高三数学下学期第一次模拟考试试题文含解析试题

宁夏六盘山高级中学2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文〔含解
析〕
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

考前须知：
1.在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内.
2.选择题答案使需要用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.做答时，必须将答案写在答题卡相应位置上，写在本试题上、超出答题区域或者非题号对应区域之答案一律无效.在在考试完毕之后以后，将答题卡交回.
一、选择题：〔每一小题5分，一共60分，每一小题只有一个答案是正确的〕 1.假设复数z 满足()1234i z i +=-，那么z 的实部为 A. 1 B. 1-
C. 2
D. 2-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据得复数z 的表达式，再根据复数的除法运算，将复数z 的分子、分母同时乘以分母的一共轭复数，计算化简得复数z ，从而得解. 【详解】由()1234i z i +=-得
()()()()22
341234310851012121212145
i i i i i i z i i i i i ----+--=====--++--， 所以复数z 的实部为1-， 应选B .
【点睛】此题考察复数的概念与乘法、除法运算，属于根底题. 2.集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，那么A B =〔 〕
A. {1}
B. {}1-
C. {0,1}
D. {1,0}-
【答案】C 【解析】 【分析】
求得集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，又由{1,0,1}B =-， 所以{0,1}A
B =，应选C.
【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A ，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能.
3. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，那么甲被选中的概率为〔 〕 A.
15
B.
25
C.
825
D.
925
【答案】B 【解析】
试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，根本领件的总数为2
5
10n C ==，甲被选中包含的根本领
件的个数11
144m C C ==，所以甲被选中的概率2
5
m p n =
=，应选B ． 考点：古典概型及其概率的计算．
4.非零向量a ，b 满足a k b =，且()
2b a b ⊥+，a ，b 的夹角为23
π
，那么实数k 的值是〔 〕 A. 4 B. 3 C. 2
D.
12
【答案】A 【解析】 【分析】
根据(2)b a b ⊥+即可得出(2)0b a b +=，然后根据2||||,,3
a k
b a b π
=<>=进展数量积的运算即可得出22202
k
b b -+=，再由20b ≠即可求出k ． 【详解】
()
2b a b ⊥+，
()
2
2222cos ,0b a b b a b b a b a b ∴⋅+=+⋅=+=，
且，0b ≠，22cos 03
b a π
∴+=， 即1
202
b a -
=，4a b ∴=， 4k ∴=.
应选：A ．
【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于根底题．
5.函数2
()
()41
x x x e e f x x --=-的局部图象大致是〔 〕 A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.
【详解】2
22
1
()()
410,
()()2
4141
x x x x x e e x e e x x f x f x x x ------≠∴≠±-===∴--()f x 为偶函数，舍去A; 当1
02
x <<时()0f x >,舍去C ； 当1
2
x >
时()0f x <,舍去D ； 应选：B
【点睛】此题考察函数奇偶性以及识别函数图象，考察根本分析求解判断才能，属根底题.
6.双曲线
2
2x a
－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右〞四个区域(不含边
界)，假设点(2,1)在“右〞区域内，那么双曲线离心率e 的取值范围是( )
A. 51⎛
⎝
⎭
， B. 5⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
C. 514⎛⎫
⎪⎝⎭
，
D. 54，
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据点在不等式表示的区域内，即可求得,a b 的不等关系，据此求得离心率范围.
【详解】由题意可得双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a
=±，
且“右〞区域由不等式组b y x a
b y x a ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩
确定，
∵点(2,1)在“右〞区域内， ∴
21b
a >，即12
b a >， ∴2215
1()1()22
c b e a a =
=+>+=
， 即双曲线离心率e 的取值范围是5
)2
+∞． 应选：B ．
【点睛】此题考察双曲线离心率范围的求解，属中档题.
7.在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，3
cos 3
B ∠=，那么边A
C 的长〔 〕 A. 3 B. 4
C. 22
D. 23
【答案】D 【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式求出cos D ∠，然后利用余弦定理可求得边AC 的长.
