中考数学一模试卷含答案解析2

安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的答题框中，每一小题：选对得4分，不选错选或选出的代号超过一个的一律得0分
1．﹣的相反数是（）
A． B．﹣C．D．﹣
2．下列运算正确的是（）
A．= B．4x2y﹣x2y=4 C．a3•a4=a12D．（a2b）3=a6b3
3．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1
4．化简﹣1结果正确的是（）
A．B．C．D．
5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）
A．12πcm2B．8πcm2C．6πcm2D．3πcm2
6．下列说法正确的是（）
A．一组数据：4、1、3、1、2的中位数是3
B．了解一批节能灯的使用寿命，适合用普查的方式
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨
D．甲、乙两人在相同条件下各射击20次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S
甲2=0.4．S
乙
2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
7．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠2=66°，则∠1的大小是（）
A．24°B．34°C．44°D．66°
8．小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园
C．小明在距学校12km处追上小亮
D．9：30小明与小亮相距4km
9．如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D在半径OA上，点F在半径OB上，点E在上，则扇形与正方形的面积比是（）
A．π：8 B．5π：8 C．π：4 D．π：4
10．如图，一次函数y=﹣x+3的图象上有两点A、B，A点的横坐标为3，B点的横坐标为a（0＜a＜6且a≠3），过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为
S1，S2，则S1，S2的大小关系是（）
A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．无法确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．因式分解：16a﹣a3=．
12．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在的“双11”促销活动中，天猫全天交易额约912亿元，将912亿元用科学记数法表示为元．
13．小明观看了阿尔法狗下围棋后，设计了一款电子跳蚤游戏，如图所示的正△ABC边长为
12cm，如果电子跳蚤开始在BC边的点P0处，且BP0=4cm．此时第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步P2从跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…：电子跳蚤按照上述规则已知跳下去，第n次落点为P n（n为正整数），则点P与点P之间的距离是．
14．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，有下列结论：
①x1=1，x2=2；
②m＞﹣；
③二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣m的图象对称轴为直线x=1.5；
④二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，2）的上方．
其中一定正确的有（只填正确答案的序号）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：﹣12﹣|﹣2|﹣（﹣2）0+4sin45°．
16．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（2，9）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1向右平移8个单位后得到的△A2B2C2．
（3）直接写出△ABC上点M（x，y）在上述变换过程中得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，全年回收旧物试已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．（1）求每年回收旧物的增长率；
（2）按着这样的增长速度，请预测全年回收旧物能超过10万件吗？
18．如图，在合肥市轨道交通建设中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现选参照物C，测得C在点A的东北方向上，在点B的北偏西60°方向上，B、C两点间距离为800m．请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，点A、B、C在同一条直线上，点P在以BC为直径的⊙O上，连结PA、PB、PC，AB=BP=．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的直径是4cm，求PC的长度．
20．为了了解某校九年级学生数学质量检测成绩情况，检测教师随机抽取该校九年级上学期期末数学考试部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组：第一组75～90；第二组90～105；第三组105～120；第四组120～135；第五组135～150．统计后得到如图所示的频数分布直方图21．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的答题框中，每一小题：选对得4分，不选错选或选出的代号超过一个的一律得0分
1．﹣的相反数是（）
A． B．﹣C．D．﹣
【考点】相反数．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．下列运算正确的是（）
A．= B．4x2y﹣x2y=4 C．a3•a4=a12D．（a2b）3=a6b3
【考点】幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】计算题；推理填空题．
【分析】A：根据实数的运算方法判断即可．
B：根据合并同类项的方法判断即可．
C：根据同底数幂的乘法法则判断即可．
D：积的乘方的运算方法：（ab）n=a n b n，据此判断即可．
【解答】解：∵≠，
∴选项A不正确；
∵4x2y﹣x2y=3x2y，
∴选项B不正确；
∵a3•a4=a7，
∴选项C不正确；
∵（a2b）3=a6b3，
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．
（2）此题还考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
3．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据不等式解集的表示方法即可判断．
【解答】解：该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
故选C．
【点评】本题考查了不等式组的解集的表示，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
4．化简﹣1结果正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】约分．
【分析】先把的分子、分母进行因式分解，再约分，然后通分即可得出答案．
【解答】解：﹣1=﹣1=﹣=．
故选C．
【点评】此题考查了约分，用到的知识点是平方差公式、提取公因式、约分，正确化简分式是解题关键．
5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）
A．12πcm2B．8πcm2C．6πcm2D．3πcm2
【考点】由三视图判断几何体；圆柱的计算．
【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，
侧面积为：πdh=2×3π=6π，
故选C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．
6．下列说法正确的是（）
A．一组数据：4、1、3、1、2的中位数是3
B．了解一批节能灯的使用寿命，适合用普查的方式
