2019-2020学年湖南省怀化市黔城中学高三数学理下学期期末试题含解析

2019-2020学年湖南省怀化市黔城中学高三数学理下学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系xoy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且?=2，已知点A（﹣2，0），B（2，0），则（|PA|﹣|PB|）2（）
A．为定值8 B．为定值4 C．为定值2 D．不是定值
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可画出图形，并设P（x，y），Q（x，﹣y），从而由可得到y2=x2﹣2，进而得出，从而求出，这样便
可得到，这样便可得出正确选项．
【解答】解：如图，设P（x，y），Q（x，﹣y），则：
；
∴y2=x2﹣2，，或；
∴==，
；
∴=；
∴=8．
故选A．
2. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）
A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10
参考答案：
B
【考点】茎叶图；循环结构．
【分析】算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成
绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，
则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．
【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键
3. 曲线在点（0,1）处的切线方程为（）
A. x-y+1=0
B.2x-y+1=0
C.x-y-1=0
D.x-2y+2=0
参考答案：
A
4. 设函数的图像关于点对称，且存在反函数,若，则
（）
A．0 B．4 C．
D．
参考答案：
C
试题分析：根据题意可知点在函数的图像上，结合着图像的对称性，可知点在函数的图像上，所以有，所以有，故选C.
考点：函数的图像的对称性，反函数.
5. 已知函数，则下列结论正确的是（）
（A）有最大值（B）有最小值
（C）有唯一零点（D）有极大值和极小值
参考答案：
C
略
6. 下列命题正确的是
A.命题“＜0”的否定是“”
B.命题“若”的否命题是“”
C.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题
D.命题“若,则”的逆否命题是真命题
参考答案：
B
7. 下列关于命题的说法错误的是( )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C．若命题：，则：；
D．命题“”是真命题．
参考答案：
D
【知识点】命题及其关系A2
因为命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）
=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：
n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：n∈N，2n≤1000，所以C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“x∈（-∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确
【思路点拨】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．
8. 已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）
A．B．C．﹣D．或﹣
参考答案：
B
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2﹣a1、b2，则答案可求．
【解答】解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，
∴，
∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的性质，是基础的计算题．
9. 以下判断正确的是
A．函数为R上的可导函数，则“”是“为函数极值点”的充要条件
B．命题“存在x∈R，<0”的否定是“任意x∈R，>0”．
C．命题“在ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆命题为假命题．
D．“b=0”是“函数是偶函数”的充要条件．
参考答案：
D
10. 函数是定义在上的单调递增的奇函数，若，则满足的
的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{a n}的前m（m≥4）项是公差为2的等差数列，从第m﹣1项起，a m﹣1，a m，
a m+1，…成公比为2的等比数列．若a1=﹣2，则m=，{a n}的前6项和S6=．
参考答案：
4，28
【考点】数列的求和．
【分析】由已知利用等差数列的通项公式求出a m﹣1，a m，再由等比数列的定义求得m；然后求出数列前6项可得S6．
【解答】解：由a1=﹣2，公差d=2，得a m﹣1=﹣2+2（m﹣2）=2m﹣6，
a m=﹣2+2（m﹣1）=2m﹣4，则，
∴m=4；
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6
=﹣2+0+2+4+8+16=28．
故答案为：4，28．
12. 函数,若，则__________．
参考答案：
2
【分析】
根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得
到.
【详解】由时是减函数可知，若，则，
∴，由得，解得，则
.
故答案为：2.
【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略
(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。

(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。

(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。

13. 函数的定义域为▲ .
参考答案：
14. （6分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，5]
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．
解答：解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，
设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，
若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，
则，
即，
则，
解得a≤5，
故答案为：（﹣∞，5]
点评：本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键．
15. 已知圆C的标准方程为，直线AM与圆C相切于点M，若点A的
坐标(a，b)，且点A满足（其中点O为坐标原点），则______．
参考答案：
3
【分析】
由可得，进而化简可得解.
【详解】根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径，
直线与圆相切于点，则，
，若，则，
变形可得：，则有；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了求轨迹方程的思路，属于基础题.
16. 已知且，则＝．
参考答案：
17. 若____________．
参考答案：
3
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是。

（1）求双曲线的方程；
（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。

参考答案：
解：（1）设双曲线的方程为，
由题设得解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组，将①式代入②式，得，
整理得，
此方程有两个不等实根，于是，
且，
整理得......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，
，
从而线段的垂直平分线的方程为，
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，
由题设可得，整理得，，
将上式代入③式得，
整理得，，解得或，
所以的取值范围是。

略
19. (本小题满分12分)
设为正方形的中心，四边形是平行四边形，且平面平面，若.
(Ⅰ)求证：平面.
(Ⅱ)线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
解：(Ⅰ)在正方形中，.
∵，∴.
∵，∴平行四边形为菱形，∴.
又∵平面平面，∴平面，∴，
而，∴平面
. …………………………6分
(Ⅱ)存在线段的中点，使平面.
若是线段的中点，为中点，∴∥.
∵平面，平面，∴平面，
此时的值为
1. (12)
分
略
20. （本小题13分）已知函数（、为常数），在时取得极值.
（I）求实数的值；
（II）当时，求函数的最小值；
（III）当时，试比较与的大小并证明.
命题意图:考查导数极值、最值，辅助函数证明不等式等，难题.
参考答案：
（I）
∴ …………………4分
（II）
在上单调递减，在上单调递增
在内有唯一极小值，也就是在内的最小值
…………………8分（III）由（II）知且在上单调递减
∴∴
∴∴………………（13分）
21. 已知数列{a n}的前n项和公式为S n=×3n+1﹣．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=log3，求数列 {|b n|}的前n项和T n（其中，n≥5）．
参考答案：
考点：数列的求和；数列的函数特性．
专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析：（1）利用a n=求解．
（2）b n=log3==n﹣4，由此能求出数列 {|b n|}的前n项和T n（其中，n≥5）．解答：解：（1）∵S n=×3n+1﹣，
∴当n=1时，a1=S1=×32﹣=3，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（×3n+1﹣）﹣（×3n+2﹣）=3n，
当n=1时，上式成立，
∴a n=3n．
（2）b n=log3==n﹣4，
令b n≥0，即n﹣4≥0，得n≥4，
即第四项开始各项均非负，
∴当n≥5时，T n=3+2+1+0+
=．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项绝对值的和的求法，解题时要注意对数性质的合理运用．
22. （2017?白山二模）在数列{a n}中，设f（n）=a n，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n（n∈N*），且a1=1．
（1）设，证明数列{b n}为等差数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用递推关系可得b n+1﹣b n=1，即可证明．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】（1）证明：由已知得，
得，
∴b n+1﹣b n=1，
又a1=1，∴b1=1，
∴{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知，，∴．
∴，
两边乘以2，得，
两式相减得=2n﹣1﹣n?2n=（1﹣n）2n﹣1，
∴．
【点评】本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题．。