【详解】2D B ∠=∠，2
2
31cos cos 22cos 1213D B B ⎛⎫∴∠=∠=∠-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 由余弦定理得2
2
2
2
2
12cos 13213123AC AD CD AD CD D ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
， 因此，23AC =. 应选：D.
【点睛】此题考察利用余弦定理求三角形的边长，同时也考察了二倍角余弦公式的应用，考察计算才能，属于根底题.
8.如图，给出的是计算111
147
100
+
+++
的值的一个程序框图，那么图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是〔 〕
A. i >100，n ＝n ＋1
B. i <34，n ＝n ＋3
C. i >34，n ＝n ＋3
D. i ≥34，n ＝n ＋3
【答案】C 【解析】
【分析】
根据算法的功能确定跳出循环的i 值，可得判断框内的条件，根据n 值的出现规律可得执行框②的执行式子.
【详解】算法的功能是计算111
147
100
+
+++
的值，易知1，4，7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内(1)处应为i >34. 应选：C.
【点睛】此题考察了循环构造的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i 值及n 值的出现规律是解答此题的关键，属于根底题．
9.如图四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，那么直线PB 与平面PAC 所成角为〔 〕
A.
2
π
B.
3
π C.
4
π D.
6
π 【答案】D 【解析】 【分析】
证明出BD ⊥平面PAC ，可得出直线PB 与平面PAC 所成角为OPB ∠，计算出OB 和PB ，可求得
OPB ∠，即可得解.
【详解】
四边形ABCD 是边长为2的正方形，那么BD AC ⊥，且22BD =，1
22
OB BD =
=， PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PA ∴⊥，同理可得PA AB ⊥，
AC
PA A =，BD ∴⊥平面PAC ，
所以，直线PB 与平面PAC 所成角为OPB ∠，
2PA AB ==，2222PB PA AB ∴=+=，
BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，BD
PO ∴⊥，
在Rt OPB 中，2
BOP π
∠=
，1sin 2OB OPB OP ∠=
=，6
OPB π
∴∠=. 因此，直线PB 与平面PAC 所成角为6
π. 应选：D.
【点睛】此题考察直线与平面所成角的计算，考察计算才能，属于中等题. 10.定义行列式运算
1212211
2
a a a
b a b b b =-.函数()()sin 10cos 3
x f x x
ωωω-=
>满足
()()120,2f x f x ==-且12x x -的最小值为
2
π
，那么ω的值是〔 〕 A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 的解析式，然后由12x x -的最小值为2
π
可以求出周期2T π=，进而求出1ω=. 【详解】由题意得，()3sin cos 2sin 6
f x x x x π
ωωω=+=+（），(0)ω>，因为12x x -的最小值为
42T π=，所以2T π=，那么由2T πω
=得1ω=. 【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质，属于根底题．
11.如图，假设C 是()22
2210x y a b a b
+=>>椭圆上位于第一象限内的点，A 、B 分别是椭圆的左顶点和
上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC OF =，//AB OC ，那么该椭圆的离心率为〔 〕
C.
13
【答案】A 【解析】 【分析】
求出直线OC 的方程，将直线OC 的方程与椭圆的方程联立，求出点C 的坐标，由OC OF =建立等式，可求得椭圆的离心率. 【详解】直线AB 的斜率为b k a
=
，//AB OC ，所以，直线OC 的方程为b
y x a =，
联立22
221
b y x a x y a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，解得2
x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或者2
x a y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 由于点C
在第一象限，那么,22C a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
OC OF =
，那么2
2
2
22a b c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2222a b c +=， 222
22a c c ∴-=
，=
，因此，该椭圆的离心率为c e a =
==
. 应选：A.
【点睛】此题考察椭圆离心率的求解，解答的关键就是求出点C 的坐标，并由此建立有关a 、b 、c 的齐次方程，考察计算才能，属于中等题. 12.定义在R 上的奇函数()f x 满足()
1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x
f x =，那么()3lo
g 54f =〔 〕 A.
32
B. 23
-
C.
23
D. 32
-
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 那么()354f log =()31log 21f -
+，且()()
331
log 21log 21f f +=--，
由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2
333
log 211log 232
f f --=--=-=-，
据此可得：()()3312
log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32
-.
