专题18 圆锥曲线综合-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(解析版)

【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已
知椭圆的短轴长为4
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．
【答案】（1）22154x y +=；（2
或． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c
，依题意，24,
c b a ==
222a b c =+
，可得a =2,b =1c =．
所以，椭圆的方程为22
154
x y +=．
（2）由题意，设()()
()0,,0P P p M P x y x M x ≠，
．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，
与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()22
45200k x kx ++=，
可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2
2
81045P k y k
-=+，
专题18 圆锥曲线综合
进而直线OP 的斜率2
4510P p y k x k
-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2
M x k
=-
． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2
k -
． 由OP MN ⊥，得
2
451102k k k
-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭
，化简得2245k =
，从而k =±
所以，直线PB
的斜率为
5
或5
-． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．
【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】设椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭
A 的坐标为(,0)b
，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；
（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q
．若
4
AQ AOQ PQ
=
∠(O 为原点)，求k 的值． 【答案】（1）22
1
94
x y +=；（2）111228或． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有225
9
c a =，
又由a 2
=b 2
+c 2
，可得2a =3b ．
由已知可得，FB a =
，AB =，
由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，
所以椭圆的方程为22
194
x y +=．
（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．
由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-． 又因为2sin y AQ OAB =
∠，而∠OAB =π
4
，故2AQ =．
由
4
AQ AOQ PQ
=
∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组2219
4y kx x y =⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，
，消去x
，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩
，，消去x ，可得221k
y k =+．
由5y 1=9y 2，可得5（k +1）
=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或11
28
k =． 所以k 的值为
12或11
28
． 【母题原题3】【2017年高考天津卷理数】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离
心率为
12．已知A 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12
． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △
AP 的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为2
2
413
y x +=，抛物线的方程为24y x =；（2
）330x -=
或
330x -=．
【解析】（1）设F 的坐标为(,0)c -． 依题意，
12c a =，2
p
a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234
b a
c =-=．
所以，椭圆的方程为2
2
413
y x +=，抛物线的方程为24y x =．
（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠， 与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --
，故2(1,)Q m
-．
将1x my =+与2
2
413
y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，
解得0y =或2
634
m
y m -=
+． 由点B 异于点A ，可得点22
2346(,)3434
m m
B m m -+-++． 由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为222
62342
()(1)(1)()03434m m x y m m m m
--+-+-+-=++， 令0y =，解得22
2332m x m -=+，故2
223(,0)32
m D m -+，所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．
又因为APD △22
162232||m m m ⨯⨯=+，
整理得23|20m m -+=，解得||3m =
，所以3
m =±．
所以，直线AP 的方程为330x +-=或330x --=．
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线的方程，第二步联立方程组求出点的坐标，写出直线的方程，利用面积求直线方程，利用代数的方法解决几何问题，即坐标化、方程化、代数化，这是解题的关键．
（1）由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为1
2
，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；
（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，解出,P Q 两点的坐标，把直线AP 的方程和椭圆方程联立
解出B 点坐标，写出BQ 所在直线的方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △解方程求出m ，可得直线AP 的方程．
【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的
定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．
【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握． 【知识总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线
C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （或x ）得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，即联立两个方程得
