河北省定州中学高三数学上学期周练试题(8.28)

河北省定州中学高三数学上学期周练试题（8.28）
一、选择题
1．已知函数731,,1,222()111,[0,],
3
62x x x f x x x ⎧-⎛⎤
∈ ⎪⎥⎪+⎝⎦
=⎨⎪-+∈⎪⎩函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在
12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．14
[,]23 B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．24[,]33
D ．1
[,1]2 2．已知函数x x f -=)(，则)(x f 是（ ） A ．奇函数 B ． 偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇函数非偶函数
3．已知20
()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩
，则(2)(2)f f +-的值为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．2
4．已知函数2f(x)=2x -1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+x,f(1+x))∆∆，则y
x
∆∆等于（ ）
A. 4
B. 42x +∆
C. 2
42()x +∆ D. 4x
5．已知点A(1,2),B （2，1），直线l 过坐标原点，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的 取值范围是（ ）
11.(,2).[,2].(0,2].[1,2]22
A B C D -
6．函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，若
),3(),2
1
(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系（ ）
A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
7．(1)n
x +的展开式中，k x 的系数可以表示从n 个不同物体中选出k 个的方法总数.下列各式的展开式中8x 的系数恰能表示从重量分别为10,,4,3,2,1⋅⋅⋅克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）
A ．23
10(1)(1)(1)(1)x x x x ++++
B ．(1)(12)(13)
(110)x x x x ++++
C ．23
10(1)(12)(13)
(110)x x x x ++++
D ．223
210(1)(1)(1)
(1)x x x x x x x x x +++++++++
+
8．设=+-=)2
1()2(,1
1)(22f f x x x f 则（ ） A ．1
B ．－1
C ．－
53 D ．5
3 9．在区间（0，2π）内，使si nx ＞co s x 成立的x 的取值范围是
)(A (4π, 2π)∪(π,45π
) )(B (4π,π) )(C (4π,π)∪(45π,2
3π) )(D (4π,45π)
10．如果3
2
(3)n x x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ）
（A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21-
11．如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是( )
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(2)(3)
D ．(1)(4)
12．下列各式中错误的是 （ ）
A ．330.80.7>
B ．0..50..5log 0.4log 0.6>
C ．0.10.10.750.75-<
D ．lg1.6lg1.4>
(2)底面直径和高均为2的圆柱
(1)棱长为2的正方体
(3)底面直径和高均为2的圆锥 (4)长、宽、高分别为2、3、4的长方体
二、填空题
13．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若3a =，1c =，sin 2sin A C =，则
AB AC ⋅= ．
14．已知函数()x f 为奇函数，且当0>x 时，(),2
x x x f +=则=-)1(f _____________．
15．一个凸n 边形的内角成等差数列，公差为20度，且最小内角为60°，则凸n 边形的边数为 .
16．设集合*
{|52,,100}n M m m n n N m ==+∈<且，则集合M 中所有元素的和为 ▲ .
三、综合题
17．已知函数2
()1()f x x x a x R =+-+∈ .
1
234-1
-2-3-4
-4-3-2-14
3
2
1
O
y x
（1）画出 a = 0 时函数()f x 的图象；
（2）求函数()f x
的最小值.
18．(本小题满分12分)若对于正整数k 、()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(20)5g =，并且(2)()()g m g m m N *=∈,设(1)(2)(3)(2)n n S g g g g =+++
（1）求S 1、S 2、S 3 ；
（2）求n S ；
（3）设11n n b S =-，求证数列{}n b 的前n 顶和3
2
n T <．
19．如图，设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 1交抛物线C 于A ，B 两点，且
||8AB =，线段AB 的中点到y 轴的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）若直线2l 与圆2
2
1
2
x y +=
切于点P ，与抛物线C 切于点Q ，求FPQ ∆的面积． 20．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 6
6
=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值； （2）求)6
2cos(π
-
A 的值.