此题选择D 选项.
【点睛】此题主要考察函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
二、填空题：〔每一小题5分，一共20分〕
13.曲线()21ln y x x =+在点()1,0处的切线方程为__________. 【答案】330x y --= 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在1x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案． 【详解】求导可得21
2ln x y x x
+'=+
，故切线斜率为31y x '
==， 故切线方程为()31y x =-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=．
【点睛】此题考察了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是根底题．
14.假设实数x ，y 满足条件3212
2800
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨⎪⎪⎩，那么34z x y =+的最大值为_____________.
【答案】18 【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如下图，
结合目的函数的几何意义可知目的函数在点()2,3p 处获得最大值， 最大值为：max 34324318z x y =+=⨯+⨯=. 故答案为 18．
15.tan 74πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
，那么tan2α=__________. 【答案】
247
【解析】 【分析】
利用两角差的正切公式求出tan α的值，再利用二倍角的正切公式可求出tan2α的值.
【详解】tan tan
71344tan tan 441714
1tan tan 44ππαππααππα⎛
⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥+⨯⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪
⎝
⎭， 因此，223
22tan 316244tan 21tan 277314ααα⨯
===⨯=-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 故答案为：
247
. 【点睛】此题考察利用两角差和二倍角的正切公式求值，考察计算才能，属于根底题. 16.圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，那么该圆柱的侧面积为________. 【答案】36π 【解析】
【分析】
设圆柱的底面半径为r ，可知该圆柱的高为2r ，计算出圆柱的体积，可求得r 的值，进而可求得圆柱的侧面积.
【详解】设圆柱的底面半径为r ，由于该圆柱的轴截面为正方形，那么该圆柱的高为2r ， 所以，圆柱的体积为232254V r r r πππ=⨯==，解得3r =. 因此，该圆柱的侧面积为222244336S r r r ππππ=⨯==⨯=. 故答案为：36π.
【点睛】此题考察圆柱侧面积的计算，同时也考察了圆柱的体积的计算，考察计算才能，属于根底题. 三、解答题：〔本大题一一共5小题，一共60分，解容许写出文字说明〕 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2882a a +=，419S S =. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕求n S 的最大值.
【答案】〔1〕512n a n =-；〔2〕625 【解析】 【分析】
〔1〕由题，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2882a a +=，419S S =，求得1,a d ，可求得通项公式； 〔2〕先利用求和公式，求得n S ，即可求得最大值.
【详解】〔1〕由题，因为等差数列{}n a ，2882a a +=，所以12882a d += 又419S S =，所以41911414098
41(9)022
S S a d a d ⨯⨯-=+-+= 解得149,2a d ==-
所以1(1)512n a a n d n =+-=- 〔2〕由〔1〕可得：221()
50(25)6252
n n n a a S n n n +=
=-+=--+ 可得当n=25时，n S 取最大值为625
【点睛】此题考察了数列，熟悉等差数列的通项和求和公式是解题的关键，熟记根底题. 18.甲、乙两人在一样条件下各射击10次，每次中靶环数情况如下图：
〔1〕请填写上下表〔先写出计算过程再填表〕： 平均数 方差
命中9环及9环以上的次数
甲 7
1.2
1
乙
〔2〕从以下三个不同的角度对这次测试结果进展分析： ①从平均数和方差相结合看〔分析谁的成绩更稳定〕；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看〔分析谁的成绩好些〕； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看〔分析谁更有潜力〕.
参考公式：()()
()
222
2121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-++-⎢
⎥⎣⎦
.
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕①甲成绩比乙稳定；②乙成绩比甲好些；③乙更有潜力. 【解析】 【分析】
〔1〕根据统计图列举出甲、乙两人各射击10次中靶环数，并计算出乙射击10次中靶环数的平均数、方差以及命中9环及9环以上的次数，由此可完善表格；
〔2〕①根据表格中的数据甲、乙两人的平均数和方差的大小，由此可得出结论；
②根据表格中的数据甲、乙两人的平均数和命中9环及9环以上的次数的大小，由此可得出结论； ③根据甲、乙两人射击命中环数的波动情况可得出结论. 【详解】解：〔1〕由列联表中数据，计算由题图，知：
甲射击10次中靶环数分别为9、5、7、8、7、6、8、6、7、7.
