【K12教育学习资料】2017届高三数学二轮复习1.5.1空间几何体的三视图表面积及体积课时巩固过关

课时巩固过关练十二空间几何体的三视图、表面积及体积
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )
【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.
【方法技巧】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角与距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征.
2.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.1
【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.
3.(2016·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( )
A.20π
B.
C.5π
D.
【解析】选D.由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,
所以球半径为R===,
所以该球的体积V=πR3=×·π=.
【加固训练】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
【解析】选C.因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
4.(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
【解析】底面为平行四边形，面积为2×1=2，高为3，所以V=×2×1×3=2.
答案：2
5.(2016·大连一模)如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为________.
【解题导引】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，再建立空间直角坐标系，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积.
【解析】由三视图知，该几何体是三棱锥S-ABC，且三棱锥的一个侧面SAC与底面ABC垂直，其直观图如图所示：
由三视图的数据可得OA=OC=2，OB=OS=4.
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：
则A(0，-2，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，S(0，0，4)，
则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上，设I(x，0，z)；
由得，
解得x=z=；
所以外接球的半径R=|BI|==.
所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π.
答案：34π
三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)
6.(2016·南阳一模)如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE⊥平面CBB1.
(1)证明：DE∥平面ABC.
(2)求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比.
【解析】(1)连接EO，OA，
因为E，O分别为B1C，BC的中点，
所以EO∥BB1.
又DA∥BB1，且DA=BB1=EO，
所以四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA.
又DE⊄平面ABC，AO⊂平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
(2)由题意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥AO，
因为AO⊥平面CBB1，所以AO⊥BC，所以AC=AB.
因为BC是底面圆O的直径，
所以CA⊥AB，且AA1⊥CA，
又AB∩AA1=A，所以CA⊥平面AA1B1B，
即CA为四棱锥C-ABB1A1的高.
设圆柱的高为h，底面圆半径为r，
则=πr2h，=h(r)·(r)=hr2.
所以∶=.
7.(2016·南宁一模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC 且AB⊥BC.
(1)求证：AC⊥A1B.
(2)求三棱锥C1-ABA1的体积.
【解题导引】(1)转化为证明直线AC垂直于直线A1B所在的平面即可.
(2)由=，转化为求，关键求点B到平面AA1C1的距离. 【解析】(1)取AC的中点O，连接A1O，BO.
因为AA1=A1C，所以A1O⊥AC，
又AB=BC，所以BO⊥AC，
因为A1O∩BO=O，所以AC⊥平面A1OB，
又因为A1B⊂平面A1OB，
所以AC⊥A1B.
(2)三棱柱ABC-A1B1C1中，
所以侧面AA1C1C⊥底面ABC，
侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，OB⊥AC，
所以OB⊥平面AA1C1C，
易求得OB=1，=，
所以==··OB=.
(20分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最短和最长的棱长分别等于( )
A.4,
B.4,
C.3,5
D.3,2
【解析】选C.由三视图可判断该几何体为三棱锥,形状如图,其中SC⊥平面ABC,AC⊥AB,所以最短的棱长为AC=3,最长的棱长为SB=5.
2.如图是某几何体的三视图,正(主)视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧(左)视图是直角梯形,则该几何体的体积等于
( )
A.12π
B.16π
C.20π
D.24π
【解析】选A.由三视图知:r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,
所以V=×-π×12×4
=×21π-2π=12π.
【加固训练】某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为3,则侧(左)视图中线段的长度x的值是( )
A. B.2 C.4 D.5
【解析】选C.分析题意可知,该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD,故其体积V=××4×CP=3,
所以CP=,所以x==4.
3.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上.当三棱锥Q -BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正(主)视图面积等于( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
【解析】选B.由俯视图知，点M为AD1的中点、N与C重合、Q与D1重合，所以三棱锥Q -BMN 的正(主)视图为△CD1P，其中点P为DD1的中点，所以三棱锥Q -BMN的正(主)视图面积为×a×=a2.
【加固训练】如图，三棱锥V-ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其正(主)视图与侧(左)视图面积之比为( )
A.4∶
B.4∶
C.∶
D.∶
【解题导引】正(主)视图为Rt△VAC，侧(左)视图为以△VAC中AC边的高为一条直角边，△ABC中AC边的高为另一条直角边的直角三角形.
【解析】选A.过V作VD⊥AC于点D，过B作BE⊥AC于点E，则正(主)视图为Rt△VAC，侧(左)视图为以△VAC中AC边的高VD为一条直角边，△ABC中AC边的高BE为另一条直角边的直角三角形.
设AC=x ，则VA= x ，VC= x ，VD= x ，BE=
x ，
则S 正(主)视图：S 侧(左)视图=
∶( ·
x ·
x)=4∶ . 【误区警示】解答本题易出现如下两种错误：
一是对正(主)视图、侧(左)视图的形状判断不准确，造成结论错误；二是运算错误，造成结论错误.
二、填空题(每小题5分，共10分)
4.如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________.
【解题导引】设出圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值.
【解析】设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则r=4cos α，圆柱的高为8sin α.
所以圆柱的侧面积为：32πsin2α.
当且仅当α=
π
时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，
所以圆柱的侧面积的最大值为：32π. 答案：32π
5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA=2，E 为AB 的中点，则点E 到平面PBC 的距离为________.
【解题导引】利用V P-BCE =V E-PBC 求. 【解析】由于四边形ABCD 是菱形，
所以以EB 为底边的△CBE 的高h=AD ·sin 60°
=2×
= ，
从而四面体P-BCE的体积
V P-BCE=V E-PBC=××1××2=，
AC==2.
在Rt△PAB中PB==2，
在Rt△PAC中PC===4，
cos∠PBC==-，
所以sin∠PBC==.
S△PBC=PB·BC·sin∠PBC=×2×2×=.
设点E到平面PBC的距离为d，则有S△PBC·d=，
所以d===.
答案：
三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)
6.如果一个几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm 如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形.
(1)求该几何体的全面积.
(2)求该几何体的外接球的体积.
【解析】(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4+4×4×2=64(cm2).
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径为r，
d===6(cm)，
所以球的半径r=3cm，
因此球的体积V=πr3=×27π=36π(cm3).
所以外接球的体积是36πcm3.
7.如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上.
(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF.
(2)判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为.
【解题导引】证明BD⊥平面ADEF，即可证明平面BDM⊥平面ADEF.
(2)在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，利用三棱锥的体积计算公式求出MN，可得结论.
【解析】(1)因为DC=BC=1，DC⊥BC，
所以BD=.
因为AD=，AB=2，
所以AD2+BD2=AB2，
所以∠ADB=90°，
所以AD⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD.
BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADEF，
因为BD⊂平面BDM，
所以平面BDM⊥平面ADEF.
(2)如图，在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，又因为ED⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥CD，
所以MN∥ED，
因为ED⊥平面ABCD，
所以MN⊥平面ABCD.
因为V B-CDM=V M-CDB=MN·S△BDC=，
所以××1×1×MN=，
所以MN=.
所以===，
所以CM=CE，
所以点M在线段CE的三等分点且靠近C处.。