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨
D．甲、乙两人在相同条件下各射击20次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S
甲2=0.4．S
乙
2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
【考点】方差；全面调查与抽样调查；中位数；概率的意义．
【分析】利用中位数、普查和抽样调查的特点以及方差的性质即可作出判断．【解答】解：A、一组数据：4、1、3、1、2的中位数是2，错误；
B．了解一批节能灯的使用寿命，适合用抽查的方式，错误；
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，错误；
D、甲、乙两人在相同条件下各射击20次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S
甲2=0.4．S
乙
2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，正确；
故选D
【点评】本题考查了中位数、普查和抽样调查的特点以及方差的性质．本题解决的关键是具有破坏性的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
7．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠2=66°，则∠1的大小是（）
A．24°B．34°C．44°D．66°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质以及直角的定义即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠2=66°，
∴∠1=90°﹣66°=24°，
故选A．
【点评】本题考查平行线的性质、直角的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键，注意直角三角板中90度角的这个条件，属于中考常考题型．
8．小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园
C．小明在距学校12km处追上小亮
D．9：30小明与小亮相距4km
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据函数图象可知小亮行驶全程所用时间，可得速度，判断A；根据图象可知两人到达终点时间，可判断B；当t=9时两人相遇，结合小亮速度可知其路程，判断C；分别求出9：30时小明与小亮的路程可判断D．
【解答】解：A、根据函数图象小亮去滨湖湿地公园所用时间为10﹣8=2小时，
∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；
B、由图象可得，小明到滨湖湿地公园对应的时间t=9.5，小亮到滨湖湿地公园对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），
∴小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园，故正确；
C、由图象可知，当t=9时，小明追上小亮，此时小亮离开学校的时间为9﹣8=1小时，
∴小亮走的路程为：1×12=12km，
∴小明在距学校12km出追上小亮，故正确；
D、由图象可知，当t=9.5时，小明的路程为24km，小亮的路程为12×（9.5﹣8）=18km，
此时小明与小亮相距24﹣18=6km，故错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用能力，读懂函数图象是解此题的关键，看函数图象清楚横纵轴表示的量是根本，读懂图象中特殊点坐标的实际意义是解题的要点．
9．如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D在半径OA上，点F在半径OB上，点E在上，则扇形与正方形的面积比是（）
A．π：8 B．5π：8 C．π：4 D．π：4
【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．
【分析】连接OE，设正方形的边长为a．根据等腰直角三角形的性质，得OC=CF=a，在直角三角形OFC中，根据勾股定理列方程，用a表示出r的值，再根据扇形及正方形的面积公式求解．【解答】解：连接OE，设正方形的边长为a，则正方形CDEF的面积是a2，
在Rt△OEF中，a2+（2a）2=r2，即r=a，
扇形与正方形的面积比=：a2=：a2=5π：8．
故选B．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
10．如图，一次函数y=﹣x+3的图象上有两点A、B，A点的横坐标为3，B点的横坐标为a（0＜a＜6且a≠3），过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为
S1，S2，则S1，S2的大小关系是（）
A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．无法确定
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】△AOC的面积S1已知，△BOD的面积S2可由关于a的函数表示，求出S2的取值范围，跟S1比较即可．
【解答】解：把x=3代入y=﹣x+3，
得y=﹣×3+3=，
即A（3，），
则S1=××3=，
S2=a×（﹣a+3）=﹣（a﹣3）2+，
又0＜a＜6且a≠3，
所以S2＜=S1，即S1＞S2，
故选A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，由一次函数确定坐标，根据坐标表示出面积并比较大小，另外还考查了二次函数的性质．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．因式分解：16a﹣a3=a（4﹣a）（4+a）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：16a﹣a3=a（16﹣a2）
=a（4﹣a）（4+a）．
故答案为：a（4﹣a）（4+a）．
【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2015年的“双11”促销活动中，天猫全天交易额约912亿元，将912亿元用科学记数法表示为9.12×1010元．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将912亿用科学记数法表示为9.12×1010．
故答案为：9.12×1010．
【点评】题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．小明观看了阿尔法狗下围棋后，设计了一款电子跳蚤游戏，如图所示的正△ABC边长为
12cm，如果电子跳蚤开始在BC边的点P0处，且BP0=4cm．此时第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步P2从跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…：电子跳蚤按照上述规则已知跳下去，第n次落点为P n（n为正整数），则点P2015与点P2016之间的距离是4cm．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2015次、第2016次落点的位置，再根据
△BP0P5是等边三角形，即P2015P2016=P5P0，从而确定P2015与P2016之间的距离．
【解答】解：因为BP0=4，根据题意，CP0=12﹣4=8，
第一步从P0到P1，CP1=CP0=8；AP1=12﹣8=4，
第二步从P1到P2，AP2=AP1=4；BP2=12﹣4=8，
第三步从P2到P3，BP3=BP2=8；CP3=12﹣8=4，
第四步从P3到P4，CP4=CP3=4；AP4=12﹣4=8，
第五步从P4到P5，AP5=AP4=8；BP5=12﹣8=4，
第六步从P5到P6，BP6=BP5=4；
由此可知，P6点与P0点重合，
又因为2015÷6=335…5，2016÷6=336，
所以P2015点与P5点重合，则点P2015与B点之间的距离为BP5=4，
P2016点与P0点重合，则点P2016与B点之间的距离为BP0=4，
又∵∠B=60°，
故△BP0P5是等边三角形，即P2015P2016=P5P0=4cm，
