高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题(3)课时作业 北师大版选修11

1.1 命题（3）
一、选择题
1．命题“若¬p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( ) A．若p，则¬q B．若q，则¬p
C．若¬q，则p D．若¬q，则¬p
解析：命题“若¬p，则q”的逆否命题为“若¬q，则p”．
答案：C
2．有下列四个命题：
①“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解析：
(1)假该命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy ＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题
(2)假该命题与其逆否命题具有相同的真假性．而该命题为假命题(如x ＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题
(3)假该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题
(4)假该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题
3．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：利用四种命题真假性关系可知D正确．
答案：D
4．[2014·济南教学质量检测]下列有关命题的说法正确的是( )
A. 命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B. “若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C. 命题“任意的x∈R，都有2x2－1<0成立”为真命题
D. 命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：A不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；
B正确，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然成立；
C不正确，当x＝1时，2x2－1<0不成立；
D不正确，因为命题“若cos x＝cos y，则x＝y”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．
答案：B
二、填空题
5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，其逆命题为“若A∩B≠A则A∪B≠B”，
否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”，
逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”，全为真命题．
答案：4
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系，便不难判断．答案：③和⑥，②和④①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤
7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．
解析：①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1、B 1、C 1、D 1四点共面，所以①的逆命题不真；②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题．
答案：②
三、解答题
8．命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2
－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．
否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0. 逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
9．[2013·咸阳模拟]给出命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a －1)x ＋a 2－2≤0的解集不是空集，则a ≤3”，判断其逆否命题的真假．
解：先判断原命题的真假：
因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a －1)x ＋a 2－2≤0的解集不是空集，则 Δ＝(2a －1)2－4(a 2－2)≥0，解得a ≤94
.
当a ≤94
成立时，a ≤3恒成立，所以原命题为真命题． 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题是真命题．。