2015年广州市一模理科试题和参考答案(定稿)

图1
743210987
8试卷类型：A
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()2
2
2
2
1211236
n n n n +++++
+=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()
U M N ð C ．()U M
N ð D ．()
()U U M N 痧
2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为
A ．
15 B ．1 C ．1
5
± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，
叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 92
4. 直线10x ay ++=与圆()2
2
14x y +-=的位置关系是
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
侧视图
正视图
5. 若直线3
y x
=上存在点(),x y满足约束条件
40,
280,
,
x y
x y
x m
++>
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≤
⎩
则实数m的取值范围是
A. ()
1,
-+∞ B. [)
1,
-+∞
C. ()
,1
-∞- D. (]
,1
-∞-
6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，
其体积为
3
，则该锥体的俯视图可以是
图2
A. B. D.
7. 已知a为实数，则1
a≥是关于x的绝对值不等式1
x x a
+-≤有解的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射:f C→R满足: 对任意
12
,z z C
∈，以及任意λ∈R , 都有()
()()()()
1212
11
f z z f z f z
λλλλ
+-=+-, 则称映射f具有性质P. 给出如下映射:
①
1
:f C→R , ()
1
f z x y
=-, z x y
=+i(,x y∈R);
②
2
:
f C→R , ()2
2
f z x y
=-, z x y
=+i(,x y∈R);
③
3
:
f C→R , ()
3
2
f z x y
=+, z x y
=+i(,x y∈R);
其中, 具有性质P的映射的序号为
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9. 已知tan2
α=，则tan2α的值为.
10. 已知e为自然对数的底数，若曲线y x
=e x在点()
1,e处的切线斜率为.
11. 已知随机变量X服从正态分布()
2,1
N. 若()
130.6826
P X
≤≤=，则()3
P X>
图3
等于 . 12. 已知幂函数()223
(m m f x x
m --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则
()2f 的值为 .
13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 1
1k n --，则可推出 C 1
2n +C 23n +C 3
n k +
+C k n n +
+C (n n n =C 01n -+C 1
1n -++C 1
1k n --++C 11)n n --1
2
n n -=⋅， 由此，可推出C 1
2
2n +C 2
2
3n +C 3
2n k +
+C 2k n n ++C n n = .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,
(cos sin x y θθθθθ
=+⎧⎨
=-⎩为参数)和
2,
(x t t y t
=-⎧⎨
=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．
为 . 15. （几何证明选讲选做题）
如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为
切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ， 则DE 的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛
⎫=+>> ⎪⎝
⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个
最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π
⎛⎫+- ⎪⎝
⎭
. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值.
图4O
F E
D C B A 图5
F
E P
O
D
B A
袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为
17
，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.
18. （本小题满分14分）
如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒
∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，AC
EF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5
的五棱锥P ABFED -
，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ；
（2）求二面角--B AP O 的正切值.
19. （本小题满分14分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，
且满足111,1n a a +==，
n ∈N *
. （1）求2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.
已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线2
22:12x C y -=的顶点，直线
0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上
异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.
(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；
(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.
21. （本小题满分14分） 已知函数()()2
ln 12
a f x x x x =++
-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；
（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *
22212111n n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
<+
+⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
e <.
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案
不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满
分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 4
3
-
10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅
14. 4π⎫
⎪⎭
15. 说明: 第14
题答案可以是2,4k k π
π⎫
+∈⎪⎭
Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分
00222
T x x ππ
⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由
,2πω
π
=得2=ω， …………………………5分
∴()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. …………………………6分
（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 026
2
x π
π
+=
. …………………………7分
∴ 06
x π=
. …………………………8分
∴0sin 4x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
…………………………9分 sin
cos
cos
sin
6
4
6
4
π
π
π
π
=+ …………………………10分
1222=
⨯ …………………………11分
=
. …………………………12分 17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）
（1）解：设袋子中有n (n ∈N *
)个白球，依题意得，2271
7
n C C =，………………………1分
即
()
1127672
n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分 解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分
X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分
()407P X ==
， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()32141
3765435
P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分
∴X 的分布列为：
…………………………11分
G H F E
P
O
D
B
A
∴42413
01237735355
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，
∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥.
∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =，
∴EF ⊥平面POA . …………………………3分 ∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒
∠=， ∴△ABD 为等边三角形.
∴4BD =，2BH =
，HA =
HO PO ==……5分 在R t △BHO
中，BO =
=
在△PBO 中，2
2
2
10+==BO PO PB ，
∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，
由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .
∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，
∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，
∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA
中，=AP ，
在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒
∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分 ∴
=PO PA
HG HA
.
∴⋅=
==
PO HA HG PA . …………………………12分
A
在Rt △BHG
中，tan 35
∠=
==
BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O
的正切值为3
. …………………………14分 解法2：设AO
BD H =，连接BO ，
∵60DAB ︒
∠=， ∴△ABD 为等边三角形.
∴4BD =，2BH =
，HA =
HO PO ==………………………5分 在R t △BHO
中，BO =
=
在△PBO 中，2
2
2
10+==BO PO PB ，
∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，
则()0,-A
，()2,B
，(P
，()
0,H .…………8分
∴(=AP
，()
2,=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，
由⊥n AP ，⊥n AB ，得
0,20.
