北京高二高中数学期末考试带答案解析

北京高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设集合,则（）
A．B．C．D．
2.在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知是上的奇函数，且当时，，则（）
A．0B．C．D．
4.下列说法正确的是（）
A．
B．
C．
D．
5.命题是命题的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.若变量与之间的相关系数，则变量与之间（）
A．不具有线性相关关系
B．具有线性相关关系
C．它们的线性相关关系还需要进一步确定
D．不确定
7.“指数函数是增函数，是指数函数，所以是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）
A．推理完全正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．推理形式不正确
8.想沏壶茶喝．洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，洗茶壶、茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，烧开水需15分钟，沏茶需1分钟．最省时的操作时间是（）
A．17分钟B．18分钟C．19分钟D．20分钟
9.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到
原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
10.已知是奇函数的导函数，，当时，，
则使得成立的的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1.．
2.函数的零点个数为．
3.已知且，则．
4.若函数为上的增函数，则实数的取值范围是．
5.若存在,使,则实数的取值范围是．
6.“整数对”按如下规律排成一列:
,,,,,,,,,,……,则第个数对是．
三、解答题
1.（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：．
（Ⅱ）已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为：
，类比上述性质，试写出椭圆类似的性质．
2.（本小题满分10分）铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过
，按元计算；超过而不超过时，其超过部分按元计算，超过时，其超过部分按元计算．设行李质量为，托运费用为元．
（Ⅰ）写出函数的解析式；
（Ⅱ）若行李质量为，托运费用为多少？
3.（本小题满分12分）设平面向量，，函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间．
4.（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）若求函数在上的最大值；
（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围．
5.（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若，求的取值集合及的值．
6.（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．
北京高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.设集合,则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】化简集合，则；
故选B．
【考点】集合的运算．
2.在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由于复数，对应点为（-1，-1）是第三象限的点；
故选C
【考点】复数的运算及几何意义．
3.已知是上的奇函数，且当时，，则（）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得．
故选D．
【考点】函数的奇偶性．
4.下列说法正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，由于函数在上是减函数，所以，故A错误；
对于B，由于，所以，故B错误；
对于C，由于，所以，故C错误；
对于D，由于，所以，故D正确；
故选D
【考点】指数函数与对数函数的性质．
5.命题是命题的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】命题，所以命题是命题的充分不必要条件；
故选A．
【考点】充要条件．
6.若变量与之间的相关系数，则变量与之间（）
A．不具有线性相关关系
B．具有线性相关关系
C．它们的线性相关关系还需要进一步确定
D．不确定
【答案】B
【解析】由相关系数的意义可知越接近1，表明两相关变量的线性相关关系就越强，这表明变量
与之间具有线性相关关系；故选B．
【考点】线性回归分析．
7.“指数函数是增函数，是指数函数，所以是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）
A．推理完全正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．推理形式不正确
【答案】C
【解析】由于函数是幂函数，而不是指数函数，所以小前提不正确；
故选C．
【考点】1．指数函数、幂函数的概念及性质；2．演绎推理．
8.想沏壶茶喝．洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，洗茶壶、茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，烧开水需15分钟，沏茶需1分钟．最省时的操作时间是（）
A．17分钟B．18分钟C．19分钟D．20分钟
【答案】B
【解析】首先洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，再烧开水需15分钟，在烧水的时候洗茶壶、茶杯、拿茶叶等水开，最后水开后沏茶需1分钟，故最省时的操作时间是18分钟；
故选B．
【考点】算法初步．
9.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到
原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】由题意函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度得到函数的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
；
故选A．
【考点】三角函数的图象变换．
10.已知是奇函数的导函数，，当时，，
则使得成立的的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，故知函数在上是增函数，又因为是奇函数，所以函数是偶函数，且知；
所以，且在是减函数，在坐标系中作出函数的草图如下：
由图可知使得成立的的取值范围是；
