材料力学02轴向拉伸与压缩

∑
i =1
F N i li E i Ai
3.单向应力状态下的胡克定律 3.单向应力状态下的胡克定律
∆ (d x ) 1 FN ( x ) 1 ε = = = σ dx E A( x ) E
1 即: ε = σ E
或
σ = Eε
例 杆受力如图所示。（1）绘轴力图； 杆受力如图所示。（1 绘轴力图； 。（ (2)计算杆件各段的变形及全杆的总变形 计算杆件各段的变形及全杆的总变形。 (2)计算杆件各段的变形及全杆的总变形。
例 图示杆长为L， 作用，方向如图， 图示杆长为 ，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 杆的轴力图。 q(x) L
2.3 拉（压）杆截面上的应力
一、应力的概念 1.问题提出： 问题提出： 问题提出 M 内力大小不能衡量构件强度的大小。 内力大小不能衡量构件强度的大小。 ∆F ∆A 定义：内力在截面上的分布集度。 2.定义：内力在截面上的分布集度。 3.应力的表示： 3.应力的表示： 应力的表示
Saint-Venant原理与应力集中示意图 原理与应力集中示意图 F 变形示意图： 变形示意图： a b c F
应力分布示意图： 应力分布示意图：
2.4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
设有等直杆，长为 ，横向尺寸为b；受轴力变形后，长为l 设有等直杆，长为l，横向尺寸为 ；受轴力变形后，长为 1 ， 横向尺寸为b 横向尺寸为 1 。 一、纵向变形 1.绝对变形 1.绝对变形
2.应力计算公式 2.应力计算公式
FN (x) σ = A
F
σ
F N(x)
3.公式的适用范围 外力合力作用线必须与杆轴线重合， （1）外力合力作用线必须与杆轴线重合，否则横截面上应 力将不是均匀分布； 力将不是均匀分布； 距外力作用点较远部分正确， (2) 距外力作用点较远部分正确，外力作用点附近应力分 布复杂，由于加载方式的不同， 布复杂，由于加载方式的不同，只会使作用点附近不 大的范围内受到影响（圣维南原理） 因此， 大的范围内受到影响（圣维南原理）。因此，只要作 用于杆端合力作用线与杆轴线重合，除力作用处外， 用于杆端合力作用线与杆轴线重合，除力作用处外， 仍可用该公式计算。 仍可用该公式计算。 必须是等截面直杆， (3) 必须是等截面直杆，否则横截面上应力将不是均匀分 当截面变化较缓慢时，可近似用该公式计算。 布，当截面变化较缓慢时，可近似用该公式计算。
2.变内力变截面拉压杆的胡克定律 2.变内力变截面拉压杆的胡克定律
F N ( x )d x ∆ (d x ) = EA( x)
∆l =
NN（x） F (x)
x dx dx 内力在n段等截面杆 内力在n段等截面杆 段中分别为常量时
∫
l
∆ (d x ) =
n
∫
l
F N ( x )d x EA( x)
∆l =
ε
∆l = l1 − l
∆l ε= l
2.相对变形（轴向线应变、线应变） 相对变形（轴向线应变、线应变） ——单位长度的线变形 单位长度的线变形 平均线应变
ε
拉伸为“ ，压缩为“ 拉伸为“+”，压缩为“-”
x点处的纵向线应变： 点处的纵向线应变： 点处的纵向线应变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d∆x ∆dx du ε = lim = = ∆x → 0 ∆ x dx dx
ν 是反映材料性质的常数，由实验确定，一般在0~0.5之间。 是反映材料性质的常数，由实验确定，一般在0 0.5之间 之间。
ε′ ν= ε
或
ε ′=-νε
（σ ≤ σ p）
三.胡克定律 （Hook/s Law） ）
1.等内力等直拉压杆的胡克定律 1.等内力等直拉压杆的胡克定律 实验表明： 实验表明：材料在线弹性范围内时
∆F dF p = lim = ∆A → 0 ∆A dA 总应力）： （总应力）：
1）全应力 ） 2）应力分量及正负号
p
τ
M
σ
指向离 截面为 与截面正 正应力σ : 与截面正交的应力分量。指向离开截面为正。 使分离 与截面相 切应力τ: 与截面相切的应力。以使分离体绕分离体内 任一点有顺 任一点有顺时针转动趋势者为正。 点有 4.应力的三要素 截面、 应力的三要素： 4.应力的三要素：截面、点、方向
2.3.3 拉(压)杆斜截面上的应力 压 杆斜截面上的应力
