2020高考数学艺考生冲刺第七章概率与统计第22讲离散型随机变量的分布列、均值与方差(理)课件

2X+1 P
1
3
5
0.2
0.1
0.1
3 0.3
2
3
5
7
7 0.3
真题演练
4 m
4 9 9 0.3
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
真题演练
【例1—2】 (2017·山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗 示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗 示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两 种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中 随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X). 【解析】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M, 则 P(M)=CC15840 = 158.
3.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数). (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
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4.条件概率与事件的相互独立 (1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A与事件B相互独立. (2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)·P(B). ②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与������, ������与 B,������与������也都相互独立.
(3)条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=PP(A(AB)) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件 概率
(1)0≤P(B|A)≤1; (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
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5.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结 果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (2)二项分布 在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p, 此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率,在n次独立重复试验 中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C������������ pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). (3)二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
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题型一 离散型随机变量的分布列的性质与均值 【例1—1】 设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.2
0.1
0.1
求2X+1的分布列. 【解析】 由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 解得m=0.3.首先ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ表为:
X 2X+1
0
1
1
3
从而2X+1的分布列为
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第22讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差(理)
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1.离散型随机变量的分布列
(1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式
P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列. (2)性质
①pi≥0(i=1,2,…,n);
������
② ∑ pi=1.
������=1
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m=min{M,n},且
n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,即如果随机
变量X的分布列具有下表形式
X0 P
������M0 ������Nn--M0 ������Nn
1 ������M1 ������Nn--M1 ������Nn
…m …
������Mm ������Nn--Mm ������Nn
则称随机变量X服从超几何分布. (2)均值 若 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,则 E(X)=������������.
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2.离散型随机变量X的均值与方差
计算公式 作用 标准差
均值(数学期望)
方差
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
反映了离散型随机变量取值的平均 水平
n
D(X)= ∑ (xi-E(X))2pi
i=1
刻画了随机变量 X 与其均值
E(X)的平均偏离程度
方差的算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差
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6.超几何分布
(1)定义:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则
P(X=k)=������������������ ������������������������������������
-������ -������
,k=0,1,2,…,m,其中
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(2)由题意知
������
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7.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 1 ;
������ 2π
(4)曲线与x轴之间的面积为1; (5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大, 曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 【注意】正态分布的三个常用数据 (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7; (2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5; (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.