故选B．
【考点】1．导数的求导法则；2．函数导数与单调性之间的关系．
二、填空题
1.．
【答案】
【解析】
故答案为：．
【考点】两角和与差的三角公式．
2.函数的零点个数为．
【答案】2
【解析】函数的零点个数方程的实根的个数，即
函数与函数图象交点的个数；作出两函数图象的草图如下：
由图可知两函数图象有且只有2个交点，故函数的零点个数是2；
故答案为：2．
【考点】函数的零点．
3.已知且，则．
【答案】
【解析】因为，，
从而．
故答案为：
【考点】三角恒等变形公式．
4.若函数为上的增函数，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】由分段函数为上的增函数，得即
故答案为：
【考点】分段函数的单调性．
5.若存在,使,则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】因为存在,使，
当时显然成立；
当时，必须且只需或；解得．
综上得；
故答案为：．
【考点】特称命题与全称命题．
6.“整数对”按如下规律排成一列:
,,,,,,,,,,……,则第个数对是．
【答案】
【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列, ,和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列,,,和为5的有4个且从第一个数是1的开始排
列, ,,,……依此类推；由于，由此可知第50个数对是和为11的
第5个数对；
故答案为：．
【考点】归纳推理．
三、解答题
1.（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：．
（Ⅱ）已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为：
，类比上述性质，试写出椭圆类似的性质．
【答案】（Ⅰ）证明祥见解析；（Ⅱ）过椭圆一点的切线方程为．
【解析】（Ⅰ）用分析法证明：将所证等式（分式）等价转化为整式，直到转化为恒成的三角恒成式为止，注意分析法的书写格式：欲证……，只需证……，直到一个显然成立的等式为止；此题也可从平方关系
入手用综合法加以证明；
（Ⅱ）运用类比推理可得到椭圆类同于圆的切线的性质；
试题解析：（Ⅰ）证明：欲证，
只需证，
即证，
上式显然成立，故原等式成立．
（Ⅱ）圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是将圆的方程中的一个与分别用的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆类似的性质为：过椭圆一点的切线方程为
．
【考点】1．分析法、综合法；2．类比推理．
2.（本小题满分10分）铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过
，按元计算；超过而不超过时，其超过部分按元计算，超过时，其超过部分按元计算．设行李质量为，托运费用为元．
（Ⅰ）写出函数的解析式；
（Ⅱ）若行李质量为，托运费用为多少？
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）14．6元．
【解析】（1）按，和讨论，分别写出托运费用为元的表达式，综合写成分段函数形式，即得函数的解析式；
（2）将代入对应解析，即得托运费．
试题解析：（Ⅰ）（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则．
所以，由（1）（2）（3）可知
（Ⅱ）因为，所以（元）．…10分
【考点】分段函数的应用．
3.（本小题满分12分）设平面向量，，函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）先由向量数量积的定义写出函数，然后应用辅助角公式将函数化成的形式，再由公式求得函数的最小正周期；
（Ⅱ）由求得的取值区间即为函数的增区间．
试题解析：（Ⅰ）
所以，的最小正周期为．
（Ⅱ）由
得
所以，的单调递增区间为．
【考点】1．向量的数量积；2．三角恒等变形公式；3．三角函数的性质．
4.（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）若求函数在上的最大值；
（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（1）求出，令求得对应的的值，然后列出的取值区间与的正负变化及相应区间上函数的增减情况表，从而就可求得函数在上的最大值．
（2）按，，分别求出函数在上的最小值，让最小值大于零即可求得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）
令
当变化时，的取值情况如下：
，．
（Ⅱ）,令
（1）当时，在上为增函数，
不合题意；
（2）当时，在上是减函数，在上为增函数，
，得；
（3）当时，在上是减函数，在上为增函数，
，不合题意．
综上，．
【考点】1．利用函数的导数求最值；2．函数恒成立．
5.（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若，求的取值集合及的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．
【解析】（Ⅰ）由，得，从而可写出函数的定义域；
（Ⅱ）由得化简得到然后两边同时平方即可求得的值，进
而结合正弦函数的图象和性质就可求得的取值集合．
试题解析：（Ⅰ）由，得，
所以，函数的定义域为．
（Ⅱ）由，得
即，
，（*）
，
，
所以，．
由，得，
则，
当时，代入（*），矛盾，舍去；
当时，代入（*），成立．
所以，的取值集合是．
【考点】1．三角函数的定义域；2．三角恒等变形公式；3．由三角函数值求角．
6.（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）函数的极小值为，无极大值；（Ⅱ）当时，函数的在定义域单
调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）当时，求出，令求得对应的的值，然后列出的取值区间与的正负变
化及相应区间上函数的增减情况表，从而就可求得函数的极值；
（Ⅱ）按，和分类讨论的正负取值情况从而求得函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，函数在区间单调递减，从而可求得当时，函数的最大值与最小值，进而可将对任意的恒有成立，等价转化为：对任意的，恒有
成立，分离参数m可求得m的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为．
，令，
得；（舍去）．……2分
当变化时，的取值情况如下：
所以，函数的极小值为，无极大值．
（Ⅱ），
令，得，，
当时，，函数的在定义域单调递增；
当时，在区间，，上，单调递减，
在区间，上，单调递增；
当时，在区间，，上，单调递减，
在区间，上，单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，函数在区间单调递减；
所以，当时，，
问题等价于：
对任意的，恒有
成立，
即，
因为，，
所以，实数的取值范围是．
【考点】1．函数导数求极值；2．利用导数讨论函数的单调性；3利用单调性解决恒成立问题．。