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x 令1=y ，得3=-z
，=x ∴平面PAB 的一个法向量为=
n ()
3-. 由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分 设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH
⋅=
n BH n
BH
13=
=.………………………12分
∴sin θ==
sin tan cos θθθ==………………………13分
∴二面角--B AP O . …………………………14分 19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）
（1）解：∵111,1n a a +==，
∴2113a ===. …………………………1分
（2）解法1：由11n a +=+，得11n n S S +-=， …………………………2分
故)
2
11n S +=
. …………………………3分
∵0n a >，∴0n S >.
1. …………………………4分
∴数列
1=，公差为1的等差数列.
()11n n =+-=. …………………………5分
∴2
n S n =. …………………………6分
当2n ≥时，()2
2
1121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分
又11a =适合上式，
∴21n a n =-. …………………………9分
解法2：由11n a +=+，得()2
114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2
114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22
111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分
∴22
11220n n n n a a a a ++---=.
∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，
∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，
∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，
猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.
① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分
由已知11k a +=，得()2
114k k a S +-=， 故()2
114k k a S --=.
∴()()()22
111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分
∴222
11220k k k k a a a a ++---=.
∴()()11
20k k
k k a a a
a +++--=. …………………………6分
∵10,0k k a a +>>，
∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.
由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分 （3）解：由(2)知21n a n =-, ()
21212
n n n S n +-=
=.
假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,
则2
214k k k S a a -=⋅. …………………………10分
即()()()4
212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()3
2181k k -=-.
∴ 3
2
8126181k k k k -+-=-.
化简得 3
2
460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,
∴ 2
4610k k --=.
解得k ==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分
∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分
20.（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解法1： ∵ 双曲线2
22:12
x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………1分
∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .
设椭圆1C 方程为122
22=+b
y a x ()0a b >>，
∵ 椭圆1C 过点A (1)，
∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分
∴ 2
2
2
2b a =-
=. ………………………3分
∴ 椭圆1C 的方程为 22
142x y +=. ………………………4分
解法2: ∵ 双曲线2
22:12
x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……………………1分
∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .
设椭圆1C 方程为122
22=+b
y a x ()0a b >>，
∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴
22
21
1a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 2
2
2a b =+, ② ………………………3分 由①②解得2
4a =, 2
2b =.
∴ 椭圆1C 的方程为 22
142
x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，
由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，
∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，
(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.
由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分
即 11((1)(1)x x y y =---. ①
同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分
①⨯②得 2222
11(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分
由于点P 在椭圆1C 上, 则22
11142
x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222
112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.
当2110y -≠时，有22
25x y +=，
当2
110y -=，则点(1)P -或1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为1)或
(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分
当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得 3y =
-，
解方程组2225,
3,
x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q
的坐标为
)
1-
或2⎫
-⎪⎪⎝⎭
. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q
的坐标为()
或22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
∴点Q 的轨迹方程为 22
25x y +=,
除去四个点
)1-
,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
, ()
, 22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，
由
A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得
B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.
1=-
(1x ≠，① ……………………5分
1=-
(1x ≠. ② ……………………6分
①⨯② 得 1222211
1
122
y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分
∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得22
1122
x y =-, 代入(*)式得2
212
211
112122
x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.
若点(1)P -
或1)P , 此时点Q
对应的坐标分别为1)或
(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分
当点P 与点A 重合时，即点
P (1)，由②得
3y =
-，
解方程组22
25,
3,
x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q
的坐标为
)
1-
或2⎫
-⎪⎪⎝⎭
.
同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q
的坐标为()
或2⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
. ∴点Q 的轨迹方程为 22
25x y +=,
除去四个点
)1-
,,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
, ()
,
22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:
AB 0x +=
.
△ABQ
的面积为S =10分
x =
=
………………………11分
而22
2(2)42y x x =⨯⨯≤+
（当且仅当2x =
∴S =≤=
2=
. ……12分
当且仅当2x =
时, 等号成立.
由22225,
x x y ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
………………………13分
∴△ABQ
, 此时,点Q
的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭
或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
.…14分 解法２：由于
AB =
=
故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………1０分
设与直线AB 平行的直线为0x m +
+=，
由22
0,25,
x m x y ⎧+=⎪⎨+=
⎪⎩消去x ，得22
5250y c ++-=， 由(
)
2
2
3220250m m ∆=
--=，解得2
m =±
． ………………………1１分
若m =
2y =-
，x =
；若m =，则2y =
，x =．…1２分 故当点Q
的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
或,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
时，△ABQ 的面积最大，其值为
1
2
2
S AB =
=
． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2
ln 12
a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11
111x ax a f x ax x x
+-'=
+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1x
f x x
'=-
+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210a
x a
-=>， 当x ∈10a ,
a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分
③ 当1a =时，()2
1x f x x
'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，
则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210a
x a
-=
<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，
即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分
∴2222221212ln 1ln 1ln 1n n
n n n n n
n
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
+++++<++
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222
121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫+
++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 由于n ∈N *，则11111
1222221
n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫
⎛⎫+
++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫+
++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0
f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()2
1ln 12
x x x -
<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n n
n n n
n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫++
+-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭.
…………………………12分
即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤
⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
由于n ∈N *
，则()()322323333
63316431611212122
n n n n n n n n n n n
+-+-+--=≥=. …………………………13分
∴
12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.
∴
22212111n n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. …………………………14分 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫<+++ ⎪⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭
e <.。