2020版人教A版高中数学必修五导练课件：3.1 不等关系与不等式

①作商法比较大小的三个步骤
作商变形;与1比较大小;得出结论. ②作商法比较大小的适用范围. 要比较的两个数同号;比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大 小时,常用作商法.
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课堂探究·素养提升
题型一 用不等式(组)表示不等关系
[例1]某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需 要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,请写出满足上述所有不等关系的不 等式.
b
b
当 a=b 时, a =1,a-b=0,则( a )a-b=1,所以 aabb=abba;
b
b
当 b>a>0 时,0< a <1,a-b<0,则( a )a-b>1,所以 aabb>abba.
b
b
综上所述,当 a>0,b>0 时,aabb≥abba,当且仅当 a=b 时,等号成立.
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方法技巧 用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不 等式性质证明.要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以( 除以)一个常数,一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的等.
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即时训练 3-1:(2019·河南洛阳高二训练)(1)已知 a<b<0,求证: b < a ; ab
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即时训练1-1:一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来
多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为
.
解析:因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的 路程为(x+19)km,则在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天 内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x+19)>2 200来表示. 答案:8(x+19)>2 200
则混合后的浓度为 a1 a2 ,所提炼出的不等式为 b1 b2
若 b1>a1>0,b2>a2>0,且 a1 < a2 ,则 a1 < a1 a2 < a2 .
b1 b2
b1 b1 b2 b2
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题型二 数式的大小比较 [例2](1)已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
[备用例 2]已知 a,b 为正实数,试比较 a + b 与 a + b 的大小. ba
解:法一 (直接作差)
( a + b )-( a + b )=( a - b )+( b - a )
ba
b
a
2
= ab + ba = a b
a b .
b
a
ab
因为 a>0,b>0,所以 a + b >0,( a - b )2≥0, ab >0,
方法技巧
(1)作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 ①作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论. ②变形的方法:因式分解;配方;通分;对数与指数的运算性质;分母或分子有理 化;分类讨论. (2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式 的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子.
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即时训练2-1:已知x>1,比较x3+6x与x2+6的大小. 解:(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6 =x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6).
因为x>1,
所以(x-1)(x2+6)>0, 所以x3+6x>x2+6.
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第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
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课标要求
1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的 不等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系. 2.会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小. 3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质解决问题.
素养达成 通过对不等关系与不等式的学习,培养学生数学抽象与逻辑 推理能力.
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新知导学
课堂探究
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新知导学·素养养成
1.比较实数a,b的大小
(1)文字叙述
如果a-b是
,正那数么a>b;
如果a-b 等于,那零么a=b;
如果a-b是 负数,那么a<b.反过来也对.
(6)同向同正可乘性:
a c
b d
0 0
⇒
ac>bd
.
(7)可乘方性:
a n
b0 N,n
1
⇒
an>bn.
(8)可开方性:
a n
b0 N,n
2
⇒
nanb
.
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思考2:应用不等式的性质时,要注意什么问题? 答案:(1)同向不等式不能相减. (2)异向不等式不能相加.
ab
ab
ab
而 a>b,所以 b-a<0,所以 ab>0.
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[备用例 3](1)(2019·安徽合肥检测)给出下列结论: ①若 a<b,则 ac2<bc2;
②若 1 < 1 <0,则 a>b; ab
③若 a>b,c>d,则 a-c>b-d;
④若 a>b,c>d,则 ac>bd.
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2.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔
. b<a
(2)传递性:
a b
b
c
⇒
a>c
.
(3)可加性:
a c
b R
⇒
Байду номын сангаасa+c>b+c.
(4)可乘性:
a c
b
0
⇒
ac>bc,
a c
b
0
⇒
ac<bc.
(5)同向可加性:
a c
b d
⇒
a+c>b+d.
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b
d
证明:(1)因为a>b,c>0,
所以ac>bc,所以-ac<-bc. 因为f<e,所以f-ac<e-bc.
(2)因为 bc-ad≥0,所以 ad≤bc,又 bd>0,
所以 a ≤ c ,所以 a +1≤ c +1,所以 a b ≤ c d .
bd
b
d
b
d
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a
b
③因为c>d,所以-c<-d,又a>b,两个不等式的方向不同向,不能相加,所以
a-c>b-d错误;
④当a=3,b=2,c=-3,d=-4时满足条件,但ac>bd不成立,故④错误.
