【暑假分层作业】第11练 一次函数的应用-2022年八年级数学(人教版)(答案及解析)

第11练 一次函数的应用
一、单选题
1．下表中列出的是一个一次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：
x … -4 -3 -2 … y
…
-2
-4
…
B ．该函数的图象不经过第四象限
C ．该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为16
D ．该函数图象关于x 轴对称的函数的表达式为24y x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】
利用待定系数法求出该一次函数的解析式为y =-2x -8，根据函数的增减性及经过的象限、与坐标轴的交点坐标求面积分别计算并判断． 【详解】
解：设该一次函数的解析式为y =kx +b ，将（-4，0），（-3，-2）代入，得
4032k b k b -+=⎧⎨
-+=-⎩，解得2
8k b =-⎧⎨=-⎩
， ∴该一次函数的解析式为y =-2x -8；故D 错误； ∵k =-2<0，
∴y 随着x 的增大而减小，故A 错误； ∵k =-2<0，b =-8<0，
∴函数图象经过第二，三，四象限，故B 错误； 当x =0时y =-8，当y =0时x =-4，
∴图象与坐标轴的交点坐标分别为（-8，0），（0，-4），
∴该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为1
84162
⨯⨯=，故C 正确； 故选：C ． 【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的增减性，一次函数与图形面积，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的知识并应用是解题的关键．
2．小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效率．小张加工的零件总数m （单位：个）与工作时间t （单位：时）之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件（ ）个
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
此题只要能求出3时之后的一次函数解析式，从而求出当x =3时的纵坐标，除以3即可． 【详解】
解：从图象可知3时之后的函数图象为一次函数且经过(5,24)，(6,30) 设该时段的一次函数解析式为：y kx b =+，
可列出方程组：524
630k b k b +=⎧⎨+=⎩，求解得：66k b =⎧⎨
=-⎩
∴一次函数解析式为：66y x =-，
当3x =时，12y =，
1234∴÷=
故选：B ． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握求解一次函数解析式和掌握图象中的关键拐点含义是解题的关键．
3．快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y （km ）与它们的行驶时间x （h ）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论： ①快车途中停留了0.5h ；
②快车速度比慢车速度多20km/h ； ③图中a ＝340；
④快车先到达目的地． 其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可知两车出发2h 时相遇，此时可知他们的速度和，相遇后慢车停留了0.5h ，快车停留了1.6h ，此时两车的距离为88km ，由此可得慢车的速度，进而可得快车的速度，根据：路程和=速度和⨯时间，即可求得a ，则可判定结论． 【详解】 解：根据题意得，
两车的速度和为：3602180(/)km h ÷=，
相遇后快车停留了3.62 1.6()h -=，故 ①结论错误； 慢车的速度为：88(3.6 2.5)80(/)km h ÷-=， 则快车的速度为：18080100(/)km h -=，
所以快车的速度比慢车多1008020(/)km h -=，故②结论正确；
88180(5 3.6)340(/)km h +⨯-=，所以图中340a =，故③结论正确；
快车到达终点的时间为：360100 1.6 5.2()h ÷+=， 慢车到达终点的时间为：360800.55()h ÷+=， 因为5.25>，所以慢车先到达目的地，故④结论错误， 故选B ． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用、行程问题中的数量关系的运用，函数图象的意义，根据图象中获取信息解决问题是解题的关键．
4．暑期将至，某游冰俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一
张学生暑期专享卡，每次游泳费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳费用按八折优惠；按照方案一所需费用为y 1（元），且y ＝k 1x ＋b ；按照方案二所需费用为y 2（元），且y 2＝k 2x ，其函数象如图所示．若小明打算办一张暑期专享卡使得游泳时费用更合算，则他去游泳的次数x 至少是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据待定系数法求解析式，然后根据图象解不等式即可求解． 【详解】
解：根据题意，得： 11018030k b b +=⎧⎨=⎩，
解得：115
30
k b =⎧⎨=⎩，