00Ax By C F
x y ++=⎧⎨
=⎩，（，），消去y （或x ）得ax 2+bx+c=0（或ay 2+by+c=0）．以ax 2
+bx+c=0为例进行讨论． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l 与圆锥曲线C 相交；
Δ=0⇔直线l 与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线l 与圆锥曲线C 相离．
（2）当a=0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．
注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件． 结论：
（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
2．圆锥曲线中弦的相关问题
（1）弦长的求解
①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
②当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两个不同的点，
则弦长
|x 1–x 2
|y 1–y 2|（k ≠0）； ③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． （2）弦中点问题
圆锥曲线以P （x 0，y 0）（y 0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：
其中k=
12
12
y y x x --（x 1≠x 2），（x 1，y 1），（x 2，y 2）为弦的端点坐标．
【方法总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略： 一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．
这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．
（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．
（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解． 2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题 （1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
②面积问题常采用S三角形=1
2
×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，
注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．
③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与
方程思想的应用．
（2）弦中点问题的解决方法
①用“点差法”求解弦中点问题的步骤
②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提
条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
点差法的用途：
（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；
（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；
（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．
3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题
（1）最值问题的求解方法
①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．
③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．
（2）求参数取值范围的常用方法
①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．
③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．
④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题 （1）求解定点问题常用的方法
①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标． ③求证直线过定点（x 0，y 0），常利用直线的点斜式方程y –y 0=k （x –x 0）来证明． （2）求解定值问题常用的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．有关存在性问题的求解策略
（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在． （2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．
注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
1．【天津市第一中学2019届高三下学期第五次月考数学】已知椭圆()22
122:10x y C a b a b +=>>的左、右
焦点为1F 、2F ，12F F =若圆Q 方程(
()2
2
11x y -
+-=，且圆心Q 满足122QF QF a +=．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）过点()0,1P 的直线1:1l y kx =+交椭圆1C 于A 、B 两点，过P 与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两
点，M 为线段CD 中点，若MAB △
的面积为
5
，求k 的值． 【答案】（1）22
142
x y +=（2
）k =【解析】（1
）由题意可知：()
1F
，)2
F
，)
Q
12242a QF QF a ∴=+=⇒=
，c =
2
2
2
2b a c ∴=-=，∴椭圆1C 的方程为22
142x y
+
= （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22
1
24y kx x y =+⎧⎨+=⎩
消去y ，得(
)2
2
12420k
x
kx ++-=，()
222168213280k k k ∆=++=+>，
122412k k x x +=-
+，122
2
12k
x x =-+，
122
12AB x k ∴=-=+，
M 为线段CD 中点，MQ CD ∴⊥，
又
12l l ⊥，//MQ AB ，MAB QAB S S ∴=△△，
又点Q 到1l
的距离d =
，
125
MAB
S
AB d ∴=⋅==
△
()()422222847180228902k k k k k k ∴--=⇒-+=⇒=⇒=
．
此时2:12
l y x =±
+，圆心Q 到2l
的距离1h ==
<
，成立． 综上，k =
【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜
率、三角形的面积等问题．
2．【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练（一模）数学】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离
心率为
2
，其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,
2M m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，满足0m ≠
，且m ≠ （1）求椭圆C 的方程；
（2）若BME △面积是AMF △面积的5倍，求m 的值．
