七年级数学一元一次不等式与一次函数及应用知识精讲 试题

智才艺州攀枝花市创界学校七年级数学一元一次不等式与一次函数及
应用鲁
【本讲教育信息】
一.教学内容：
一元一次不等式与一次函数及应用
二.学习重难点：
正确地理解一元一次不等式与一次函数的关系以及它们的应用是本节课的重难点
三.知识要点讲解：
【知识回忆】
1、什么叫一次函数？它的图像是什么？
①假设两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx+b 〔k ，b 为常数、k ≠0〕的形式，那么称y 是x 的一次函数〔x 为自变量，y 为因变量〕。

特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。

②一次函数的图像是一条直线。

注意：由于一次函数的图像是直线，两点决定一条直线，故只需取图形上的两点即可作出一次函数的图像。

2、一次函数有什么性质？
当k>0时，y 的值随x 值的增大而增大
当k<0时，y 的值随x 值的增大而减小
3、一次函数与x 、y 轴的交点坐标是什么？
一次函数与x 轴的交点坐标是)0 ,b (k
，与y 轴的交点坐标是〔0，b 〕 4、方程组的解与一次函数有什么关系？
方程组的解就是两个方程所对应的两个一次函数的交点的坐标。

【新课讲解】
问题：作出函数y=2x －5的图像，观察图像答复以下问题：
〔1〕当x 取何值时，2x －5=0成立？
〔2〕当x 取何值时，2x －5<0成立？
〔3〕当x 取何值时，2x －5>0成立？
〔4〕当x 取何值时，2x －5>3成立？
注：上述问题事实上就是求当x 为何值时，y=0，y>0,y<0,y>3
即：
解法1：〔图像解法〕由图像可知 〔1〕当x=2
5时，2x －5=0成立？ 〔2〕当x<2
5取何值时，2x －5<0成立？ 〔3〕当x>
25取何值时，2x －5>0成立？ 〔4〕当x>4时，2x －5>3成立？
解法2：代数解法——解不等式〔略〕
做一做：
兄弟俩赛跑，哥哥让弟弟先跑10米，然后自己才开场跑，弟弟每秒钟跑4米，哥哥每秒钟跑5米，分别列出兄弟二人所跑路程y 〔米〕与哥哥所跑时间是x 〔秒〕的函数关系式，作出函数的图像，观察图像答复以下问题：
〔1〕何时弟弟跑在哥哥的前面？
〔2〕何时哥哥跑在弟弟的前面？
〔3〕谁先跑完20米的路程？谁先跑完100米的路程？
考虑：你有几种方法求解？
解：由题意可知：
y 弟弟=4x+10y 哥哥=5x
由图像可知：
〔1〕当x<10时弟弟跑在哥哥的前面.
〔2〕当x>10时哥哥跑在弟弟的前面。

〔3〕弟弟先跑完20米的路程，哥哥先跑完100米的路程。

想一想：某方案购置假设干台某型号的电脑，现从两家商场理解到该型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。

甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y 甲与所购置的电脑的台数x 之间的关系式是：
y 甲=________________
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y 乙与所购置的电脑的台数x 之间的关系式是： y 乙=_________________
考虑：什么条件下到甲商场购置更优惠？什么条件下到乙商场购置更优惠？什么条件下两家商场的收费一样？
分析：
6000+6000〔x －1〕〔1－25%〕<6000〔1－20%〕x
解得：x>5
∴当购置的数量超过5台时，甲商场更优惠。

同理可得：
当购置的数量小于5台时，乙商场更优惠。

当购置的数量等于5台时，两商场收费一样。

方法总结：当有两种购置方案时，分别建立购置所花的钱数y 与购置数量x 之间的函数关系式，通过比较两函数y 的值的大小转化为不等式，从而求出自变量x 的求值范围，也就是购置更优惠的条件。

【典型例题】
应用1、一次函数问题的代数解法
例1、某单位方案在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~20人，甲、乙两家旅行社的效劳质量一样，且报价都是每人200元。