前面讨论了横截面的正应力计算，并以此作为强度计算的依据。 前面讨论了横截面的正应力计算，并以此作为强度计算的依据。但 实验表明拉压杆的破坏并不一定是沿横截面， 实验表明拉压杆的破坏并不一定是沿横截面，有时是沿斜截面发生 为了全面研究拉压杆的强度，须进一步讨论斜截面上的应力。 的，为了全面研究拉压杆的强度，须进一步讨论斜截面上的应力。 图示等直杆受轴向拉力F 作用。 图示等直杆受轴向拉力 作用。 杆件横截面面积为A 杆件横截面面积为A， 斜截面面积为A 斜截面面积为 α 一.斜截面上全应力： 斜截面上全应力： 由平衡条件： 由平衡条件：Fα=F 实验表明： 实验表明： 斜截面上的应力也均匀分布。 斜截面上的应力也均匀分布。 F k F k F
2
k
σ
α
α k
σα
pα
τα
可见： α , τ α 都是 可见： σ
α 的函数，截面方位不同，应力就不同。 的函数，截面方位不同，应力就不同。
由上式可以知道通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 由上式可以知道通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 横截面上存在最大正应力) 当α = 0°时， (σ α ) max = σ (横截面上存在最大正应力 ° 横截面上存在最大正应力 当α = 90°时， ° 当α = ± 45°时， ° 当α = 0,90°时， °
ΣFx = 0
FN = F
五.内力图
） 1.定义： 表示内力（FN、FQ、Mt、M）随横截面位置的变 定义： 表示内力（ 定义 化而变化的图称为内力图（ 化而变化的图称为内力图（FN、FQ、MT、M图） 。 图 2.画法： 用平行于杆轴线的坐标表示各横截面的位置；用垂 画法： 用平行于杆轴线的坐标表示各横截面的位置； 画法 直于杆轴线的坐标表示各横截面上的某种内力（ 直于杆轴线的坐标表示各横截面上的某种内力（FN、 FQ、MT、M）的数值，并按一定比例将正负内力画 ）的数值， 规定的正负侧 的正负侧。 在规定的正负侧。 3.意义： 反映出某种内力与横截面位置变化的关系， 3.意义： ①反映出某种内力与横截面位置变化的关系，较 意义 直观； 直观； ②确定出某种内力最大的数值及其所在横截面的 位置，即确定出危险截面位置， 位置，即确定出危险截面位置，为强度计算提 供依据。 供依据。
二、横向变形及泊松比 1.绝对变形
∆b = b1 − b
2.相对变形（横向应变） 相对变形（横向应变）
∆b ε′ = b
拉伸
ε ′ 为“-”，压缩 ε ′ ，
为“+”
3、泊松比（Poisson/s 泊松比（ 实验表明： 实验表明：在弹性范围内
ratio）（横向变形系数） ratio） 横向变形系数）
4.应力集中、 圣维南（ 4.应力集中、 圣维南（Saint-Venant）原理 应力集中 ） 局部应力——截面突变处或集中力作用处某些局部小范围 截面突变处或集中力作用处某些局部小范围 局部应力 内的应力。 内的应力。 应力集中——在截面突变处出现局部应力剧增现象。 在截面突变处出现局部应力剧增现象。 应力集中 在截面突变处出现局部应力剧增现象 应力集中对于塑性、 应力集中对于塑性、脆性材料的强度产生截然不同的 影响，脆性材料对局部应力的敏感性很强， 影响，脆性材料对局部应力的敏感性很强，而局部应力 对塑性材料的强度影响较小。 对塑性材料的强度影响较小。 Saint-Venant原理： Saint-Venant原理： 原理 作用于弹性体上某一局部区域的外力系， 作用于弹性体上某一局部区域的外力系，可以用与它 静力等效的力系来代替， 静力等效的力系来代替，这种代替只对原力系作用区域附 近影响显著，对稍远处（ 近影响显著，对稍远处（在距离稍大于分布区域或横向尺 其影响即可忽略不计。 寸）其影响即可忽略不计。 离开载荷作用处一定距离， 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载 荷作用方式的影响。 荷作用方式的影响。
FN l ∆l ∝ A
F
F
FN l Fl ∆l = = EA EA
E——弹性模量，由材料试验确定 。它反映材料抵抗拉 弹性模量， 弹性模量
压弹性变形的能力。它和应力有相同的量纲和单位。 压弹性变形的能力。它和应力有相同的量纲和单位。 EA——抗拉（压）刚度，反映杆件抵抗拉伸（压缩）变形 抗拉（ 抗拉 刚度，反映杆件抵抗拉伸（压缩） 的能力， 越大，变形越小。 的能力，其它条件相同时 越大，变形越小。
例
点的位移 位移。 求图示结构 C 点的位移
A l1 C l2
B
F
例
点的位移 位移。 求图示结构 B 点的位移 F A L1 B
∆L1
uB
α
∆L2
L2 C
vB
B'
例
