沪科版八年级下册数学第16章 二次根式 二次根式的定义

知1－练
1下列各式中，一定是二次根式的是（）
A. B. C. x D2.
x
x2 2
2下列式子不一定是二次根式的是(
x2 2
)
A. B. C. D.
a
b2 1
0
（a b）2
3下列式子： 7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
知1－讲
∴不一定是二次根式．
x2 2x 2
(7)∵x2＋2x＋2＝xx2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴是二次根式．
总结
知1－讲
二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式 的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个 特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
总结
知3－讲
常见的三种类型的非负数： 绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们的 和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
知3－练
1 (中考·攀枝花)若y＝＋x＋23，则xy3＝ x
2 ________.
3 2 (中考·泰州)实数a，b满足＋4a2＋4ab＋b2＝0，
4 则ba的值为( )
总结
知2－讲
(1)本例通过式子有意义隐含的条件，求出点的横、纵坐 标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象 限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程， 体现了数形结合思想． (2)当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表 示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都 是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解 不等式(组)确定字母取值范围．
1 (中考·巴中)要使式子有意m义，1则m的取值 m 1
范围是( ) A．m>－1 B．m≥－1 C．m>－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1
知2－练
2 (中考·滨州)如果式子有意2义x ，6那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( )
知2－练
知3－讲
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0，≥a 0）
知2－讲
例3若式子有意义a ， b则点1P(a，b)在( )
C
ab
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
导引：要确定点P(a，b)在第几象限，则需确定a，b的符号，
而a，b的符号可从式子有意义隐含的条件中求出， 即∴a∴ba＞点0bP, (a0，, b)在第ab＜＜三00.象, 限．
第十六章二次根式
16.1二次根式
第1课时二次根式的 定义
1 课堂讲解 二次根式的定义
二次根式有意义的条件
2 课时流程 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a≥0)
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次根式的定义
知1－导
1.口答：4的平方根是多少？4的算术平方根是多少？
2.填空：的9算术平方根是；=.
双重非负性：中a≥a0，≥0，即一a个非负 数的算术平方根是一个非负数.
例4若与互x为相2 y反数9 ，则xx+yy 3 的值为 ( ) D A．3B．9 C．12D．27
知3－讲
知3－讲
导引：根据互为相反数的两数的和等于0列式，再根据非负
数的性质列出关于x，y的二元一次方程组，求解得
到x，y的值，然后代入所求式子进行计算即可得解．
知识点 2 二次根式有意义的条件
知2－讲
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数； 反之也成立，即：有意义a ⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数； 反之也成立，即：无意a义⇔a＜0.
知2－讲
例2当x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
(1) x 3
(2) x2
知1－讲
例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2) 3；64(3) ；(4) x＋2 1(1a≥0); -5a
a
(5) ；(6) ；(71) ；(2 2x 2
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具
备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1)要使有x意义3 ，必须x+3≥0.解这个不等
式，得x≥-3.
即当x≥-3时，在实数范x围内3 有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2≥0，
所以当x为一切实数时，在实数范x2围内都有意
义
（来自《教材》）
总结
知2－讲
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步， 明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满 足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必 须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数幂，则 必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则需满足分 母不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件， 建立不等式或不等式组．第三步，求出不等式或不等式 组的解集，即为字母的取值范围．
解：(1)∵的3 6根4 指数是3，∴不是3二64次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴是二次x根2 1式． (3)当－5a≥0，即a≤0时，是二次根-5式a ；
当a＞0时，－5a＜0，则不是二次-根5a式．
∴不一定是-二5a次根式． (4) ＋1(aa≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次根式．
(5)当x＝－3时，（无x 1意3）义2 ，∴也无意义（；x 13）2
当x≠－3时，＞0（，x∴13是）2 二次根式．（x
1
3）2
1
∴不一（定x 是3）二2 次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0，是（ -二a-次4）根2 式；
（ - a-4）2
当a≠4时（ - ，a-－4）(2a－4)2＜0，不是二次根式．
∵与互x 为2相y 反9数， x y 3
∴＋＝x 0.2 y 9 x y 3
又∵≥0x，≥20y， 9
x y3
∴即 x 2 y 9 0,
②－ x①，y得 3y＝ 102, .
x 2 y 9 0①,
x
y
3
0②.
把y＝12代入②，得x－12－3＝0，
解得x＝15，∴x＋y＝15＋12＝27.
5 A．2B. C．－21D．
1
2
2
1．形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“” 称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被 开方数是非负数．
1.必做:完成教材P6习题6.1T1-T2 2.补充:
32
归纳
、、9 等都32是二次3 根式.
知1－导
知1－讲
定义：形如 (aa≥0)的式子叫做二次根式；其中“” 称为二次根号，a称为被开方数(式)． 要点精析： (1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须 含有二次根号“”；“”的根指数为2，即， 2 “2”一般省略不写． (2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的 式子，但前提是a必须大于或等于0.