【数学】高二数学上学期期中试题理42

【关键字】数学
厦门六中2016—2017学年上学期高二期中考试
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟
第Ⅰ卷选择题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1．已知数列满足：，，则数列是（）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 摆动数列
D. 不确定
2.不等式(x＋5)(3－2x) ≤6的解集是 ( )
3．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
4．对于实数，下列结论中正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
5. 在等差数列中，（）
A. 22
B.18
C.20
D. 13
6．在△ABC中，若，则其面积等于（）
A．12 B．C．D．28
7. 在2015年年底，某家庭打算把10万元定期存入银行后，既不加进存款也不取钱，每年到期利息
连同本金自动转存，定期存款期限为10年。

如果不考虑利息税，且中国银行人民币定期存款的年利率为5﹪，则到期时的存款本息和是（）
A． B. C. D.
8.若关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集为（）
A.(-1，2)
B.(1，2)
C.
D.
9.函数的图象过一个定点P，且点P在直线mx＋ny－1＝0
(m＞0，n＞0)上，则的最小值是( )
A．12 B．13 C．24 D．25
10.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）
A.，，；
B.，，；
C.，，；
D.，，。

11.若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小
值，则的取值范围是（）
A．（，2）B．C．（，2）D．
12. 已知，且关于的不等式有解，则实数
的取值范围是（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为
14.若不等式的解集为,则实数的取值范围为
15. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷水的高度，某人在喷水柱正西方
向的点A测的水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B．在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是
16.数列是各项均为正整数的等差数列，公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若，则的取值集合为；
（2）若，则的所有可能取值的和为．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）在25
45,10,cos 5
ABC B AC C ∆∠=︒==中，,求 （1）求BC 边长 (2)若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度
18. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a 与10a 的等差中项是2-，且1614a a = （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22()n n
S a f n n
-=()n N *∈，求()f n 最小值及相应的n 的值.
19. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足 (2)cos cos 0.b c A a C --= （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，求ABC ∆周长的取值范围.
20. （本小题满分12分）
某企业生产A ，B 两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：已知生产每 吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅 有劳动力300个，煤360 t ，并且供电局只能供电200 kW ，试问该企业生产A ，B 两种产 品各多少吨，才能获得最大利润？
产品品种
劳动力(个)
煤(t) 电(kW) A 产品 3 9 4 B 产品
10
4
5
21. （本小题满分12分）对于数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中
*)(1N n a a a n n n ∈-=∆+
（Ⅰ）若数列{a n }的通项公式}{*),(2
13
252n n a N n n n a ∆∈-=
求的通项公式； （Ⅱ）若数列{a n }的首项是1，且满足n
n n a a 2=-∆，
（1）证明数列}2{
n
n
a 为等差数列； （2）求{a n }的前n 项和S n
22. （本小题满分12分）已知数列{}n a , 其前n 项和为n S ，若24a =，2(1)n n S a n =+. （Ⅰ）求1a 、3a ；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅲ）设2
222
22
1223
1
11
1
n n n T a a a a a a +=++++++，求证：18n T <．
厦门六中2016—2017学年上学期高二期中考试
数学 试 卷（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. A
2. C
3.B
4. D
5. D
6. C
7. A
8. C
9. D 10.B 11. C 12.B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.
5＋1
2
14. (4,0]- 15. 50 16. {}1,2,4,，m+12-1 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.解：（1）由
255
cos sin 55C C =
=得…………1分
2310
sin sin(18045)(cos sin )210A C C C =--=
+=…………3分
由正弦定理知10310sin 32sin 2AC BC A B =⋅==5分 （2）105sin 2sin 2AC AB C B =
⋅==，1
12BD AB == …………7分 由余弦定理知
222
2cos 1182132132CD BD BC BD BC B =+-⋅+-⋅⋅⋅
10分
18.解：（Ⅰ）∵2a 与10a 的等差中项是-2，∴62101
()22
a a a =
+=-，……… 2分 ∵1614a a ⋅=，∴17a =-， …………………..… 4分 ∴， 611
5
a a d -==
8
n a n =-
...............6分
（Ⅱ）∵17,8n a a n =-=-， ∴2115
22
n S n n =
-………………8分 ∴
222152(8)16
1716179n n S a n n n n n n n
----==+-≥=-， ……11分 当且仅当16
n n
=
即4n =时取等号，∴当4n =时，所求最小值为9-………12分
19、解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==
可得： (2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=， …………2分
展开整理得：2sin cos sin()B A A C =+， …………3分 又在ABC ∆中，A B C π++=
所以有：sin()sin A C B +=，即得：2sin cos sin B A B = ，…………4分 又sin 0B > ，故得：1cos 2A =，0A π<<得 3
A π
=。