∴方案一所需费用y 1与x 之间的函数关系式为y 1=15x +30， ∵打折前的每次游泳费用为15÷0.6=25（元）， ∴k 2=25×0.8=20； ∴y 2=20x ，
12
1530
20y x y x =+⎧⎨
=⎩， 解得6120x y =⎧⎨=⎩
，
即当游泳6次时，所需费用一致；
若小明打算办一张暑期专享卡使得游泳时费用更合算，即12y y <；
观察图象可知6x >，选整数解7x =； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴上，点(5,2)B 在直线:4l y kx =+上．直线l 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．将正方形ABCD 沿y 轴向下平移m 个单位长度后，点C 恰好落在直线l 上．则m 的值为（ ）
A ．65
B ．
115
C ．
145
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
过B 作BM ⊥OE 于M ，过C 作CN ⊥OF 于N ，根据AAS 定理证得△DAO ≌△ABM ，△CDN ≌△DAO ，根据全等三角形的性质求出C 点的坐标为（3，5），由待定系数法求出直线l 的解析式为y =-x +4，设平移后点C 的坐标为（3，5-m ），代入解析式即可求出m ． 【详解】
解：过B 作BM ⊥OE 于M ，过C 作CN ⊥OF 于N ，
∴∠ABM +∠BAM =90°， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC =90°，AB =DA ， ∴∠DAO +∠BAM =90°， ∴∠DAO =∠ABM ， 在△DAO 和△ABM 中，
90DAO ABM DOA AMB DA AB ∠∠⎧⎪
∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△DAO ≌△ABM （AAS ）， ∴OA =BM ，OD =AM ， ∵B （5，2）， ∴BM =2，OM =5， ∴OA =2， ∴AM =OM -OA =3， ∴OD =3，
同理可证△CDN ≌△DAO ， ∴DN =OA =2，CN =DO =3， ∴ON =OD +DN =5， ∴C （3，5），
∵点B （5，2）在直线l ：y =kx +4上， ∴5k +4=2， ∴k =-2
5
，
∴直线l 的解析式为y =-2
5
x +4，
设正方形ABCD 沿y 轴向下平移m 个单位长度后点C 的坐标为（3，5-m ）， ∵点C 在直线l 上， ∴-2
5
×3+4=5-m ，
解得：m =
115
， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS 定理证得△DAO ≌△ABM ，△CDN ≌△DAO ，求出C 点的坐标是解决问题的关键．
6．如图1，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，直线l AB ⊥，当直线l 沿射线BC 的方向从点B
开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E ，F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则下列结论：①BC 的长为5；②AB 的长为32；③当45x ≤≤时，△BEF 的面积不变；④当6x =时，△BEF 的面积为33
2
；其中正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
通过图1与图2可直接求得BC 的长，通过勾股定理求得AB 的长，当4≤x ≤5时，通过三角形底与高是否变化来判断△BEF 的面积是否变化，当x =6时，根据面积关系求出△BEF 面积． 【详解】 从图2知：
∵当4≤x ≤5时，y 的值不变，
∴相应的对应图1是：直线EF 从过点A 开始到经过C 点结束，EF 的值不变， 即当BE =4，BE 经过点A ，当BE =5时，EF 经过点C ， ∴BC =5， ∴①正确； 从图1知，
BE 1=4，E 1F 1=2，∠BF 1E 1=90°， ∴AB 224223- ∴②不正确； 如图2，
当4≤x ≤5时，S △BEF =1
2BE •FH ， ∵FH 不变，BE 变化， ∴△BEF 的面积变化， ∴③不正确， 如图3所示：
∵直线l ⊥AB ，BE =x ，EF =y ，
当x ≤4时，由图可知y =1
2x ， ∴∠ABC =30°， ∵23AB = ∴1
32
AN AB =
= 当6x =时，直线l ，四边形ABCD 的边分别相交于点E1，F1， 此时，E 1点是F 1G 的中点，且BG =6， ∴11
1111136332
2242
BE F BF G
S
S BG AN =
=⨯=⨯= ∴④正确； ∴正确的有两个， 故选：B 【点睛】
本题考查的是图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置． 二、填空题
7．如图，已知点()2,3A -，()2,1B ，直线y kx k =+经过点()1,0P -．试探究：直线与线段AB 有交点时k 的变化情况，猜想k 的取值范围是______．
【答案】13k ≥或3k ≤-##3k ≤-或13
k ≥
【解析】 【分析】
根据题意，画出图象，可得当x =2时，y ≥1，当x =-2时，y ≥3，即可求解． 【详解】 解：如图，
观察图象得：当x =2时，y ≥1， 即21k k +≥，解得：1
3
k ≥，
当x =-2时，y ≥3，
即23k k -+≥，解得：3k ≤-， ∴k 的取值范围是1
3k ≥或3k ≤-．