故答案为：4cm．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化和等边三角形的判定和性质，此题主要是能够根据题意正确计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，从而完成计算．
14．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，有下列结论：
①x1=1，x2=2；
②m＞﹣；
③二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣m的图象对称轴为直线x=1.5；
④二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，2）的上方．
其中一定正确的有②③（只填正确答案的序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程解的定义可对①进行判断；根据根的判别式对②进行判断；根据二次函数的性质可对③④进行判断．
【解答】解：当m=0时，x1=1，x2=2，所以①错误；
方程整理为x2﹣3x+2﹣m=0，△=（﹣3）2﹣4（2﹣m）0，解得m＞﹣，所以②正确；
二次函数为y=x2﹣3x+2﹣m，所抛物线的对称轴为直线x=﹣﹣1.5，所以③正确；
当x=0时，y=x2﹣3x+2+m=2+m，即抛物线与y轴的交点为（0，2+m），而m＞﹣，所以二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，）的上方，所以④错误．
故答案为②③．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：﹣12﹣|﹣2|﹣（﹣2）0+4sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣1+4×=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（2，9）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1向右平移8个单位后得到的△A2B2C2．
（3）直接写出△ABC上点M（x，y）在上述变换过程中得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可；
（2）首先确定A、B、C三点向右平移8个单位后的对应点位置，再连接即可；
（3）根据点的坐标的变化规律：向右平移几个单位，横坐标加几可得M2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）对应点M2的坐标（x+8，y）．
【点评】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，关键是掌握图形是由点组成的，作轴对称变换和平移变换就是找出图形的关键点的对称点和对应点的位置．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．2013年初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到2013年底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，2015年全年回收旧物试已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．
（1）求每年回收旧物的增长率；
（2）按着这样的增长速度，请预测2016年全年回收旧物能超过10万件吗？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）根据题意可得等量关系为：2013年全年回收旧物3万件×（1+增长率）2=2015年全年回收旧物试已经达6.75万件，把相关数值代入即可列出方程；
（2）利用6.75×（1+增长率）2即可与10万件比较，从而确定答案．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，
根据题意得3（1+x）2=6.75．
解得x1=0.5，x2=﹣2.5（舍去），
答：平均增长率为50%．
（2）6.75×（1+50%）2=10.125万元＞10万元．
∴2016年全年回收旧物能超过10万件．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
18．如图，在合肥市轨道交通建设中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现选参照物C，测得C在点A的东北方向上，在点B的北偏西60°方向上，B、C两点间距离为800m．请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】作CD⊥AB于D，根据正、余弦的概念分别求出BD、CD的长，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，
由题意得，∠CAD=45°，∠CBD=30°，
∴BD=BC•cos∠CBD=800×=400≈693，
CD=BC=400，
∴AD=CD=400，
∴AB=AD+BD=1093米．
答：这段地铁AB的长度约为1093米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，点A、B、C在同一条直线上，点P在以BC为直径的⊙O上，连结PA、PB、PC，AB=BP=．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的直径是4cm，求PC的长度．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OP，进而得出AB=BP=BO，进而得出∠BPA+∠BPO=90°，即可得出答案；（2）利用已知首先求出BP的长，再利用勾股定理得出PC的长即可．
【解答】解：（1）如图所示：连接OP，
∵AB=BP=BC，BC为直径，
∴AB=BP=BO，
∴∠BAP=∠BPA，∠BPO=∠BOP，
∴∠BAP+∠BPA+∠BPO+∠BOP=180°，
∴∠BPA+∠BPO=90°，
∵点P在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线；
（2）∵BC为直径，
∴BC=4cm，∠BPC=90°，
∵BP=BC，
∴BP=2，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：
PC===2，
∴PC的长度为2cm．
【点评】此题主要考查了切线的判定以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出
∠BPA+∠BPO=90°是解题关键．
20．为了了解某校九年级学生数学质量检测成绩情况，检测教师随机抽取该校九年级上学期期末数学考试部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组：第一组75～90；第二组90～105；第三组105～120；第四组120～135；第五组135～150．统计后得到如图所示的频数分布直方图21．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）分三种情况：①BC=BD时，由勾股定理列式求出AB，由平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，证出四边形AGCB是矩形，由矩形的对边相等得
AG=BC=3，求出DG=2，由勾股定理列式求出CG，由平行四边形的面积列式计算即可；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．
【解答】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：分三种情况：①BC=BD=30cm时，
由勾股定理得，AB===20（cm），
∴四边形BDFC的面积=30×20=600（cm2）；
②BC=CD=30时，过点C作CG⊥AF于G，如图所示：
则四边形AGCB是矩形，
∴AG=BC=30，
∴DG=AG﹣AD=30﹣10=20，
由勾股定理得，CG===10，
∴四边形BDFC的面积=30×10=3300；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=20，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是600cm2或300cm2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．
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