2019年湖南省益阳市大山中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2019年湖南省益阳市大山中学高二数学理上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】结合直线和圆的位置关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当点P为原点时，三角形AOB是直角三角形，此时AB是圆的直径，此时圆C的半径最小，即充分性成立，
当C的半径取得最小值，AB是圆的直径，当以AB为直径的圆和直线y=x相切时，切点不是O，即必要性不成立，
则点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆的位置关系是解决本题的关键．
2. 由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（）
A. 正方体的体积取得最大
B. 正方体的体积取得最小
C. 正方体的各棱长之和取得最大
D. 正方体的各棱长之和取得最小
参考答案：
A
【分析】
根据类比规律进行判定选择
【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A. 【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.
3. 若复数，复数z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
4. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
5. 如图，、分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点O
为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为
A． B 2 C. D．
参考答案：
D
6. 下列命题：
①命题“若，则”的逆否命题：“若，则
”.
②命题
③“”是“”的充分不必要条件.
④若为真命题，则,均为真命题.
其中真命题的个数有
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
参考答案：
B
略
7. 在正方体中，直线与平面所成的角的余弦值等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
8. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心在
（）
A. 一个椭圆上
B.一条抛物线上
C.双曲线的一支上
D. 一个圆上
参考答案：
A
略
9. 已知平面向量，则实数的值为（）
A．1 B．-4 C．-
1 D．4
参考答案：
B
10. 若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）
A. 0
B. 4
C. 5
D. 6
参考答案：
B
【分析】
确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得z＝2x+y的最大值．【详解】不等式组表示的平面区域如图：
z＝2x+y表示直线y＝﹣2x+z的纵截距，
由图象可知，在A（1，2）处z取得最大值为4
故选：B．
【点睛】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，解题的关键是确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出4个命题：
（1）设椭圆长轴长度为,椭圆上的一点P到一个焦点的距离是,P到一条准线的距离是则此椭圆的离心率为
（2）若椭圆（,且为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为, 则为定值.
（3）如果平面内动点M到定直线的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线.
（4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，则FA1⊥FB1.
其中正确命题的序号依次是 .（把你认为正确的命题序号都填上）
参考答案：
（2）（4）
略
12. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．
参考答案：
3＜r＜7
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，圆心距为5，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，可得|r﹣2|＜5＜r+2，即可求出r的取值范围．
【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，
∴3＜r＜7．
故答案为3＜r＜7．
13. 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且2不在第二位,则这样的六位数共有个.
参考答案：
108
14. 记，，…，
．若，则的值为 .
参考答案：
1007
略
15. 过点（，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是．
参考答案：
ρ?sinθ=1
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】先根据公式x=ρ?cosθ，y=ρ?sinθ，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程．
【解答】解：由x=ρ?cosθ==1，y=ρ?sinθ==1，
可得点（，）的直角坐标为（1，1），
∵直线与极轴平行，
∴在直角坐标系下直线的斜率为0．
∴直线直角坐标方程为y=1，
∴直线的极坐标方程是ρ?sinθ=1．
故答案为：ρ?sinθ=1．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了基本公式x=ρ?cosθ，y=ρ?sinθ，注意转化思想，属于基础题．
16. 艺术体操委员会由10位女性委员与5位男性委员组成,委员会要组织6位委员出国考查学习,如果按性别作分层,并在各层按比例随机抽样,试问此考查团的组成方法有_____种.
参考答案：
2100
17. 已知，则_________________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅱ）试根据（2）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．
参考公式：若变量x和y用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为：=x+，其
中：=，=﹣，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．
参考答案：
（Ⅰ），
，
，………………………………………5分
………………………9分
所求线性回归方程为: ． (10)
（Ⅱ）当时,(万元)，……………………………．．11分故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元……12分
19. 某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f=
其中（单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克），试写出一个计算费用算法，并画出相应的程序框图.
参考答案：
算法：
第一步：输入物品重量ω；
第二步：如果ω≤50，那么f =0.53ω，否则，f = 50×0.53+（ω－50）×0.85；
第三步：输出物品重量ω和托运费f.
相应的程序框图.
20. 已知椭圆+=1（a＞b＞0），F为椭圆是上焦点，点A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作AF的垂线，垂足为N．
（1）若a=，△ABM的面积为1，求椭圆方程；
（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由k AF=，直线AF：﹣ +=1，则k BD=﹣，直线BD：y=﹣（x﹣b），联立求得M点坐标，利用三角形的面积公式，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由（1）可知：B，D关于点M对称，求得D点坐标，假设存在D点，代入椭圆方程，解得：c=0，a=c，不合题意，故不存在这样的椭圆．
【解答】解：（1）椭圆+=1（a＞b＞0），焦点在y轴上，k AF=，直线AF：﹣
+=1，
∵BD⊥AC，
∴k BD=﹣，直线BD：y=﹣（x﹣b），
则，解得：，
则△ABM的面积S=×2b×=1，
由a=，解得：b=1，
∴椭圆方程；
（2）由已知B关于AF的对称点D，BD⊥AF于M，
∴B，D关于点M对称，
由中点坐标公式可知：，
假设存在椭圆使得B关于直线AF的对称点D仍在椭圆上，将D点坐标代入椭圆方程：整理得：a4﹣2a2c2+2c4=0，
则（a2﹣c2）2+c4=0，
∴c=0，a=c，不合题意，
故不存在这样的椭圆．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线的斜率公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
21. 已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以
a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；
（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．
【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=，则q：；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴，∴；
∴实数x的取值范围为；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴，∴；
∴实数a的取值范围为．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．
22. （12分）已知函数y＝，设计一个输入x值后，输出y值的流程图．
参考答案：
略。