故答案为：1
3
k ≥或3k ≤-
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 8．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A ，B 两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表：
已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为__________包时，每日所获总售价最大，最大总售价为__________元．
【答案】400 22800
【解析】
【分析】
设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】
解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，
根据题意，得：
0.25500
x y
x y
+=
⎧
⎨
≥
⎩
，
∴y=-4x+2000，
由x≥-4x+2000得：x≥400，
∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000，
∵-3＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元），
故答案为：400，22800．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题．
9．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象可知，下列结论：①两车出发后4小时相遇；②动车的速度是普通列车速度的2倍；③两车相遇后，普通列车还需行驶6小时到达目的地；④C点的坐标是()
5,1000，其中正确的有__________．（填所有正确结论的序号）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】
由A点坐标可得两点距离，由B点坐标可得两车相遇时间和两车速度和，由D点坐标可得普通列车速度，进而求得动车速度，于是可得动车到达目的地的时间，再根据普通列车的行驶距离可得两车距离；
【详解】
解：由A点坐标可得两地距离为1800千米，
由B点坐标可得两车出发后4小时相遇，即①正确；
∴两车的速度和为1800÷4=450千米/小时，
由D点坐标可得普通列车的速度为1800÷12=150千米/小时，
∴动车的速度为450-150=300千米/小时，
∴动车的速度是普通列车速度的2倍，即②正确；
两车相遇后，普通列车还需行驶8小时到达目的地，即③错误；
动车到达目的地所需时间为1800÷300=6小时，
此时普通列车行驶距离为150×6=900千米，
∴C点坐标是（6，900），即④错误；
故答案为：①②；
【点睛】
本题考查了动点的图像问题：做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等；匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要根据切线的坡度大小确定变化的快慢．
10．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点C在x轴正半轴上，以OC为边在x轴上
方作矩形OABC ，若点B 坐标为(4,1)，平面内有一条直线:2l y kx =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，则k 的值为______．
【答案】34
- 【解析】
【分析】
设l 分别交AB 、OC 于点E 、F ，根据矩形的性质和B 点的坐标设E 的坐标为(a ,1)，F 的坐标为(b ,0)，利用直线l 平分矩形的面积可证得AE =CF ，OF =BE ，继而得出a ，b 的关系式，再利用点E 、F 均在l 上即可求出k ．
【详解】
设l 分别交AB 、OC 于点E 、F ，如图，
∵在矩形OABC 中，顶点B 的坐标为(4,1)，
∴OA =BC =1，AB =OC =4，
∴可设E 的坐标为(a ,1)，F 的坐标为(b ,0)，
又∵E 、F 在直线l 上，
∴21ka +=，20kb +=，
∴1a k -=，2b k
-=， ∵直线l 分将矩形OABC 的面积平分，
∴11()()22
AEFO BEFC S AE OF OA S BE CF BC =+⨯==+⨯梯形梯形， ∵OA =BC ，
∴AE OF BE CF +=+，
又∵AB =AE +BE =OC =OF +FC ，
∴AE =CF ，OF =BE ，AB =OC =4，
∴4-a =b ， ∴124k k
--+=， 解得34
k =-，经检验符合要求， 故答案为：34
-． 【点睛】
本题考查了矩形的性质，一次函数的性质以及解分式方程等知识，利用好直线l 将矩形OABC 的面积平分这一信息是解答本题的关键．
11．某公司以A 、B 两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每份含2克A 、2克B ；乙产品每份含2克A 、1克B ，甲乙两种产品每份成本价分别为A 、B 两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为16元，公司在核算成本的时候把A 、B 两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多760元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么公司每天的实际成本最多为______ 元.
