8杯饮料中含4杯A 饮料，从8杯中任选4杯，其中恰含k 杯A 饮料的概率服从超几何分布．
设新录用员工的月工资为y ，则y 的取值与X 的取值对应关系为
[解析] (1)X 的所有可能取值为：0、1、2、3、4，
P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4
C 48
(i ＝0、1、2、3、4)，
故X 的分布列为：
(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100,2800,3500， 则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝1
70，
P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝8
35，
P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝53
70
，
E (Y )＝3500×170＋2800×835＋2100×53
70＝2280.
所以新录用员工月工资的期望为2280元．
[点评] 要注意超几何分布的特点，是总数为N 件的A 、B 两类物品，其中含M 件A 类物品，从中任取n 件(n ≤N )时恰含有A 类物品m 件，要严格按其特点作出判断．
19．(本题满分12分)(2013·揭阳一中高二段测)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．
(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；
(2)(1)的条件下，求ξ、η的分布列及E (ξ)，E (η)；
利润
产品
甲
5(万元) 2.5(万元) 乙
2.5(万元)
1.5(万元)
(3)金60万元．设x 、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x 、y 为何值时，z ＝xE (ξ)＋yE (η)最大？最大值是多少？
项目 产品
工人(名)
资金(万元)
甲
8 5 乙
2
10
[解析] (1)P 甲P 乙＝0.75×0.8＝0.6. (2)随机变量ξ、η的分别列是
ξ 5 2.5 P
0.68
0.32
η 2.5 1.5 P
0.6
0.4
E (ξ)＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2， E (η)＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1. (3)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋10y ≤60，8x ＋2y ≤40，
x ≥0，
y ≥0.
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤12，4x ＋y ≤20，x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝xE (ξ)＋yE (η)＝4.2x ＋2.1y .
作出可行域(如图)：作直线l ：4.2x ＋2.1y ＝0，
将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝4.2x ＋2.1y 取最大值．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝12，
4x ＋y ＝20.
得x ＝4，y ＝4，即x ＝4，y ＝4时，z 取最大值，z 的最大值为25.2.
20．(本题满分12分)(2014·太原市二模)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了技术改进，并增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为34、2
3、
1
2
，指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分，某项指标不合格记为0分，各项指标检测结果互不影响．
(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．
[解析] (1)记甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A ，B ，C ， 则事件“得分不低于8分”表示为ABC ＋A B －
C .
∵ABC 与A B －
C 为互斥事件，且A ，B ，C 之间彼此独立， ∴P (ABC ＋A B －C )＝P (ABC )＋P (A B －
C ) ＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －
)P (C ) ＝34×23×12＋34×13×12＝38
. (2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0、1、2、3. P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝14×13×12＝1
24，
P (X ＝1)＝P (A B －C －＋A －B C －＋A －B －
C ) ＝34×13×12＋14×23×12＋14×13×12＝14， P (X ＝2)＝P (AB C －＋A －BC ＋A B －
C ) ＝34×23×12＋14×23×12＋34×13×12＝1124
，
P (X ＝3)＝P (ABC )＝34×23×12＝1
4，
随机变量X 的分布列为
∴E (X )＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝23
12
.
21．(本题满分12分)坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
[解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A 25＝20. 又μ(A )＝A 13×A 1
4＝12.于是P (A )＝μ(A )μ(Ω)＝1220＝35. (2)因为μ(AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝μ(AB )μ(Ω)＝620＝310
. (3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P (B |A )＝P (AB )P (A )
＝3
1035
＝1
2.
解法二：因为μ(AB )＝6，μ(A )＝12，所以P (B |A ) ＝
μ(AB )μ(A )＝612＝1
2
. 22．(本题满分14分)(2014·沈阳市质检)为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来沈的3名工人相互独立地从60个项目中任选一个项目参与建设．
(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；
(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．
[解析] 记第i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i .
由题意知，P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，
P (C i )＝1060＝1
6
(i ＝1,2,3)．
(1)3人选择的项目所属类别互异的概率 P ＝A 33P (A 1B 2C 3)＝6×12×13×16＝1
6
. (2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率P ＝30＋1060＝23.
由X ～B (3，2
3
)，
∴P (X ＝k )＝C k 3(23)k (1－23)3－k
(k ＝0,1,2,3)， ∴X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
127
29
49
827
其数学期望为E (X )＝3×23＝2.
1．在高三某个班中，有1
4的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其
中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫345－k 取最大值时k 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] B
[解析] 由⎩⎨
⎧
C k －15⎝⎛⎭⎫14k －1·⎝⎛⎭⎫346－k ≤C k 5⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫345－k ，C
k ＋15⎝⎛⎭⎫14k ＋1·⎝⎛⎭⎫344－k ≤C k 5
⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫345－k
.
解得12≤k ≤3
2
，又因为k ∈N *，所以k ＝1.
2．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )
自然状况方案盈利概率A1A2A3A4
S10.255070－2098
S20.3065265282
S30.45261678－10
A.A12
C．A3D．A4
[答案] C
[解析]A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.
A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5.
A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7.
A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.
∴选方案A3.
3．一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．
[解析]由直方图可知该班同学成绩在90分以上的频率为1－(0.01＋0.0025)×20＝0.75，由频率估计概率的原理知，从该班任取一名同学及格的概率为p＝0.75，记及格ξ＝1，不及格为ξ＝0，则ξ的分布列为
ξ0 1
P 0.250.75
4.
分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间(分)1234 5
频率0.10.40.30.10.1
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望． [分析] (1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率．(2)从已知条件知，X 的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x ＝1时要注意再进行分类讨论．
[解析] 设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：
(1)A A 对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．
所以P (A )＝P (Y ＝1)P (Y ＝3)＋P (Y ＝3)P (Y ＝1)＋P (Y ＝2)P (Y ＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)X 所有可能的取值为0,1,2.
X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P (X ＝0)＝P (Y >2)＝0.5；
X ＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，
所以P (X ＝1)＝P (Y ＝1)P (Y >1)＋P (Y ＝2) ＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；
X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以X 的分布列为
E (X )＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
5．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列． [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33
C 25A 44＝140
.
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1
40.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ， 那么P (E )＝A 44
C 25A 44＝110
.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝9
10
.
(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则
P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝1
4.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34
，X 的分布列为：
6.一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．
(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率；
(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率； (3)记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望E (X )．
[解析] (1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A ，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B . 依题意，P (A )＝V 小锥体V 圆锥体
＝13·14·S 圆锥底面·12h 圆锥13·S 圆锥底面h 圆锥＝18，∴P (B )＝1－P (A )＝7
8，
∴蜜蜂落入第二实验区的概率为7
8
.
(2)记“蜜蜂被染上红色”为事件C ，则事件B 、C 为相互独立事件， 又P (C )＝1040＝14，P (B )＝7
8，
∴P (BC )＝P (B )P (C )＝14×78＝7
32
，
∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为7
32
.
(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X 服从二项分布，即X ～(40，1
8
)，
∴随机变量X的数学期望E(X)＝40×1
＝5.
8
7．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C 各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析](1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则D、E、F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE F－，D E F，D EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0、1、2、3.
又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
因此E(ξ)＝0×0.1＋1。