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）1m =±．
【解析】（1
）由题意可得：222
222c e a AB b a b c ⎧==⎪⎪⎪
==⎨⎪=+⎪
⎪⎩
，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
椭圆的方程为2
214
x y +=．
（2）()()10,1,0,1,,2A B M m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为112k m =-
，直线BM 的斜率为232k m
=， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为3
12y x m =-，由2
21,411,
2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
得
()
2
2140m
x mx +-=，
∴240,1m
x x m ==+，∴22
241,11m m E m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
． 由22
1,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得()
22
9120m x mx +-=， ∴2120,9m
x x m ==+，∴222129,99m m F m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
．
∵11
sin sin 22
AMF BME S MA MF AMF S MB ME BME =
∠=∠△△，，AMF BME ∠=∠， 5AMF BME S S =△△，∴5MA MF MB ME =，
∴5MA
MB
ME MF
=，∴22
541219m m
m m
m m m m =
--++， ∵0m ≠
，且m ≠21m =，∴1m =±为所求． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
3．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一）数学】已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离
（1）求椭圆C 的方程； （2）设与圆O ：2
2
3
4
x y +=相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．
【答案】（1）2213x y +=；（2
【解析】（1
）由题设：
c bc a == 解得22
3,1a b ==，
∴椭圆C 的方程为2
213
x y +=．
（2）设()()1122,x ,A x y B y 、， ①当AB ⊥x
轴时，AB =，
②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，
=
，得()2
2314
m k =+， 把y kx m =+代入椭圆方程消去y ， 整理得(
)
2
22
316330k x kmx m +++-=，
有()
2121222
316,3131m km x x x x k k --+==++， (
)()()
()
(
)2222
2
2
2
1
2
222121361k
13131m k m AB x x k k k ⎡⎤-⎢⎥
=+-=+-
⎢⎥++⎣
⎦
()(
)()
()()
()
222
2
22
2
2
2
121313191
31
31
k k m k
k k
k
++-++=
=++
()2422
21212
330196196
k k k k k k =+=+≠++++
12
34236
≤+
=⨯+，
当且仅当2
219,k k =
，即3
k =±时等号成立． 当0k =
时，AB ，
综上所述max 2AB =，从而△AOB
【名师点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，短轴
长为
（1）求C 的方程；
（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △
面积为
3
，求k 的值． 【答案】（1）22142x y +=；（2
）±
【解析】（1
）由题意，知2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪
⎪⎩
，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪
=⎩
∴椭圆C 的方程为22
142
x y +=． （2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，
设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -．
由()
22214
2y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=．
设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，
()()
422644218416k k k ∆∴=-+-=， 2
122
821k x x k +=-+，2
122
8421
k x x k -⋅=+． ()2
0122
14221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭
， 0012OP y k x k ∴=
=-，∴直线EM 的斜率为1
2EM OP
k k k =-=， ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，
∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
∴点M 到直线:20l kx y k -+=
的距离为
d =
=
12AB x ∴=-==
12AP AB ==，
241132221
APM
k
S AP d k ∴=⋅==+
△． 3AOM
S =△
，243213
k k ∴=
+，解得k =． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
5．【天津市河北区2019届高三一模数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，
且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程．
【答案】（1）22182
x y +=；（2）y =0或y =23x ．
【解析】（1
）由题222
2241
12a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪
⎪
==⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得a
=b
，c
，
∴椭圆C 的方程为22182
x y +=． （2）由题，当1l 的斜率k =0时，PQ
直线2:0l x y +=-与y 轴的交点（0
，满足题意； 当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =
与椭圆联立2218
2y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩得()2214k x +=8，2
2
814x k =+， 设P （00x y ，），则Q （00x y --，
），
2220
02288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++ 又PQ 的垂直平分线方程为1
y x k
=-
，
由10
y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-
+=⎩
，解得1x k y ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩
，
M ⎛∴ ⎝⎭
，
MO ∴=，
∵MPQ △
为等边三角形，,MO ∴=
=
解得k =0（舍去），k =23