【答案】860
【解析】
【分析】
设每克A 种材料的成本价为x 元，每天销售m 份甲产品，n 份乙产品，公司每天实际成本为w 元，则每1克B 种材料的成本价为()16282
x x -=-元，根据实际成本比核算时的成本多688元，即可得出4380xn n =+，利用餐厅每天实际成本=每份甲产品的成本⨯销售数量+每份乙产品的成本⨯销售数量，可得出1612380w m n =++，由每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，可得出43120m n +≤，将其代入w 中可求出w 的取值范围，取其最大值即可得出结论．
【详解】
解：设每克A 种材料的成本价为x 元，每天销售m 份甲产品，n 份乙产品，每天公司实际成本为w 元，则每克B 种材料的成本价为()16282
x x -=-元， 依题意，得：()()16281628760m x x n m x x n ⎡⎤++----+=⎣⎦，
化简，得：4380xn n =+．
()162816816438081612380w m x x n m xn n m n n m n =++-=++=+++=++，
43120m n +≤，
()16123804433804120380860w m n m n ∴=++=++≤⨯+=．
∴公司每天实际成本最多为860元．
故答案为：860．
【点睛】
本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出w 与（4m ＋3n ）之间的关系是解题的关键．
12．如图，直线443
y x =-+与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，把射线AB 绕点A 顺时针旋转90°得射线AC ，点P 是射线AC 上一个动点，点Q 是x 轴上一个动点．若PQA △与AOB 全等，则点Q 的横坐标是_________．
【答案】7或8##8或7
【解析】
【分析】
根据题意分析不同情况并求解即可；
【详解】
解：将0x =时，044y =+=，即()04B ，
当0y =时，4043
x =-+，即()30A ， ∵PQA AOB ∆≅∆
当PQ AQ ⊥时，OB AQ =，如图
此时点Q 的横坐标是：347OA AQ +=+=
当PQ AC ⊥时，AB AQ =，如图
2222345AB OA OB =+=+=
此时点Q 的横坐标是：358OA AQ +=+=
故答案为：7或8
【点睛】
本题主要考查三角形全等应用、一次函数的应用、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
13．如图1，在底面积为2100cm ，高为20cm 的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h 与注水时间t 之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是______2cm
【答案】20
【解析】
【分析】
设烧杯的底面积为S cm²，高为1h cm ，注水速度为v cm 3/s ，根据当注水时间为18s 时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s 时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平，列出方程组，即可求出烧杯的底面积．
【详解】
解：设烧杯的底面积为S cm²，高为1h cm ，注水速度为v cm 3/s
由图1、图2分析可得：当注水时间为18s 时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s 时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平．
由此可得：11
1890100v Sh v h =⎧⎨=⎩ ∵190185100v v h =⨯=
∴115100Sh h =
∴20S =
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是读懂函数图象中每个拐点的实际意义．
14．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = m （x + 3）- 1（m ≠0）的图象为直线l ，在下列结论中：
①无论m 取何值，直线l 一定经过某个定点；
②过点O 作OH ⊥l ，垂足为H ，则OH
；
③若l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△AOB 为等腰三角形，则m = 1；
④对于一次函数y 1= a （x - 1）+ 2（a ≠0），无论x 取何值，始终有y 1>y ，则m < 0或0 <m < 3? 4?． 其中正确的是（填写所有正确结论的序号）______________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由解析式可得一次函数过定点()3,1,--①正确；当H 和定点()3,1--重合时，OH
为最大值②正确；分别求出点A 和点B 的坐标，根据△AOB 是等腰三角形可得出等式，并求出参数m 的值，得出结论③错误；当0a <时，即m a =两直线平行时，1,y y >可得出0,m <当0a >时，若若直线1y 经过()3,1,--()1,2,可求出3,4a =可知当304
m <<
时，1,y y >④正确． 【详解】
解：①当30,x +=即3x =-时，1,y =-
∴无论m 取何值，直线l 一定经过定点()3,1,--故①正确． ②当3x =-时，1,y =-直线1经过定点()3,1,--当点H 和定点()3,1--重合时，OH 取得最大
故②正确．
③若1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ．
当0y =时，13,m x m -=则13,0,m A m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
当0x =时，31,y m =-则()0,31,B m -
△AOB 为等腰三角形，
1331,m m m
-∴=- 1331m m m -∴=-或1313,m m m
-=- 解得1m =±或1,3
故③错误． ④∵一次函数()31y m x =+-经过定点()3,1,--
又∵一次函数()112y a x =-+经过定点()1,2,
∴当0a <时，若,m a =即两直线平行时，始终存在1y y >，即0,m <
∴当0a >时，如图所示，
若直线1y 经过()3,1,--()1,2,则135,44