经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。

该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
解：设该单位参加这次旅游的人数是x 人，选择甲旅行社时所需的费用为y 1元，选择乙旅行社时所需的费用为y 2元，那么
x 75.0200y 1⨯=，即x 150y 1=，
)1x (8.0200y 2-⨯=，即.160x 160y 2-=
由21
y y =，得160x 160x 150-=，解得16x =； 由21
y y >，得160x 160x 150->，解得16x <； 由21y y <，得160x 160x 150-<，解得x>16.
因为参加旅游的人数估计为10~20人，所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费一样；当20x 17≤≤时，选择甲旅行社费用较少；当15x 10≤≤时，选择乙旅行社费用较少。

例2、某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示.设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元.
〔1〕求y 关于x 的函数关系式？
〔2〕假设购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润.〔注：利润＝售价－本钱〕
解：〔1〕y=〔63－55〕x+〔=3x+2500
〔2〕由题意可知：
55x+35〔500－x 〕≤20000
解得：x ≤125 ∴当x=125时，利润最大为y=3×125+2500=2875〔元〕
方法总结：由总费用限制列出不等式，从而求出饮料的数量x 的取值范围，进一步利用函数关系求出最大利润。

应用2、一次函数问题的图像解法
例3、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿一样道路从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间是变化的图像〔分别是正比例函数图像和一次函数图像〕.根据图像解答以下问题：
〔1〕请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式〔不要求写出自变量的取值范围〕； 〔2〕轮船和快艇在途中〔不包括起点和终点〕行驶的速度分别是多少？
〔3〕问快艇出发多长时间是赶上轮船？
解：〔1〕用待定系数法求出两函数的解析式为：
y轮船=20xy快艇=40x－80
〔2〕轮船的速度为：20千米/小时
快艇的速度为：40千米/小时
〔3〕由图像可知：快艇出发后2小时可以赶上轮船。

例4、如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿一样道路由甲地到乙地行驶过程的函数图像〔分别为正比例函数和一次函数〕.两地间的间隔是80千米.请你根据图像答复或者解决下面的问题：〔1〕谁出发较早？早多长时间是？
〔2〕两人在途中行驶的速度分别是多少？
〔3〕请你分别写出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式〔不要求写出自变量的取值范围〕；
〔4〕指出在什么时间是段内两车均行驶在途中〔不包括端点〕；在这一时间是段内，请你分别按以下条件列方程或者不等式〔不要化简，也不要求解〕：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.
解：〔1〕自行车出发较早，早3小时
〔2〕自行车的速度是：10千米/小时摩托车的速度是：40千米/小时
〔3〕y自行车=10xy摩托车=40x－120
〔4〕①10x>40x－120②10x=40x－120③10x<40x－120
【中考链接】
例5、某单位要印刷一批奥运会宣传资料，在需要支付制费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过局部的印刷费可按9折收费，乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过局部的印刷费可按8折收费.
〔1〕假设该单位要印刷2400份，那么甲印刷厂的费用是，乙印刷厂的费用是.
〔2〕根据印刷数量的多少，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠？
解：〔1〕1308元，1320元
〔2〕当x≤2000时，y甲=y乙=0.3x+600∴甲乙两厂一样
当2000<x≤3000时，
y甲×2000+0.3〔x－2000〕0.9+600=0.27x+660
y乙=0.3x+600
此时甲厂比乙厂优惠
当x>3000时
y甲×2000+0.3〔x－2000〕0.9+600=0.27x+660
y乙×3000+0.3〔x－3000〕0.8+600=0.24x+780
由y甲<y乙得，
0.27x+660<0.24x+780
解得：x<4000
∴当3000<x<4000时，甲厂更优惠，同理可知：当x>4000时乙厂更优惠
当x=4000时，甲乙两厂一样
方法总结：此题主要运用了分类讨论思想，讨论在不同的条件下两函数值的大小问题。