，
∴直线1l 的方程为y =2
3
x ，
综上可知，直线1l 的方程为y =0或y =
2
3
x ． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查方程求法，弦长公式，等边三角形的应用，准确转化与化归，熟练计算是关键，是中档题．
6．【天津市红桥区2019届高三一模数学】设1F 、2F 分别是椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，
122F F =，直线1过1F 且垂直于x 轴，交椭圆C 于A 、B 两点，连接A 、B 、2F ，所组成的三角形为等
边三角形．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点2F 的直线m 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试问：椭圆C 上是否存在点P ，使O P O M O N =+成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）椭圆22:132x y
C +=；（2）3(,22
P ±
【解析】（1）由122F F =可得1c =， 等边三角形2
ABF △中：1
AF =2AF =，
则1AF
+22AF a =，得a =
又因为22
2b a c =-，所以b =
则椭圆22
:132
x y C +=．
（2）设11(,)M x y 、22(,)N x y ，
则由题意知的m 斜率为一定不为0，故不妨设:(1)m y k x =-，
代入椭圆22
:132
x y C +=的方程中，
整理得2222
(32)6360k x k x k +-+-=，
显然>0∆．
由韦达定理有：2
122632k x x k +=+，21223632k x x k -=+①
且2
2
121224(1)(1)32
k y y k x x k -=--=+②
假设存在点P ，使OP OM ON =+成立，则其充要条件为： 点1212(,)P x x y y ++，
点P 在椭圆上，即22
1212()()132
x x y y +++=．
整理得2222
112212122323466x y x y x x y y +++++=， 又A B 、在椭圆上，即2211236x y +=，22
22236x y +=，
故由①②代入：12124660x x y y ++=，解得k =3
(,22
P ±． 【名师点睛】解决解析几何中探索性问题的方法：
存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，
用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．
7．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右
焦点为(2,0)F
，且过点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为M ，另一个交点为G ，过点F 且斜率为–1
的直线与l 交于点N ，
10
3
FGM MNF S S =△△，求k 的值． 【答案】（1）22
11612
x y +=；（2）32k =或926k =
【解析】（1）由题意得：22224
1231a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：22
16,12a b ==（负值舍去），
所以椭圆的标准方程为：22
11612
x y +=；
（2）设点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，由题意可得120y y >>，
由
103FGM MNF S S =△△，可得53FOM MNF S S =△△，52FON FOM S S =△△，即212
5
y y =，
可得2211612
y kx
x y =⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消去x
，可得1y =
易得NF 的解析式为：20x y +-=， 由20y kx x y =⎧⎨
+-=⎩
，消去x ，可得221k
y k =+，
5221k
k =⋅+，整理得：25296270k k -+=，
解得3
2k =或926
k =．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的关系，综合性大，由已知得出212
5
y y =是解题的关键．
8．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知椭圆22
221x y E a b
=:+（0a b >>），12,F F 为其左右
焦点，12,B B
为其上下顶点，已知椭圆过点)
，且四边形1122F B F B 的面积为2．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过定点()2,0M -的直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，若MP MQ λ=，当11,
32λ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，求OPQ △面积S 的取值范围．
【答案】（1）22
12x y +=；（2
）283⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】（1
）∵椭圆过点
)
，∴a =
又∵四边形1122F B F B 的面积为2，∴22bc =， 结合222a b c =+
，解得a =
1b =，
∴椭圆E 的方程为2
212
x y +=．
（2）依题意，可设:2l x ty =-，联立22
2 12
x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22
2420t y ty +-+=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，由0∆>，解得22t >， 且12242t y y t +=
+，122
2
2
y y t =+，且易知()20M ，-，由 M P λMQ =可得12y y λ=， ∴()22222
412 22t y t y t λλ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，则221822t λλt ++=+，
∵11,
32λ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
，∴9162,231λλ⎛⎫
++∈ ⎪⎝⎭，
∴2291823
6
2t t <
+<，∴24187 t <<，满足0∆>， ∴
12122
1
2
2
OMQ OMP
S S S OM y y y y t =-=-=-==⋅+△△，
设m =
m ∈⎝，
∴2
2t m
=+
，∴
244S m m m
=
=
++，
∵4
m m +
在m ∈⎝递减，故S 关于m 递增，
∴2,83S ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
．
【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．本题在得到面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键．
9．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】设椭圆
()22122:10x y C a b a b
+=>>的一个顶点与抛物线2
2:4C x y =的焦点重合，
1F ，2F 分别是椭圆1C 的左、右焦点，离心率3
6
=
e ，过椭圆1C 右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆1C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得1OA OB ⋅=-，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由； （3）设点(),0M t 是一个动点，若直线l 的斜率存在，且N 为AB 中点，AB MN ⊥，求实数t 的取值范围．
