东光县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

东光县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列
{}n a 22(2,log )M a 25(5,log )N a 1y x =-的前项和为（
）
{}n a n A ．
B ．
C ．
D ．22n
-1
2
2n +-21n
-1
2
1
n +-2． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
时，则输入的值为（ ）2
1
A ．
B ．
C ．或
D ．或21-1-21-10
3． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）
A ．akm
B ．
akm
C ．2akm
D ． akm
4． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若＝3＋b i ，则a －b 为（
）
2＋a i
1＋i
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5． 若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（
）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
6． 设集合，，则（
）
{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B = A.
B.
C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}
2,1,1,2--{}
1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
7． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ． π
9． 函数的零点所在区间为（
）
A ．（3，4）
B ．（2，3）
C ．（1，2）
D ．（0，1）
10．已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长
M )1,0(M y x 22
=x M ||PQ 等于（ ）
||PQ A ．2 B ．3
C ．4
D ．与点位置有关的值
【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，
难度较大.
11．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是
（ ）A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
12．将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣
＜θ＜
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的
图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（
）
A ．
B ．π
C ．
D ．
二、填空题
13．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．14．（lg2）2+lg2•lg5+的值为 ．
15．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机()x x
f x e
=
[0,3]0x ()f x ()00,()x f x k 事件“”的概率为_________.0k <16．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．
三、解答题
17．（本小题满分12分）椭圆C ：＋＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B
x 2
a 2y 2
b 2
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k PA ·k PB ＝－.
12
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
18．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点．（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为
，求AG 的长．
19．24．（本小题满分10分）选修4­5：不等式选讲．已知函数f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|（a ∈R ）．（1）若函数f （x ）的最小值为3，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象围成一个三角形，求m 的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
20．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
41
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD , 交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；
P EDF ∠=∠（Ⅱ）若，求的长．
2,3,2:3:===EF DE BE CE PA
21．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且
．
（1）求A ；（2）若，求bc 的值，并求△ABC 的面积．
22．（本小题满分12分）
已知平面向量，，.
(1,)a x = (23,)b x x =+-
()x R ∈（1）若，求；
//a b ||a b -
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
东光县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴
n 22log 1a =25log 4a =,,∴,，数列的前项和为，选C ．
22a =516a =11a =2q ={}n a n 21n -2． 【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数 ，当时，，解得，当时，，
⎩⎨⎧=x y x lg 20
0>≤x x 0≤x 212=x
1-=x 0>x 21lg =x 解得，所以输入的是或，故选D.
10=x 1-10考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]3． 【答案】D
【解析】解：根据题意，
△ABC 中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=BC=akm ，
∴由余弦定理，得cos120°=，
解之得AB=akm ，
即灯塔A 与灯塔B 的距离为
akm ，
故选：D ．
【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A 与灯塔B 的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．　
4． 【答案】
【解析】选A.由＝3＋b i 得，
2＋a i
1＋i
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ，
∵a ，b ∈R ，
∴，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A.{2＝3－b a ＝3＋b
)
5． 【答案】A 【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．
10a >0d <
6． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.
||2x ≤22x -≤≤{}|22A x x =-≤≤{}1,2A B = 7． 【答案】D
【解析】解：∵正△ABC 的边长为a ，∴正△ABC 的高为
，
画到平面直观图△A ′B ′C ′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A ′B ′C ′的高为=
，∴△A ′B ′C ′的面积S==
．
故选D ．
【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．　
8． 【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm ；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4
π
故选：C ．　
9． 【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f （2）=log 32﹣1＜0，f （3）=log 33﹣＞0，∴函数f （x ）的零点一定在区间（2，3），故选：B ．
【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．　
10．【答案】A
【解析】过作垂直于轴于，设，则，在中，，为M MN x N ),(00y x M )0,(0x N MNQ Rt ∆0||y MN =MQ 圆的半径，为的一半，因此
NQ PQ 22222222
00000||4||4(||||)4[(1)]4(21)
PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+又点在抛物线上，∴，∴，∴.