21．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0,3)-、(0,3)的距离之和等于4．设点P 的轨迹为C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设直线1y kx =+与C 交于A 、B 两点，若→
→
⊥OB OA ，求k 的值．
22．设函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）求)(x f 在],0[π上的单调区间．
23．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于点D ，AC DE ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若
5
3=AB AC ，求DF AF
的值
24．已知函数()32121332x a b f x x x x x λλ-⎛⎫
=+++⋅
⎪⎝⎭
，（,a b R ∈且0a >）.
（1）当121,0λλ==时，若已知12,x x 是函数()f x 的两个极值点，且满足：1212x x <<<，求证：
()13f '->；
（2）当120,1λλ==时，①求实数()()()31ln30y f x x x =-+>的最小值；②对于任意正实数
,,a b c ，当3a b c ++=时，求证：3339a b c a b c ⋅+⋅+⋅≥.
参考答案
1．A 2．B 3．B 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．C 12．C 13．
12
14．-2 15．4 16．231
17．（1）函数的图像的求解，对于二次函数的图像作对称变换可知道。

（2）当12a ≤-时，函数()f x 的最小值为34
a -+ 当11
22a -
<≤时，函数()f x 的最小值为21a + 当a >21时，函数f (x)的最小值为4
3+a
解：（1）略 4分
（2）①当x a <时，2
2
1
3
()1()24
f x x x a x a =-++=-++
5分 若1
2
a ≤
，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，从而函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+
若12a >
，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13
()24
f a =+ 7分
②当x a ≥时，2
2
1
3
()1()2
4
f x x x a x a =+-+=+-+
8分 若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13
()24f a -=-+
若12
a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为2
()1f a a =+ 10分
综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值为3
4
a -+
当11
22a -<≤时，函数()f x 的最小值为21a +
当a >21时，函数f (x)的最小值为4
3
+a. 12分
18．略
19．（Ⅰ）2
4y x =；（Ⅱ）32
S =
. 解：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点坐标为1212
(,)22
x x y y ++， 由题意知
12
32
x x +=，∴126x x +=，又12||8AB x x p =++=，∴2p =， 故抛物线C 的方程为2
4y x =；
（Ⅱ）设2l ：y kx m =+，由2l 与⊙O 相切得
222
22121m k k =⇒=++①， 由2
4y kx m
y x
=+⎧⎨=⎩222(24)0k x km x m ⇒+-+=，（*） ∵直线2l 与抛物线相切，
∴2
2
2
(24)401km k m km ∆=--=⇒=② 由 ①，②得1
1k π
=
=±，
∴方程（*）为2210x x -+=，解得1x =， ∴(1,2)Q ±，
∴222132
||1422
Q Q PQ x y r =
+-=+-
=
； 此时直线2l 方程为1y x =+或1y x =--， ∴令(1,0)F 到2l 的距离为2d =
∴11323||22222
PQF S PQ d ∆=
=⨯⨯=． 20．(1) 6cos .4A =
(2) 153
cos(2).68
A π--= 解：(1)解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化，本题可利用正弦定理将条件
sin 6sin B C = 化边：6b c = ，从而得到三边之间关系：6b c = ，2a c = ，再利用余弦
定理求cos A 的值：2222222
646
cos .2426b c a c c c A bc c
+-+-=== (2)由（1）已知角A ，所以先求出2A 的正弦及余弦值，再结合两角差的余弦公式求解.在三角形ABC 中，由6cos .4
A =
，可得10
sin .4A =，于是2115
cos 22cos 1,sin 22sin cos .44
A A A A A =-=-==，
所以153
cos(2)cos 2cos
sin 2sin
.6
6
6
8
A A A π
π
π
--