答案:②
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(2)(2019·太原高二检测)已知 a>b>0,c<d<0,求证: 3 a < 3 b . dc
解:(1)设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为x t,y t. 由题意知,有如下不等关系:
①消耗A种矿石总量不超过300 t;
②消耗B种矿石总量不超过200 t; ③煤的消耗总量不超过360 t;
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④甲、乙两种产品数量均为非负数,
10x 4 y 300,
所以列不等式组为
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[备用例1](1)(2019·临沂高二检测)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产 品1 t需消耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t;生产乙种产品1 t需消耗A种矿石4 t 、B种矿石4 t、煤9 t.工厂现有A种矿石300 t、B种矿石200 t、煤360 t,写出满足 上述所有不等关系的不等式(组).
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(2)(2019·枣庄高二检测)设a>0,b>0,试比较aabb与abba的大小.
解:(2)因为 a>0,b>0,所以 aabb>0,abba>0,所以 aabb =aa-b·bb-a=( a )a-b.
abba
b
当 a>b>0 时, a >1,a-b>0,则( a )a-b>1,所以 aabb>abba;
(2)已知 a>b, 1 < 1 .求证:ab>0. ab
证明:(1)因为 a<b<0,所以-a>-b>0, 所以(-a)2>(-b)2,ab>0,
所以 a2 > b2 ,故 a > b ,即 b < a . ab ab b a a b
(2)因为 1 < 1 ,所以 1 - 1 <0,即 b a <0,
其中正确的结论的序号是
.
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(1)解析:①当c≠0时,由a<b,可得ac2<bc2,当c=0时,由a<b,得不出 ac2<bc2,故①错误; ②因为 1 < 1 <0,所以 a<0,b<0,所以 ab>0,
ab
所以 1 ·ab< 1 ·ab,即 a>b,②正确;
ba
ab
又 a>0,b>0,
所以 a ba b2 ≥0,
ab
而 a + b >0, a + b >0,故 a + b ≥ a + b .
ba
ba
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题型三 不等式的性质及应用
[例 3](1)已知 a>b,e>f,c>0.求证:f-ac<e-bc;
(2)若 bc-ad≥0,bd>0.求证: a b ≤ c d .
5x 4x
4 9
y y
200, 360,
x 0, y 0.
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(2)糖水是日常生活中很普通的东西,下列关于糖水浓度的问题,同学们能分别提炼 出怎样的不等式? ①如果向一杯糖水里添上点儿糖,“糖水加糖变甜了”;
解:(2)①设糖水有 b 克,含糖 a 克,浓度为 a ,添入 m 克糖后的浓度为 a m ,
(3)两边同乘或除以一个负数,不等号要改变方向.
(4)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd与a>b,c>d ac>bd易混淆,其中,应注意它们的区 别,前一个各项为正,后一个没有明确正负,故不成立.
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名师点津 (1)关于a≥b和a≤b的含义 ①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不 小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确. ②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不 大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确. (2)作商法比较大小的步骤及适用范围
(2)符号表示 a-b>0⇔a > b; a-b=0⇔a = b; a-b<0⇔a < b.
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思考1:不等关系与不等式有何区别? 答案:(1)不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用文字:大于、小于、不等于、 大于或等于、小于或等于或符号:>、<、≠、≥、≤表示. (2)不等式则是用不等符号来表示不等关系的式子,可用“a>b”“a<b”“a≠ b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.
解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车的辆数分别为 x,y,
4x 9 y 100,
则
x y
5, 6,
x, y N*.
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方法技巧
用不等式(组)表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系; (2)找出体现不等关系的关键词:至少、至多、不少于、不多于、超过、不超 过等,用代数式表示相应各量,并用不等号连接,特别需要考虑的是“≤”“≥” 中的“=”能否取到. (3)注意变量的实际意义,如体积、面积、长度、重量等均为非负实数.
b
bm
则提炼出的不等式为
若 b>a>0,m>0,则 a < a m . b bm
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②把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡 .
解:②设淡糖水有 b1 克,含糖 a1 克,浓度为 a1 , b1
浓糖水有 b2 克,含糖 a2 克,浓度为 a2 , b2
2
a b 所以
a b ≥0,所以 a + b ≥ a + b .
ab
ba
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法二 (平方后作差)
( a + b )2= a2 + b2 +2 ab ,( a + b )2=a+b+2 ab , b a ba
所以( a + b )2-( a + b )2= a ba b2 ,
解:(1)x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1) =x2(x-1)-(x-1)2 =(x-1)[(x- 1 )2+ 3 ].
24
因为 x>1,所以 x-1>0,又(x- 1 )2+ 3 >0, 24
所以(x-1)[(x- 1 )2+ 3 ]>0,所以 x3-1>2x2-2x. 24