高中数学 3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示同步检测 新人教A版选修2-1

3.1第4课时空间向量的正交分解及其坐标表示
一、选择题
1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2
＝b 2
，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c [答案] B
[解析] a ·b ＝0⇒a ⊥b ，|a |2
＝|b |2
⇒(a ＋b )·(a －b )＝0⇒(a ＋b )⊥(a －b )；
a ·
b ＝a ·
c ⇒a ⊥(b －c )；故A 、C 、D 均错．
2．以下四个命题中正确的是( )
A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量
C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →
＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 [答案] B
[解析] 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面．．．的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →
＝0，也可能是CA →·CB →
＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.
3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→
( ) A ．i ＋j ＋k B.13i ＋12j ＋1
5k
C ．3i ＋2j ＋5k
D ．3i ＋2j －5k [答案] C 4．给出下列命题：
①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，
N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →
不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向
量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] D
[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →
共面且过相同点B ，故A 、B 、
M 、N 共面．
下面证明①④正确．
①假设d 与a 、b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0， ∴存在实数k ，使d ＝k c ， ∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝
λk a ＋μk
b ， ∴
c 与a 、b 共面与条件矛盾． ∴
d 与a ，b 不共面． 同理可证④也是正确的．
5．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．无法确定 [答案] C
[解析] ∵a ＝12p ＋1
2q ，∴a 与p 、q 共面，
∵b ＝12p －1
2q ，∴b 与p 、q 共面，
∵不存在λ、μ，使c ＝λp ＋μq ，
∴c 与p 、q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C. 6．给出下列两个命题：
①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线； ②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB → ，OC →
不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，
B ，
C 一定共面．
其中正确的命题是( ) A ．仅① B．仅② C ．①② D．都不正确 [答案] B
[解析] ①对空间任意向量c ，都有c 与a 、b 共面，则必有a 与b 共线，∴①错；②∵OA →
、OB →、OC →不能构成空间的基底，∴OA →、OB →、OC →必共面，故存在实数λ，μ，使OA →＝λOB →＋μOC →，
∴O 、A 、B 、C 四点共面，
∴②正确．
7．已知i 、j 、k 是空间直角坐标系O －xyz 的坐标向量，并且AB →
＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为( )
A ．(－1,1，－1)
B ．(－i ，j ，－k )
C ．(1，－1，－1)
D ．不确定 [答案] D
[解析] 向量AB →
的坐标与B 点的坐标不同．
8．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →
＋yOB →＋zOC →
，则(x ，y ，z )为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，23 [答案] A
[解析] 连AG 1交BC 于E ，则E 为BC 中点， AE →
＝12
(AB →＋AC →
)＝12
(OB →－2OA →＋OC →
)， AG 1→
＝23AE →＝13
(OB →－2OA →
＋OC →
)，
∵OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →
)，∴OG ＝34OG 1，
∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)
＝34(OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14
OC →
，故选A.
9．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A ．a 与b 共线 B ．a 与b 同向 C ．a 与b 反向 D ．a 与b 共面 [答案] A
[解析] 由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B ，C 都是A 的一种情况．空间中任两个向量都是共面的，故D 错．
10．对于空间的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成的基底个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D
[解析] 最多的情况是a ，b ，c ，d 中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个．
二、填空题
11．已知e 1、e 2、e 3是不共面向量，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，又d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α、β、γ分别为________．
[答案] 52 －1 －1
2
[解析] d ＝αa ＋βb ＋γc ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋
β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3，
又因为d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，e 1、e 2、e 3不共面，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
α＋β＋γ＝1α＋β－γ＝2α－β＋γ＝3
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
α＝
5
2
β＝－1
γ＝－12
.
12．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________，在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________．
[答案] (32，1
2，－1) (1,1,1)
[解析] 由条件p ＝2a ＋b －c .
设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则
p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，
∵a 、b 、c 不共面，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝2x －y ＝1z ＝－1
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
3
2
y ＝
12z ＝－1
.
即p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(32，1
2，－1)，
同理可求p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)．
13．(2010·某某高二检测)在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →
＝________.
[答案] 12a ＋14b ＋1
4
c
14．三棱锥P －ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，
N 为AC 中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →
的坐标为________．
[答案] (12，0，－1
2
)
[解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12
BP →
，
即MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，0，－12.
三、解答题
15．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→
＝c .
(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→
.
(2)设G 、H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →
.
[解析] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→
＝a ＋b ＋c .
AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→
＝OC →＋OO ′→－OA →
＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB →＋OC ′→)＋12
(OB ′→＋OO ′→)
＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝1
2
(c －b )
16．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中的x 、y 、z 的值：
(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→. (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋ zAA →.
[解析] (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→
又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→ ∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.
(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12AC ′→
＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)
＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→. ∴x ＝12，y ＝1
2
，z ＝1.
17．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.选取恰当的基底求向量MN →、DC →
的坐标．
[解析] 如图所示，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →
＝
e 1，AB →＝e 2，AP →
＝e 3.
以{e 1，e 2，e 3}为基底． 则∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →
＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →)
＝－12e 2＋e 3＋1
2(－e 3－e 1＋e 2)
＝－12e 1＋1
2e 3，
DC →
＝AB →
＝e 2，
∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，0，12，DC →＝(0,1,0)．
18．如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝1
3
BB 1，
DF ＝23
DD 1.
(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；
(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→
，求x ＋y ＋z 的值． [解析] (1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→
＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23
AA 1→
＝⎝
⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→ ＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →
， 所以A 、E 、C 1、F 四点共面．
(2)解：因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →
)
＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，
所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，
所以x ＋y ＋z ＝1
3
.。