=+=
解(1) 在三角形ABC 中，由
sin sin b c B C =及sin 6sin B C =，可得6b c =又6
6
a c
b -=，有2a
c =，所以2222222
646
cos .2426b c a c c c A bc c
+-+-=== (2)在三角形ABC 中，由6cos .4
A =
，可得10
sin .4A =，于是2115
cos 22cos 1,sin 22sin cos .44
A A A A A =-=-==，
所以153
cos(2)cos 2cos
sin 2sin
.6
6
6
8
A A A π
π
π
--
=+=
21．（1）14
2
2
=+y x ；（2）21±=k ．
解：（1）设),(y x P ,由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以32为焦距，长半轴为2的椭圆．它的
短半轴1)3(222=-=b ,故曲线C 的方程为14
2
2
=+y
x ．
（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，其坐标满足⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
114
2
2kx y y x ， 消去y 并整理得032)4(2
2
=-++kx x k ， (*)
故2
2122143
,42k
x x k k x x +-=+-
=+． 若→
→
⊥OB OA ，即02121=+y y x x ，即0)1)(1(2121=+++kx kx x x ，化简得0142=+-k ，所以
21±=k 满足(*)中0>∆，故2
1
±=k 即为所求．
22．（1）)3
32sin(2)(π
+=x x f ；（2）)(x f 在],0[π上的单调递增区间为]4,0[π，单调递减区间
为],4
[
ππ
．
解：（1）由图形易知2=A ，
将点)3,0(，)3,2(π代入，有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=
+=23)2sin(,23
sin ϕωπϕ，
∵πϕ<<0，∴⎪⎩
⎪⎨
⎧
==32,3ωπϕ，故)332sin(2)(π+=x x f ． 由（1）知)3
32sin(2)(π
+=x x f ，
要使)(x f 单调递增，则2
233222π
ππππ+≤+≤-k x k ，
即Z k k x k ∈+≤≤-,43453ππππ，∴)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈+-],4
3,453[ππππ． 取0=k ，得]4
,45[π
π-
，∴)(x f 在],0[π上的单调递增区间为]4,0[π． 要使)(x f 单调递减，则2
3233222π
ππππ+≤+≤+k x k ，
即Z k k x k ∈+
≤≤+,47343ππππ，∴)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈++],4
73,43[π
πππ． 取0=k ，得]47,4[ππ，∴)(x f 在],0[π上的单调递减区间为],4
[ππ
． 故)(x f 在],0[π上的单调递增区间为]4,0[π，单调递减区间为],4
[ππ
．
23．（1）见解析（2）
8
5
AF DF =
解：（1）证明：连结OD ，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC
∴OD//AE 又AE ⊥DE ∴OE ⊥OD ，又OD 为半径 ∴DE 是的⊙O 切线 （2）解：过D 作DH ⊥AB 于H ， 则有5
3
cos cos ==
∠=∠AB AC CAB DOH 设OD=5x ，则AB=10x ，OH=3x ，则AH=8x 由△AED ≌△AHD 可得AE=AH=8x 又由△AEF ∽△DOF 可得
5
8
==OD AE DF AF 24．解：（1）当121,0λλ==时，()()()3221,1132
a b f x x x x f x ax b x -'=
++=+-+， 已知12,x x 是函数()y f x =两个极值点，则12,x x 是方程()0f x '=的两根点
由120,12a x x ><<<，∴()()
10
20f f '<⎧⎪⎨'>⎪⎩，即04210a b a b +<⎧⎨+->⎩，
()()()12342133f a b a b a b '-=-+=-+++-+>
或线性规划可得()13f '->.
（2）①当120,1λλ==时，()3x f x x =⋅，得()331ln3x
y x x =⋅-+，
则：()3ln333ln31x
x
y x '=⋅+-+
()()3ln 13ln31x y x x '=+-+
令：()()()3
ln313ln31x
g x x =+-+，()()0,0g x x '>>，所以x y 是()0,+∞增函数，
且1x =是它的一个零点，也是唯一的一个零点， 所以：当01x <<时，0y '<，当1x >时，0y '>，
11 ∴当1x =时，()331ln3x
y x x =⋅-+有最小值为3ln3- ②由①知：()331ln33ln3x
x x ⋅≥+-，当x 分别取,,a b c 时有 ()()()331ln33ln3,b 331ln33ln3,331ln33ln3a b c a a b c c ⋅≥+-⋅≥+-⋅≥+-， 又3a b c ++=，所以三式相加即得3339a b c a b c ⋅+⋅+⋅≥。