将它们由小到大排列为5、6、6、7、7、7、7、8、8、9. 乙射击10次中靶环数分别为2、4、6、8、7、7、8、9、9、10. 将它们由小到大排列为2、4、6、7、7、8、8、9、9、10； 〔1〕x 乙()1
24672829210710
=
⨯+++⨯+⨯+⨯+=〔环〕， ()()()()()()()2222222
2127476777287297210710s ⎡⎤=
⨯-+-+-+-⨯+-⨯+-⨯+-⎣
⎦乙
()1
25910289 5.410
=
⨯++++++=. 填表如下： 平均数 方差
命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 1
乙 7
5.4
3
〔2〕①平均数一样，2
2
s s <甲乙，∴甲成绩比乙稳定；
②
平均数一样，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些；
③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力. 【点睛】此题考察统计图表的应用，同时也考察了平均数、方差的计算，考察计算才能与数据处理才能，属于根底题.
19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，且AD BC ⊥，四边形11ABB A 为正方形.
〔Ⅰ〕求证：1
//AC 平面1AB D ； 〔Ⅱ〕假设60BAC ∠=， 4BC =，求点1A 到平面1AB D 的间隔 . 【答案】45
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行断定定理得结果，〔Ⅱ〕根据等体积法求高，即得结果.
【详解】〔Ⅰ〕连接1BA ，交1AB 于点E ，再连接DE ， 由得，四边形11ABB A 为正方形，E 为1AB 的中点，
∵D 是BC 的中点，∴1//DE A C ，又DE ⊂平面1AB D ，1AC ⊄平面1AB D ， ∴1
//AC 平面1AB D . 〔Ⅱ〕∵在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ,且BC 为它们的交线， 又AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵1B D ⊂平面11BCC B , ∴1AD B D ⊥，且123,25AD B D ==同理可得，过D 作DG AB ⊥，那么DG ⊥面11ABB A ，且3DG =设1A 到平面1AB D 的间隔 为h ,由等体积法可得：
1111A AB D D AA B V V --=，即11111111
3232
AD DB h AA A B DG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，
即5
35443,5
h h =⋅∴=
.
即点1A 到平面1AB D 的间隔
【点睛】此题考察线面平行断定定理以及等体积法，考察根本分析求解才能，属中档题.
20.抛物线()2
1:20C x py p =>和圆()2
22:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，
且1l 与圆2C 相切． 〔1〕求p 的值；
〔2〕动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，假设1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设
MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．
【答案】〔1〕6p ；〔2〕点N 在定直线3y =上．
【解析】 【分析】
〔1〕设出直线1l 的方程为2
p
y x =+
，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； 〔2〕设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；
【详解】解：〔1〕依题意设直线1l 的方程为2
p
y x =+
， 由得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -
，半径r =
因为直线1l 与圆2C 相切，
所以圆心到直线1:2
p
l y x =+的间隔
d =
=
=6p 或者2p =-〔舍去〕．
所以6p ；
〔2〕依题意设(,3)M m -，由〔1〕知抛物线1C 方程为2
12x y =，
所以2
12
x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，那么以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，
所以切线2l 的方程为1111
()6
y x x x y =
-+． 令0x =，21111111
1266
y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，
所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，
∴()12,6MN MA MB x m =+=-， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．
设N 点坐标为(,)x y ，那么3y =， 所以点N 在定直线3y =上．
【点睛】此题考察抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考察直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考察化简整理的运算才能，属于综合题． 21.函数()()1
ln f x x a ax
=+
∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行． (1)务实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；
(2)假设函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 【答案】〔1〕()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是单调递增. 〔2〕详见解析 【解析】 【分析】 〔1〕由()1
'12
f =
可得2a =，利用导数可求()f x 的单调区间. 〔2〕由121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=可得1211212ln x x x x x -=，2
1
212
12ln
x x x x x -=，令12x t x =，那么()0,1t ∈且
121
+=2ln t t x x t
-
，构建新函数()()1
2ln 01h t t t t t =--<<，利用导数可以证明()1h t >即121x x +>. 【详解】〔1〕函数()f x 的定义域：()0,+∞，
()11
112
f a =-
='，解得2a =， ()1
ln 2f x x x ∴=+，
()22
112122x f x x x x -∴=
-=' 令()0f x '<，解得102x <<
，故()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上是单调递减； 令()0f x '>，解得12x >
，故()f x 在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是单调递增. 〔2〕由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得1212
11
ln ,ln 22x m x m x x +
=+= 两式相减，可得1212
11
ln ln 022x x x x -+
-= 即112212
ln 2x x x x x x -=，
12
1212
2ln x x
x x x x -=， 因此1211212ln x x x x x -=，21
212
12ln
x x x x x -=
令1
2
x t x =
，由12x x <，得01t <<. 那么1211
11+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t
-
-
-+=， 构造函数()()1
2ln 01h t t t t t
=--<<，
那么()()2
22
11210t h t t t t -=+-=
>'
所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，
即12ln 0t t t
--<，可知1
12ln t t t
->.故命题121x x +>得证.
