博野县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

博野县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
2． 已知函数()cos()3
f x x π
=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ）
A ．向右平移
2π个单位 B ．向左平移2π
个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23
π
个单位
3． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30° 6． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
7． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈ 8． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
9． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．1:
D (1 10．拋物线
E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
11．已知函数f （x ）=lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（ ） A ．[﹣9，+∞） B ．[0，+∞） C ．（﹣9，1）
D ．[﹣9，1）
12．在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ） A ．12 B ．8
C ．6
D ．4
二、填空题
13．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．
14．i 是虚数单位，化简： = ．
15．已知等差数列{a n }中，a 3=
，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．
16．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
17．如图，函数f（x）的图象为折线AC B，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是．
18．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是.（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；
（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．
20．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．
21．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
22．设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）若，∈，试比较与的大小。

23．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
24．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i（m∈R）
（1）若z是实数，求m的值；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
博野县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x ﹣2）2
+y 2
=2的圆心（2，0），半径为
，
双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，
可得：
， 可得a 2
=b 2
，c=
a ，
e==．
故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛
⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数 ()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选B.
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 3． 【答案】D 【解析】
考
点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直.
4．【答案】D
【解析】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，
﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
5．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
6．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
7． 【答案】A
【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系.
8． 【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C ．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
9． 【答案】D 【解析】
考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.
【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 10．【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
11．【答案】D
【解析】解：函数f （x ）=lg （1﹣x ）在（﹣∞，1）上递减， 由于函数的值域为（﹣∞，1]， 则lg （1﹣x ）≤1， 则有0＜1﹣x ≤10， 解得，﹣9≤x ＜1． 则定义域为[﹣9，1）， 故选D ．
【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=
•（﹣1）r •x 3n ﹣4r ，
则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】[]．
【解析】解：由题设知C41p（1﹣p）3≤C42p2（1﹣p）2，
解得p，
∵0≤p≤1，
∴，
故答案为：[]．
14．【答案】﹣1+2i．
【解析】解：=
故答案为：﹣1+2i．
15．【答案】．
【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，且a3=，
∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×=，
∴cos（a1+a2+a6）=cos=．
故答案是：．
16．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
17．【答案】（﹣1，1]．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．
故答案为：（﹣1，1]
18．【答案】48
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），
则即=，
∴M=．
又det（M）=﹣3，
∴M﹣1=；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），
则=M﹣1=，
即，
∴代入4x+y﹣1=0，得，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．
直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．
（2）由，可得，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，
cotθ=tanα=2，
∴sinθ=，
|AB|==40．
线段AB的长为40．
【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用．
22．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由
所以
（2）由（1）和，
所以
故
23．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
24．【答案】
【解析】解：（1）z为实数⇔m2+2m﹣3=0，解得：m=﹣3或m=1；
（2）z为纯虚数⇔，解得：m=0；
（3）z所对应的点在第四象限⇔，解得：﹣3＜m＜0．。