【答案】（1）2213
x y +=；（2）答案见解析；（
3）03t <<
．
【解析】（1）抛物线2
2:4C x y =的焦点坐标为()0,1，故1b =，
结合2231c e a a c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩
可得a c ⎧=⎪⎨
=⎪⎩2213x y +=． （2）很明显直线的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，
假设存在满足题意的直线方程：(y k x =，
与椭圆方程2213
x y +=联立可得：(
)()2222
31630k x x k +-+-=，
则2212122
2
63
,3131
k x x x x k k -+==++，
则(
2
12121212
OA OB x x y y x x k x x
⋅=+=+(
)
()222121212k x x x x k =+++，
结合题意和韦达定理有：(
)222
22
2263121
3131
k k k k k -+⨯⨯+=-++，解得12k =±，
即存在满足题意的直线方程：(1
2
y x =±． （3）设()()()1122,,,,,N N A
x y B x y N x y ，设直线AB
的方程为(()0y k x k =≠，
由于22
22
12121,133
x x y y +=+=，
两式作差整理变形可得：()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+-，
即
3N
N
y k x =-① 又
1
N N y x t k
=--②
(N N y k x =③
①×②可得：3
2
N x t =
④
④代入③可得：32N y k t ⎛=
⎝⑤
④⑤代入①整理可得：22
2
1133t k k ==
++， 0k ≠，∴
210k >，据此可得：211033
k <<+，
从而03
t <<
． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
10．【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）2019届高三上学期】设椭圆22
2210x y a b a b
+=>>（）
的右顶点为A ，上顶点为B
．已知椭圆的焦距为AB 的斜率为23
-． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线0l y kx k =<：（）与椭圆交于M N ，两点，且点M 在第二象限．l 与AB 延长线交于点P ，
若BNP △的面积是BMN △面积的3倍，求k 的值．
【答案】（1）22
194
x y +=；（2）89-．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c
，由已知得23b
a ⎧-=-⎪=，所以32a
b ==，， 所以椭圆的方程为22
194
x y +=．
（2）设点()()1100M x y P x y ，，，，由题意，010x x <<且()11N x y --，
， 由BNP △的面积是BMN △面积的3倍，可得3PN MN =，
所以3PN MN =，从而()()101011322x x y y x y ----=--，
，， 所以1016x x x --=-，即015x x =．
易知直线AB 的方程为236x y +=，由236x y y kx +=⎧⎨=⎩
，消去y ，可得06
32x k =+．
由方程组22
194x y y kx
⎧+==⎪⎨⎪⎩
，消去y
，可得1x = 由015x x =
，可得632k =+， 整理得2182580k k ++=，解得89k =-
或1
2
k =-． 当89k =-时，090x =-<，符合题意；当1
2
k =-时，0120x =>，不符合题意，舍去．
综上，k 的值为8
9
-．
【名师点睛】本小题主要考查利用解方程组的方法求椭圆的标准方程，考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线和椭圆交点坐标的求法，考查三角形面积的利用，考查化归与转化的数学思想方法．属于中档题．
11．【天津市和平区耀华中学2019届高三第一次校模拟考试数学】已知A 是圆22
4x y +=上的一个动点，
过点A 作两条直线12l l ，，它们与椭圆2
213
x
y +=都只有一个公共点，且分别交圆于点M N ，．
（1）若()20A -，
，求直线12l l ，的方程； （2）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②求AMN △面积的取值范围．
【答案】（1）22y x y x =--=+，；（2
）①证明见解析；②⎡⎤⎣⎦．
【解析】（1）设直线的方程为()2y k x =+，
代入椭圆2
213
x y +=，消去y ，
可得(
)2
2
2213121230k
x
k x k +++-=，
由0∆=，可得210k -=，
设12l l ，的斜率分别为121211k k k k ∴=-=，，
，， ∴直线12l l ，的方程分别为22y x y x =--=+，；
（2）①证明：当直线12l l ，的斜率有一条不存在时，不妨设1l 无斜率
1l 与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x =
当1l 的方程为x =
1l 与圆的交点坐标为
)
1±，
2l ∴的方程为1y =（或121y l l =-⊥，成立，
同理可证，当1l 的方程为x =
当直线12l l ，的斜率都存在时，设点()A m n ，且224m n +=， 设方程为()y k x m n =-+，代入椭圆方程， 可得(
)2
2
1363230k
x
k n km x n km ++-+--=（）（），
由0∆=化简整理得(
)2
2
23210m
k
mnk n -++-=，
()
2222243230m n m k mnk m +=∴-++-=，， 设12l l ，的斜率分别为12k k ，，12121
k k l l ∴=-∴⊥，成立， 综上，对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②记原点到直线12l l ，的距离分别为12d d ，， 因为MA NA ⊥，所以MN 是圆的直径，
所以222
1212224MA d NA d d d OA ==+==，，，
AMN △面积为121
22
S MA NA d d =⨯=，
()()
2
222
222121114444216S d d d d d ==-=--+，
[][]
221131216d S ∈∴∈，，，，4S ⎡⎤∴∈⎣⎦．
【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及求范围问题，综合性强，难度大．解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，
非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解．
12．【天津市河北区2019届高三二模数学】已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点()2,1P ，
且短轴长为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与椭圆C 交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）22
182
x y +=；（2）直线AB 与直线OP 平行，说明见解析．
【解析】（1
）由题意的：2241
1
2a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，解得a =
b = ∴椭圆C 的方程为22182
x y +=． （2）直线AB 与直线OP 平行，证明如下： 由题意，直线PA 的斜率存在且不为零，
,PA PA '关于:2l x =对称，则直线PA 与PA '斜率互为相反数，
设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，