y x =+ ∵直线y 经过点A ，不管x 取何值，始终1,y y >
30,4
m ∴<< 0m ∴<或30,4
m <<故④正确．
故选：①②④．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象过定点，点到直线距离，等腰三角形存在性，函数值比较大小等问题，在计算时注意取特殊值及分类讨论等思想方法．
三、解答题
15．陕西沿黄公路是一条全长800余公里的高颜值公路，它沿着黄河西岸串联陕西4市12县50多景点，其中一段48公里的公路串联府谷龙蛇湾景区和府州古城，甲、乙两人分别从府谷龙蛇湾景区、府州古城骑自行车出发相向而行，甲比乙先出发1小时，两人分别以各自
的速度匀速行驶．甲、乙两人距府州古城的距离y （km ）与甲出发时间x （h ）的函数关系图象如图所示，结合图象信息回答下列问题：
(1)甲的骑行速度为________km/h ，乙的骑行速度为________km/h ；
(2)求线段2l 的函数表达式；
(3)甲出发多长时间后两人第一次相距6km ？
【答案】(1)12；8
(2)288y x =-
(3)当甲出发2.5h 时，两人第一次相距6km
【解析】
【分析】
（1）根据图象得出A ，B 两地之间的距离；根据速度=路程÷时间可得到乙的速度； （2）利用待定系数法求解即可；
（3）先求得线段1l 对应的函数表达式，根据相距6km 列方程，求解即可．
(1)
解：由图象可知，线段l 1为甲骑行的函数图象，线段l 2为乙骑行的函数图象，
故甲的骑行速度为48÷
4=12(km/h)， 乙的骑行速度为48÷（7–1）=8(km/h)；
故答案为：12；8；
(2)
解：设线段2l 对应的函数表达式为222y k x b =+，
则有2222
0748k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2288
k b =⎧⎨=-⎩ ∴ 线段2l 对应的函数表达式为288y x =-；
(3)
解：设线段1l 对应的函数表达式为111y k x b =+，
则有111
4840b k b =⎧⎨+=⎩， 解得11
1248k b =-⎧⎨=⎩， ∴线段1l 对应的函数表达式为11248y x =-+；
由题意可得，()()1248886x x -+--=，
解得 2.5x =，
答：当甲出发2.5h 时，两人第一次相距6km ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．某超市经销某品牌的两种包装的产品，进价与售价如表：
已知购进50袋礼盒装的总价与购进300袋独享装的总价相同：
(1)求礼盒装和独享装每袋的进价．
(2)若超市用4000元购进了两种包装的该产品，其中礼盒装的数量不超过独享装的4倍，在两种包装的产品全部售完的情况下，求总利润的最大值．
【答案】(1)礼盒装和独享装每袋的进价分别为48元，8元
(2)总利润的最大值为2440元
【解析】
【分析】
（1）利用“购进50袋礼盒装的总价与购进300袋独享装的总价相同”作为等量关系列方程；
（2）列出函数解析式并求出自变量取值范围，利用函数增减性确定结果．
(1)
解：依题意，得 ()5040300a a +=
解得，8a =
∴4048a +=
答：礼盒装和独享装每袋的进价分别为48元，8元．
(2)
设购进礼盒装x 袋，则购进独享装4000488
x -，即()5006x -袋． 依题意，得 ()45006x x -≤
解得，80x ≤．
设总利润为w 元，
则()()()78481085006181000w x x x =-+--=+
181000x =+
∵180>
∴w 随x 的增大而增大．
∵80x ≤
∴当80x =时，总利润w 取到最大值，最大值为801810002440w =⨯+=元．
答：总利润的最大值为2440元．
【点睛】
本题考查利用一次函数解决利润最大问题，解决问题的关键是列出函数解析式，确定自变量取值范围，关键一次函数的增减性确定最值．
17．某校对校园操场进行绿化养护招标，现有甲、乙两公司进行竞标养护，两公司分别提出了自己的绿化养护收费方案．
甲公司的方案：每月的养护费用y （元）与绿化面积x （平方米）的关系图象如图所示． 乙公司的方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5000元；绿化面积超过1000平方米时，超过的部分每月每平方米加收4元．
(1)分别求出甲、乙两公司的收费y （元）与绿化面积x （平方米）的关系式．
(2)如果该学校目前的绿化面积是1100平方米，那么选择哪家公司的服务比较划算？
【答案】(1)400y x =+甲；当1000x ≤时，5000y =乙；当1000x >时，
()5000100041000y x x =+-=+乙
(2)选择乙公司的服务比较划算
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法解出y 甲与x 的关系式，根据题意写出y 乙与x 的关系式即可；
（2）当学校目前的绿化面积是1100平方米时，分别算出甲、乙公司的方案所需费用，进行比较即可． (1)
解：设y 甲与x 的关系式为()0y kx b k =+≠，
根据题意得400,
900100,b k b =⎧⎨=+⎩解得5,400k b =⎧⎨
=⎩
∴y 甲与x 的关系式为400y x =+甲． y 乙与x 的关系式为：
当1000x ≤时，5000y =乙；
当1000x >时，()5000100041000y x x =+-=+乙． (2)
当1100x =时，
甲公司的方案所需费用为511004005900⨯+=（元）， 乙公司的方案所需费用为4110010005400⨯+=（元）． ∵59005400>，∴选择乙公司的服务比较划算． 【点睛】
本题是一次函数与实际结合题，结合图象求一次函数解析式是解答本题的关键． 18．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km ，超市离学生公寓2km ，小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min 到阅览室；在阅览室停留70min 后，匀速步行了10min 到超市；在超市停留20min 后，匀速骑行了8min 返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离km y 与离开学生公寓的时间min x 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表：
离开学生公寓的时间
5
8 50
87
112
(2)填空：