【点睛】〔1〕一般地，假设()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()
'0'0f x f x ><，那么()f x 在(),a b 上为单调增〔减〕函数；反之，假设()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增〔减〕函数，那么
()()()'0'0f x f x ≥≤．
〔2〕函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，考虑它们的和或者积的性质时，我们可以通过设
1
2
x t x =，再利用()()120,0f x f x ==得到12x x +、12x x 与t 的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立． 选做题：一共10分.请考生在第22，23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕，以原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2
2
2cos cos23ρθθ+=.
〔1〕求曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为〔2,1〕，求直线l 的方程.
【答案】〔1〕22
13
y x -=；
〔2〕611y x =- 【解析】 【分析】
〔1〕曲线C 的极坐标方程中将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可得到曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕将直线l 的参数方程2{
1x tcos y tsin αα
=+=+代入C 的直角坐标方程得()()22
32cos 1sin 3t t αα+-+=，
利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得122212cos 2sin 03cos sin t t αα
αα
-+=-=-，从而可得结果.
【详解】〔1〕由题目知曲线C 的极坐标方程可化为()2
2
2
3cos sin 3ρ
θθ-=，
即2222
3cos sin 3ρθρθ-=，即22
33x y -=，
∴ 曲线C 的直角坐标方程为2
2
13
y x -=.
〔2〕将直线l 的参数方程2{
1x tcos y tsin α
α
=+=+代入C 的直角坐标方程得
()()2
2
32cos 1sin 3t t αα+-+=，
整理可得()
()2
2
2
3cos sin 12cos 2sin 80t t αααα-+-+=，
设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，那么120t t +=，
∴ 122212cos 2sin 012cos 2sin 03cos sin t t αα
αααα
-+=-
=⇒-=-，
∴ 直线l 的斜率tan 6k α==， ∴ 直线l 的方程为611y x =-.
【点睛】此题考察圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线间隔 公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可. 23.函数()13f x x x =-+- 〔1〕解不等式()1f x x ≤+；
〔2〕设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111
a b
a b +≥++.
【答案】〔1〕[]1,5；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕对x 按1x <，13x ≤≤，3x ≥进展分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；〔2〕根据绝对值三角不等式得到()f x 最小值c 的值，再令1a m +=，1b n +=，由根本不等式进展证明. 【详解】①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥. 又
1x <，x ∴∈∅；
②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥. 又13x ≤≤，13x ∴≤≤.
③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤. 又
3x >，35x ∴<≤.
综上所得，15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1,5.
〔2〕证明：由绝对值不等式性质得，
()13(1)(3)2f x x x x x =-+-≥-+-=，
2c ∴=，即2a b +=.
令1a m +=，1b n +=，那么1m ，1n >，
1a m =-，1b n =-，4m n +=，
2222
(1)(1)11a b m n a b m n
--+=+
++ 21144
412m n m n mn m n =+-+
+=≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
原不等式得证．
【点睛】此题考察分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用根本不等式进展证明，属于中档题.
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。