M 02
02y x =2
2
00||
4(21)4PQ x y =-+=2||=PQ
11．【答案】A 解析：解：由
作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），由
，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
12．【答案】C
【解析】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），
sin（﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，
或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
二、填空题
13．【答案】　4　．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，
故共有4个，
故答案为：4．
14．【答案】　1　．
【解析】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，
故答案为：1．　
15．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
，由得，，∴随机事件“”的概率为．0
001()x x k f x e -'==
0()0f x '<01
x >0k <2
3
16．【答案】 ．
【解析】解：角α终边上一点为
P （﹣1，2），所以tan α=﹣2．
=
=
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
三、解答题
17．【答案】【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ），
则＋＝1，c 2a 2m 2b 2
∴m ＝±，b 2a
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），由k PA ·k PB ＝－得
12
·＝－，即b 2＝a 2，②b 2a c ＋a b 2
a c －a 1212
由①②解得a ＝2，b ＝，
2
∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 22
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （，1），此时S △PMN ＝×2×＝212222.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得＋＝1，即x ＝±，x 24k 2x 2221＋2k 2
∴y ＝±，2k 1＋2k 2即M （，），N （，），21＋2k 22k 1＋2k 2－21＋2k 2－2k 1＋2k 2∴|MN |＝ (41＋2k 2)2
＋(4k 1＋2k 2)
2 ＝4，1＋k 21＋2k 2点P （，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝，∴S △PMN ＝|MN |d ＝·2|2k －1|k 2＋112124·1＋k 21
＋2k 2|2k －1|k 2＋1＝2·＝2 |2k －1|1＋2k 2
2k 2＋1－22k 1＋2k 2＝2 ，1－22k 1＋2k 2
当k ＞0时，≤＝1，22k 1＋2k 222k 22k 此时S ≥0显然成立，当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，≤＝1，－22k 1＋2k 21＋2k 21＋2k 2
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－时，取等号．22此时S ≤2，综上所述0≤S ≤2.
22即当k ＝－时，△PMN 的面积的最大值为2，此时l 的方程为y ＝－x .
2222218．【答案】
【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AE=AF ，点G 是EF 的中点，
所以AG ⊥EF ．
又因为EF ∥AD ，所以AG ⊥AD ．…
因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD=AD ，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t ），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE 的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE 所成角的正弦值为，
所以|cos ＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．
…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|
＝{－3x＋2a2－1，x≤－1，－x＋2a2＋1，－1＜x＜a2，3x－2a2＋1，x≥a2，)
当x≤－1时，f（x）≥f（－1）＝2a2＋2，－1＜x＜a2，f（a2）＜f（x）＜f（－1），即a2＋1＜f（x）＜2a2＋2，
当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，
所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±.
2（2）当a ＝±时，由（1）知f （x ）＝
2{－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，)
由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积最大，此时面积为×|3－（－1）|
×|6－3|＝6.
12
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且cosBcosC ﹣sinBsinC=cos （B+C ）=，
∴B+C=
，
则A=
；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，
∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ，即12=16﹣bc ，
解得：bc=4，
则S △ABC =bcsinA=×4×=．
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
22．【答案】（1）2或2）．
(1,0)(0,3)- 【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量的夹角为锐角的充要条件是且不共线，由此可得范围．,a b 0a b ⋅> ,a b 试题解析：（1）由，得或，//a b 0x =2x =-当时，，，0x =(2,0)a b -=- ||2a b -=
当时，，.2x =-(2,4)a b -=- ||a b -= （2）与夹角为锐角，，，，0a b ∙> 2230x x -++>13x -<<又因为时，，
0x =//a b 所以的取值范围是.
(1,0)(0,3)- 考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式，当为锐角时，，但当cos a b a b θ⋅= cos 0θ>cos 0
θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是且不同0a b a b
⋅> ,a b 向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是且不反向．0a b a b
⋅< ,a b。