北师大版九年级数学上4.4探索三角形相似的条件(2)(共23张PPT)
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你能说明以下几个是 结否 论成立吗 ? (1)AD2 BD•DC (2)AB2 BD•BC (3)AC2 CD•BC
(第 1 题)
探索三角形系相似的条件
观看演示:
如果 ΔABC 与 ΔABC 有两边成对应比例，且有这两边的夹角对应相等，
那么你能发现这两个三角形相似吗？
演示
ΔAB与 CABC中， AA且AB ACK
拓展
A
两边对应成比例且其中一边的对角 对应相等的两个三角形是否相似呢？
D
A'
B
C B'
C'
：△A’B’C’ ∽△ABC 在△ABC中，以B为圆心，
BA长为半径画弧，交AC于D，
连结BD，那么BD＝BA.
☞
再见！
由于水平 有限，有许多 缺乏之处，希 望各位老师多 给珍贵意见！
问题:两个等边三角形一定相似吗？
A
A’
c
b
c’ b’
Ba
C B’ a’ C’
△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
是否有 △ABC∽△A’B’C’
A
A’
c
b
Ba
C
c b1 B’ 1 a1 C’
解:∵△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
a b c 且 a ' b ' c '
a b＝c a' b' c'
△ A∽ BA C B △ C ' ' '
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条 件判断它们是否相似.
(1)∠B＝∠B’＝75°， ∠C＝50°， ∠A’＝55°
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
(3) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
你来做做看吧！
判定相似 看已知条件
选方法
找出判定方法 中所需的条件
例4
如图,BD、CE为ABC的高， 试说明△ ADE与△ ABC是否相似？
A
E D
C B
小结
两个三角形相似的判定方法： (1)两角对应相等的两个三角形相似.
(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.
请说明你的理由.
A D
B C
探 索2: 三边对应成
A
比例
A’
B
C B’
C’
AB' 'BC ' 'AC' ' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
A
三边对应成 比例
A’
B
C
AB' 'BC ' 'AC' ' AB BC AC
结论:
B’
C’
△ABC∽△A’B’C’
例3
在△ABC和△A′B′C′中，：AB＝ 6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝ 18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 试判定△ABC与△ A′B′C′是否相似， 并说明理由．
∴ △A’B’C’ ∽△ABC
例1 判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解 ∵∠AEB＝∠FEC〔对应角相等〕
又∵ ∴
＝AE ＝15.45
FE
36
BE ＝ 4＝5 1.5
CE
30
AE ＝ BE
FE
CE
∴ △AEB∽△FEC
图 18.3.7
2
如图,D在△ ABC的AB边上,AD=1,BD=2,
AC= 3 ,问△ ACD与△ ABC相似吗?
AB AC
三角形相似判定3： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
议一议
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
探 索1
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似吗？
A 4 cm
∠B ' ＝∠B
A'
2 cm
B 6 cm
C
B' 3 cm C'
A'B'BC ' '1 AB BC 2
两边对应成比例且夹角相等
? △A ' B ' C ' ∽△ABC
A'B' B'C' AB BC ∠B’＝∠B
△A ' B ' C ' ∽△ABC
结论:
∵ A'B' B'C' ∠B’＝∠B AB BC
4.4探索三角形相似的条件(二)
回忆
上节课我们学习了怎样的判定三角形相似的方法？ 三角形相似判定1：两角对应相等的两个三角形相似.
用数学符号表示： A A'
B
C B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
复习
1.什么是相似三角形?相似三角形有什么特征? 2.如何判定两三角形是否相似? 3.如图,CD是直角三角形ABC斜边AB上的高, 图中有相似三角形吗?
(第 1 题)
探索三角形系相似的条件
观看演示:
如果 ΔABC 与 ΔABC 有两边成对应比例，且有这两边的夹角对应相等，
那么你能发现这两个三角形相似吗？
演示
ΔAB与 CABC中， AA且AB ACK
拓展
A
两边对应成比例且其中一边的对角 对应相等的两个三角形是否相似呢？
D
A'
B
C B'
C'
：△A’B’C’ ∽△ABC 在△ABC中，以B为圆心，
BA长为半径画弧，交AC于D，
连结BD，那么BD＝BA.
☞
再见！
由于水平 有限，有许多 缺乏之处，希 望各位老师多 给珍贵意见！
问题:两个等边三角形一定相似吗？
A
A’
c
b
c’ b’
Ba
C B’ a’ C’
△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
是否有 △ABC∽△A’B’C’
A
A’
c
b
Ba
C
c b1 B’ 1 a1 C’
解:∵△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
a b c 且 a ' b ' c '
a b＝c a' b' c'
△ A∽ BA C B △ C ' ' '
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条 件判断它们是否相似.
(1)∠B＝∠B’＝75°， ∠C＝50°， ∠A’＝55°
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
(3) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
你来做做看吧！
判定相似 看已知条件
选方法
找出判定方法 中所需的条件
例4
如图,BD、CE为ABC的高， 试说明△ ADE与△ ABC是否相似？
A
E D
C B
小结
两个三角形相似的判定方法： (1)两角对应相等的两个三角形相似.
(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.
请说明你的理由.
A D
B C
探 索2: 三边对应成
A
比例
A’
B
C B’
C’
AB' 'BC ' 'AC' ' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
A
三边对应成 比例
A’
B
C
AB' 'BC ' 'AC' ' AB BC AC
结论:
B’
C’
△ABC∽△A’B’C’
例3
在△ABC和△A′B′C′中，：AB＝ 6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝ 18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 试判定△ABC与△ A′B′C′是否相似， 并说明理由．
∴ △A’B’C’ ∽△ABC
例1 判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解 ∵∠AEB＝∠FEC〔对应角相等〕
又∵ ∴
＝AE ＝15.45
FE
36
BE ＝ 4＝5 1.5
CE
30
AE ＝ BE
FE
CE
∴ △AEB∽△FEC
图 18.3.7
2
如图,D在△ ABC的AB边上,AD=1,BD=2,
AC= 3 ,问△ ACD与△ ABC相似吗?
AB AC
三角形相似判定3： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
议一议
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
探 索1
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似吗？
A 4 cm
∠B ' ＝∠B
A'
2 cm
B 6 cm
C
B' 3 cm C'
A'B'BC ' '1 AB BC 2
两边对应成比例且夹角相等
? △A ' B ' C ' ∽△ABC
A'B' B'C' AB BC ∠B’＝∠B
△A ' B ' C ' ∽△ABC
结论:
∵ A'B' B'C' ∠B’＝∠B AB BC
4.4探索三角形相似的条件(二)
回忆
上节课我们学习了怎样的判定三角形相似的方法？ 三角形相似判定1：两角对应相等的两个三角形相似.
用数学符号表示： A A'
B
C B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
复习
1.什么是相似三角形?相似三角形有什么特征? 2.如何判定两三角形是否相似? 3.如图,CD是直角三角形ABC斜边AB上的高, 图中有相似三角形吗?