弧度制ppt课件

设弧AB的长为: l
若 l =r,则∠AOB=
l
r
=1弧度
B l=r
若 l=2r,则∠AOB=
l
r
=2 rad
Or A
若 l=3r,则∠AOB=
l
r
= 3 rad
3
思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方
向旋转的角，且它所对的弧的长为3r,则 ∠AOB的弧度数的绝对值是？弧度数是？
︱∠AOB ︳=
l r
1弧度又等于多少度呢？
结论：1°= ——π 弧度≈ 0．01745弧度 180
1弧度 =（—1—8π0）°≈ 57．30°= 57°18′
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例题1.
（1） 把 67°30′化成弧度。
解：
6730'
67
12ຫໍສະໝຸດ 6730' rad 67 1 3 rad
180
28
（2） 把 —3 π 弧度化成度。
通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。
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例3：请用弧度制表示下列角度所在区间。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
0,
2
直角： {θ|θ=90°}
2
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
,
5
弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比 值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆 的半径之间存在一定的联系么？若存在，请 阐述是什么关系？若不存在，说明理由。
结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与半
径的比值是一定的，与所在圆的半径大小无关。
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2. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
=3
l
B
即∠AOB=－ r = －3 rad
OrA
-3弧度
l=3r
4
1.定义：
我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数
为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度
数的绝对值：
︱α︱=
l r
其中： l—— 以角α为圆心角所对的弧长 r —— α角所在圆的半径
这种
用“弧度” 做单位来度量角的制度，叫做 弧度制。
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 所对的圆心角
360
的大小；
7
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
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二、弧度与角度的换算
思考： 1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？
2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？
若l=2 π r,则∠AOB=
l r
= 2πrad
若l=π r, 则∠AOB=
l r
= πrad
l=2 π r
360°= 2π 弧度
（B）
Or
180°= π 弧度
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由公式 180°= π 弧度 你可推算出：
1°等于多少弧度么？ 180°= 1°× 180
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
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证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是 R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
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小 结 1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个
仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准.
2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角
正实数
零角 负角
零 负实数
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弧度制
角度制
度量单位
弧度(10进制)
度(60进制,1=60,1′=60)
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例4. 扇形AOB中，⌒ 所对的圆心角是60º，
AB
半径是50米，求 ⌒ 的长l（精确到0.1
AB
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r= 3×50≈52.5 .
⌒
答：AB 的长约为52.5米.
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例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
1.1.2 弧度制
1
问：我们是用什么单位来度量 角的？1º的角是怎样规定的？
(1)用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。 单位为“度”（即“ º ”） 不能省略
(2) 规定周角的1/360叫做1度的角。
2
一、弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 “弧度”常用“rad”表示。
最小的角是－25º. 合 5
36
20
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
5
解：
3 rad
5
3 180 5
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练习: (1)把112º30′化成弧度（用π表示）。
(2)把85 化为角度。 11
例2.请写出一些特殊角的弧度数
度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
弧 度 数
0
6
4
32
2
3
3
4
5
6
3
2
2
注: 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad”
把长度等于半径长
单位规定
的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。
周角的1/360叫做1度 的角。
360 2rad
换算关系 180 rad
基本关系
1 rad 0.01745rad
180 1rad 180 57.30 5718
导出关系
23
2
平角： {θ|θ=180°}
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°} 小于90°角：{θ|θ＜90°}
[0, )
2
(, )
2
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三.弧长及扇形面积
你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算
出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？
角度制：
弧长公式：l = nπR/180
扇形面积公式：
S扇形
n
360
R2
弧度制：
弧长公式：l = αR 扇形面积公式：s = ½αR 2= ½ l R
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用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式： l l r
r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
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② 扇形面积公式 S 1 lR 2
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 19
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值