…………6分
（2）法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：
222()316b c bc b c bc +-=+-= …………7分
2
(
)2
a b bc +≤， 4b c ==当且仅当时等号成立………8分 22221
16()3()3()()24b c b c bc b c b c +∴=+-≥+-=+
8b c ∴+≤………10分
又4b c +>………11分
48b c ∴<+≤ ∴ABC ∆的周长取值范围是(8,12]………12分
法二：由正弦定理4sin sin sin 3
b c B C π===…………6分
,b B c C ==…………6分
sin )43[sin()sin ]43
c a b c B C C C π
∴=++=++=+++周长
3cos sin )48sin()426
C C C π
++=++…………9分 又2(0,
)3C π∈，5(,)666C πππ+∈，1
sin()(,1]62
C π+∈，…………11分 ∴ABC ∆的周长取值范围是(8,12]…………12分
20. 解 设生产A ，B 两种产品各为x ，y 吨，利润为z 万元，则
⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋10y≤300，9x ＋4y≤360，4x ＋5y≤200，x≥0，y≥0.………3分
z ＝7x ＋12y. ………4分
作出可行域(如图)，………7分
作出在一组平行直线7x ＋12y ＝t(t 为参数)，此直线经过M(20,24)，………9分 故z 的最优解为(20,24)，z 的最大值为7×20＋12×24＝428(万元)．………11分 答：略 ………12分
21. 解：（I ）依题意n n n a a a -=∆+1 45]2
13
25[)]1(213)1(25
[22-=--+-
+=∆∴n n n n n a n （3分） （II ）（1）由n
n n n n n n n n n a a a a a a a 22,2211+==--=-∆++即得
21
2
21
1+=∴
++n n n n a a （5分）
即
1111
1
1
,1,222
22
n n n n a a a a ++-==∴
= }2
{
n
n a ∴是以21为首项，21为公差的等差数列 （7分）
（2）由（1）得
12222)1(21212
-⋅=⋅=∴=-+=n n n n
n n n a n n a （8分）
0111212222n n n s a a a n -∴=++
+=⋅+⋅+
+⋅ ①
12
212222n n S n ∴=⋅+⋅+
+⋅ ②
①-②得 2
1
121222
2212
n
n n
n n S n n ---=+++
+-⋅=-⋅-
12)1(122+-=+-⋅=∴n
n n n n n s
（12分）
22. 解: （Ⅰ）依题意得12222(21),a a a +=+整理得122,a a =214, 2.a a =∴= 又12332()4,a a a a ++=所以3123222, 6.a a a a =+= …………….. ..2分
（Ⅱ）
2(1)n n S a n =+112,2n n n S a n --∴≥=⋅ ………...........3分
1122()(1)n n n n n a S S n a na --∴=-=+-
11
n n a n
a n -∴
=
-. …………………......5分 12112112
2212
1
n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----∴=
=⨯=-- 12a =满足上式， 2.n a n ∴= …………………….........7分
（III ）
22222
11111111
()44(1)4(221)8(1)81n n a a n n n n n n n n +==<=-+++++++…......10分 222222
12231111111111
(1)82231
n n n T a a a a a a n n +∴=
++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-++++ 111(1).818
n =-<+.......……………………........12分
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