①阅览室到超市的距离为___________km ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________km /min ；
③当小琪离学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为___________min ． (3)当092x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式． 【答案】(1)0.8，1.2，2 (2)①0.8；②0.25；③10或116
(3)当012x ≤≤时，0.1y x =；当1282x <≤时， 1.2y =；当8292x <≤时，0.08 5.36y x =- 【解析】 【分析】
（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当092x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式． (1)
由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min, 故当x =8时，离学生公寓的距离为8×
0.1=0.8； 在1282x ≤≤时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km 故当x =50时，距离不变，都是1.2km ；
在92112x ≤≤时，离学生公寓的距离不变，都是2km ， 所以，当x =112时，离学生公寓的距离为2km 故填表为：
(2)
①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8km ； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为： 2÷（120-112）=0.25km /min ；
③分两种情形：
当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为： 1÷0.1=10min ；
当小琪返回与学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为： 112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min ； 故答案为：①0.8；②0.25；③10或116 (3)
当012x ≤≤时，设直线解析式为y =kx ， 把（12，1.2）代入得，12k =1.2, 解得，k =0.1 ∴0.1y x =；
当1282x <≤时， 1.2y =；
当8292x <≤时，设直线解析式为y mx n =+， 把（82，1.2），（92，2）代入得，
82 1.2
922
m n m n +=⎧⎨
+=⎩ 解得，0.08
5.36m n =⎧⎨
=-⎩ ∴0.08 5.36y x =-，
由上可得，当092x ≤≤时，y 关于x 的函数解析式为()0.10121.2(1282)0.08 5.36(8292)y x x y x y x x ⎧=≤≤⎪
=<≤⎨⎪=-<≤⎩
．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．冰墩墩（BingDwenDwen ）、雪容融（ShueyRhonRhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个
(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元 【解析】 【分析】
（1）设冰墩墩进价为x 元，雪容融进价为y 元，列二元一次方程组求解；
（2）设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，利润为w 元，列出w 与a 的函数关系式，并分析a 的取值范围，从而求出w 的最大值． (1)
解：设冰墩墩进价为x 元/个，雪容融进价为y 元/个．
得1361551400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩
．
∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个． (2)
设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，利润为w 元， 则()2820408800w a a a =+-=+， ∵0a >，所以w 随a 增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 得()1.540a a ≤-，解得24a ≤．
∴当24a =时，w 最大，此时4016a -=，824800992w =⨯+=．
答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． 【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．将一些相同规格的长方形纸按图①所示方法粘合起来，粘合部分的宽相等．某学校数学综合与实践小组从函数角度进行了如下探究：
[观察测量]数学综合与实践小组通过观察测量，得到如表：
长方形纸x（张） 1 2 3 4 5
总长度y（厘米）15 25 35 45 55
(1)[探究发现]建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示长方形纸张数石纵轴表示粘合后的总长度y，描出以表格中数据为坐标的各点
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如过不在同一条直线上，说明理由．
(3)[结论应用]应用上述发现的规律让算
①当x=20时，粘合后的纸条总长度y为厘米．
②粘合后内纸条总长度y为505厘米时，需使用长方形纸张．
【答案】(1)见解析；
(2)上述各点在同-条直线上，y =10x +5； (3)①205；②50 【解析】 【分析】 [探究发现]
①根据表格描点即可；
②用待定系数法即可求出函数表达式； [结论应用]
①令x =20即得答案； ②令y =505算出x 的值即可． (1)
描出以表格中数据为坐标的各点如图：
(2)
上述各点在同一条直线上，
设这条直线对应的函数表达式是y =kx +b ，将（1，15），（2，25）代入得：
15
225k b k b +=⎧⎨
+=⎩， 解得
10
5
k b =⎧⎨
=⎩， 答：这条直线对应的函数表达式是y =10x +5； (3)
①在y =10x +5中，令x =20得y =205，。