【课堂小结】
同学们，今天我们主要研究了一元一次不等式与一次函数的关系，主要讨论了利用图像解决实际问题、讨论两个一次函数的比较问题以及不等式与一次函数的结合问题。

【模拟试题】〔答题时间是：40分钟〕
1.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟每张收费0.4元.小彬经常来该店租碟，如每月租碟数量为x张.
〔1〕写出零星租碟方式应付金额y1与租碟数量x之间的函数关系式.
〔2〕写出会员卡方式应付金额y2与租碟数量x之间的函数关系式.
〔3〕小彬选哪种租碟方式更合算？
*2.某校餐厅方案购置12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场理解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元.甲商场称：每购置一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的八五折销售.那么，什么情况下到甲商场购置更优惠？
3.某要印制本校的录取通知书，有两个印刷厂来联络制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价元的8
折收费，另外收900元的制费；乙厂的优惠条件是：每份定价元的价格不变，而制费900元那么按6折优惠，且甲乙两厂规定：一次印刷数量至少是500份.
如何根据印刷数量选择比较合算的方案？假设要印刷2000份通知书，那么应中选择哪个印刷厂？需要多少费用？
4.某食品厂消费的一种巧克力糖每千克本钱为24元，其销售方案有如下两种：
〔方案一〕假设直接给本厂设在某的门部门销售，那么每千克售价为32元，但门部门每月需上交有关费用2400元.
〔方案二〕假设直接批发给本地超销售，那么出厂价为每千克28元.
假设每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品，设该厂每月销售量为x kg。

假设你是厂长，应如何选择销售方案，可使工厂当月所获利润更大？
*5.甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球.球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动：
甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球乙店：按定价的9折优惠
某校需购球拍4副，乒乓球x盒〔x≥4〕,应选择哪家商店购置合算？
6.某电信运营商有两种卡，A类卡收费HY如下：无月租，每通话1分钟交费0.6元；B类卡收费HY 如下：月租费50元，每通话1分钟交费0.4元。

①分别写出A、B两类卡每月应缴费用Y〔元〕与通话时间是x〔分〕之间的关系式；
②一个用户这个月预交话费200元，按A、B两类卡收费HY分别可以通话多长时间是？
③假设每月平均通话时间是为300分钟，你选择哪类卡？
每月通话多长时间是，A、B两类卡的费用一样？
【试题答案】
1、解：〔1〕y1=x〔2〕y2=0.4x+12
〔3〕由y1<y2得，x<0.4x+12x<20
由y1=y2得，x=0.4x+12x=20
由y1>y2得，x>0.4x+12x>20
∴当每月的租碟数量少于20张时，零星租碟方式廉价
当每月的租碟数量多于20张时，会员卡方式廉价
当每月的租碟数量等于20张时，两种租碟方式一样
2、解：设购置餐椅的数量为x把，由题意可知：
y甲=200×12+50〔x－12〕=50x+1800
y乙=×200××〔50x〕=4x+2040
由y甲<y乙得，50x+1800<4x+2040
x<32
当购置餐椅的数量少于32把时，到甲商场购置更优惠。

3、解：y甲×〔x〕+900=x+900
y乙=×900=x+540
当500<x<1200时，乙厂廉价，当x>1200时，甲厂廉价，当x=1200时，两厂一样，当x=2000时，选择甲厂，费用为：3300元
4、解：y1=〔32－24〕x+2400=8x－2400y2=〔28－24〕x=4x
当x<600时，方案二利润高
当x>600时，方案一利润高
当x=600时，两种方案一样高
5、解：y甲=20×4+5〔x－4〕=5x+60
y乙×〔20×4+5x〕=x+72
当x<24时，甲店廉价
当x>24时，乙店廉价
当x=24时，两店一样廉价
6、解：①Y A=0.6xY B=0.4x+50
②A约为333分钟、B为375分钟
③假设每月平均通话时间是为300分钟，应选B卡，250分钟时A、B两类卡的费用一样。