由()22
182
21x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
，消去y 得()()2222
41168161640k x k k x k k +--+--=， 21216164241k k x k --∴=+，212
882
41
k k x k --∴=+， 同理222
882
41
k k x k +-=+，1221641k x x k ∴-=-+，
()1121y k x =-+，()2221y k x =--+， ()121228441k y y k x x k k ∴-=+-=-
+，1212
12AB y y k x x -∴==-， 又1
2
OP k =，AB OP k k ∴=，
故直线AB 与直线OP 平行．
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程求解、椭圆中的定值问题．本题解题的关键是能够通过直线与方程联立，借助韦达定理利用变量表示出点的坐标，从而可解得斜率为定值，进而证得结论．
13．【天津市红桥区2019届高三二模数学】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
A 为
椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，且FAB △
的面积是1+． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），则直线1
PQ 与x 轴交于点H ，求PQH △面积的取值范围． 【答案】（1）22
14x y +=；（2
）0,2PQH S ⎛∈ ⎝⎭
△． 【解析】（1
）由c e a =
=
得c =，
则(
)111122FAB S a c b ab ⎛=
+⋅=⨯+=+ ⎝⎭
△2ab ⇒=， 则2
2
2
2
2434
a b c a a =+=
+，解得：2a =，则1b =
，c =， ∴椭圆C 的标准方程为：2
214
x y +=． （2）由1P 与Q 不重合可知：0m ≠，
联立22
114
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：()22
4230m y my ++-=，0m ≠，
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()111,P x y -， 则12224m y y m +=-
+，122
3
4
y y m =-+， 直线1
PQ 的方程为：()21
1121
y y y y x x x x ++=--，
令0y =，解得212112112112
x x x y x y
x x y y y y y -+=+
⋅=++，
又111x my =+，221x my =+，
则
()()()211212121212
12
12
11221
my y my y my y y y my y x y y y y y y +++++===++++
22
66411314224
m
m m m m m --+=
+=+=+=--+． 即直线1
PQ 与x 轴交点为：()4,0H ， ()
122
13
4122
4
PQH
S y y m ∴=⨯-⨯-==+△，0m ≠，
令t >223m t =-，
266
11PQH t S t t t
∴=
=
++△
，
当t >1t t
+单调递增，则13
t t
+>
，
61t t
∴
<
=
+，又601t t
>+
， 0,2PQH
S ⎛∴∈ ⎝⎭
△． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能够通过已知条件确定出H 点坐标，从而将所求面积转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所求范围，本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难题．
14．【天津南开中学第五次月考数学】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>
经过点1⎛- ⎝
⎭，且椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与直线AB 交于点D ，与椭圆交于E F ，两点（点E 在第一象限），满足ED DF λ=． （1）求椭圆的方程； （2）若四边形AEBF 的面积为
14
5
，求实数λ的值． 【答案】（1）2
214
x y +=；（2）16．
【解析】（1
）由题意可得c e a ==
，又由点1⎛- ⎝⎭
在椭圆上，即221314a b +=， 解得2
2
41a b ==，，所求椭圆方程为2
214
x y +=；
（2）由()()2,00,1A B ，，直线AB 的方程分别为22x y +=，
设()00,D x kx ，联立方程组22y kx x y =⎧⎨+=⎩，解得0212x k =+，所以2
2,1212k D k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，
又由22
14
y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22
144k x +=． 设()()1122E x y F x y ，，，，其中12x x >
，故1212x x y y =-==-=
．
由题设，1BO =，2AO =．
所以四边形AEBF 的面积为()()11
22
BEF AEF E F E F S S S OA y y OB x x =+=
-+-△△
1121214
225
E E k x y x y +=+=+=
=
=
， 所以2242560k k -+=，23k ∴=
或38
， 23k =
时，646464555577E F D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，
，，，
1283535ED ，⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，7248=3535DF ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，，所以1=6λ；
38k =时，838383555577E F D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，
，，， 1663535ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，9636=3535DF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，，所以1=6λ．
综上，1
=
6
λ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
15．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】已知椭圆C 的方程为
22
22
1(0)x y a b a b +=>>，它的一个顶点恰好是抛物线2x =-的焦点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过动点(0,)(0)M m m b <<的直线交x 轴的负半轴于点N ，交C 于点,A B （A 在第一象限），且M 是线段AN 的中点，过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点D ，延长线DM 交C 于点G ． ①设直线AM ，DM 的斜率分别为k ，'k ，证明：'30k k +=； ②求直线BG 的斜率的最小值．
【答案】（1）22163x y +=；（2
【解析】（1）
抛物线2x =-的焦点是(0,，b ∴=
2
2
c a =
且222a b c =+，a ∴=c = ∴椭圆C 的方程22
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x y +=． （2）①设()00,A x y ，那么()00,D x y -，
M 是线段AN 的中点()0,2A x m ∴，()0,2D x m -，。