设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕过 无摩擦的定滑轮。设 F=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直 位移。设刚索的 E =177GPa。
(σ α ) min =0
σ 0 (45 °斜截面上切应力达到最大 斜截面上切应力达到最大) |τ α |max =
2 |τ α |min =0
例
直径为d 杆受拉力F 的作用， 直径为 =1 cm 杆受拉力 =10 kN的作用，试求最大切应力， 的作用 试求最大切应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。 30
5.应力的单位： ），MPa 5.应力的单位： Pa（N/m2）， 应力的单位 （
二、拉（压）杆横截面上的应力
1.变形规律试验及平面假设： 1.变形规律试验及平面假设： 变形规律试验及平面假设
横截面
变形前 a c F a´ c´ b d b´ d´ F
受载后
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。 纵向纤维变形相同。 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
A
B
60° 60° D F 400 400 C
800
2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性质
一.材料的力学性能（机械性能） 材料的力学性能（机械性能） 1.力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、 力学性能： 力学性能 材料在外力作用下表现的有关强度、 变形方面的特性。 变形方面的特性。 2.影响材料力学性能的主要因素 2.影响材料力学性能的主要因素 温度、工作时间、加载速度（对一般塑性材料，常温下 温度、工作时间、加载速度（对一般塑性材料， 相应增大， 减小） 加载速度增加 σ y , σ 相应增大，而 b δ 减小）等。 二.试验条件及试验仪器 1.试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 1.试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 试验条件 (20℃) 标准试件。 标准试件。
α
k Fα
α
k
Fα F pα = = ⋅ cos α = σ cos α Aα A
二、斜截面上的正应力和切应力 F
σ α = pα cos α = σ cos α = (1 + cos 2α ) 2 σ τ α = pα sin α = σ sin α cos α = sin 2α 2
二、工程实例
二、工程实例
工程实例
2.2轴力 2.2轴力 轴力图 一.轴力
截面处， （1）截开 —— 在m-m截面处，用假想的截面将杆件截 ） 截面处 为左、 为左、右两部分
（2）分离 —— 留下左段为分离体 ）
以内力代替右段对左段的作用， （3）代替 —— 以内力代替右段对左段的作用，绘分离体受力图 ） (4)平衡 —— 由平衡方程来确定轴力值 平衡
第2章 章 2.1 一、概念 概述
轴向拉伸和压缩
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 对应的力称为拉力。 对应的力称为拉力。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。 对应的力称为压力
一.拉压杆的内力—— 轴力FN 拉压杆的内力 二.用截面法求轴力
三.用直接法求轴力
%e FN = ∑ FiN
即，任一横截面上的轴力等于该横截面一侧杆段上所 有外力在轴线方向上投影的代数和。 有外力在轴线方向上投影的代数和。
%e FiN
四.轴力图 轴力图
代数号确定： 代数号确定：
离开端截面取正， 离开端截面取正， 指向端截面取负。 指向端截面取负。
挤压强度校核bsbsbsbs300101786mpa280mpa28mm20mm铆钉满足挤压强度要求2主板的强度校核主板与铆钉的挤压应力相同材料也相同故满足挤压强度要求拉伸强度校核需校核截面3001028mm20mm106mpa160mpaniiiiii30010150mm28mm20mm主板满足拉伸强度要求3盖板的强度校核盖板与铆钉的挤压应力相同材料也相同满足挤压强度要求拉伸强度校核危险截面为i截面3001028mm10mm综合铆钉主板盖板的校核结果全部满足强度要求该连接安全