高中数学1数列的概念及其函数特性1-1数列的概念北师大版选择性必修第二册

(-1)
项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为 an=×(+1),n∈N+.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考
虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)这个数列的前 4
7
×
(1
9
7
无穷数列
项数无限的数列
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1){0,1,2,3,4,5}是有穷数列.( × )
(2)按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.( √ )
(3)-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列.( × )
(4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.( × )
知识点1 数列及其有关概念
具有次序性,与集合中的元素性质不同
1.按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列
的 项 .数列中的每一项都和它的序号有关,各项依次叫作这个数列
第1项
叫数列的 首项
第2项
第n项 ,…,其中数列的第1项也
,第n项也叫数列的 通项 .
a1,a2,a3,…,an,…
解析 数列{an}的通项公式为an=n2-n=n(n-1),在所给选项中,只有40不是相
邻两个自然数的乘积,故选B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数列的概念与分类
【例1】下列各式哪些是数列?若是数列,哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?
(1){0,1,2,3,4};
(2)0,1,2,3;
(3)0,1,2,3,4,…;
2 3 4
1 9
(2) ,2, ,8,…;
2 2
22 -1 32 -2 42 -3 52 -4
(3)
,
,
,
,…;
1
3
5
7
(4)9,99,999,9 999,….
解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项
为负,所以它的一个通项公式为
(-1)+1
an=
,n∈N+.

过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)1,1,1,1是一个数列.( √ )
(2)数列0,1,3与数列3,1,0是同一个数列.( × )
(3)数列1,3,5,7,…的首项是1.( √ )
2.数列与集合之间有怎样的区别与联系?
提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
解 (1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的
第16项.
(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1.
又因为n∈N+,故从第7项开始各项都是正数.
1 2 3 4 5
000-1),9×(10
一个通项公式为
7
7
7
7
项可以变为 ×9, ×99, ×999, ×9
9
9
9
9
7
7
999,即 ×(10-1), ×(100-1),
9
9
7
7
7
7
2
3
000-1),即9×(10-1),9×(10 -1),9×(10 -1),9×(104-1),所以它的
7
an=9×(10n-1),n∈N+.
B.sin7 ,sin 7 ,sin 7 ,…,sin 7 ,…
1 1 1
1
C.-1,-2,-4,-8,…,- -1 ,…
2
D.1,√2, √3,…,√,…
1 2 3 4 5
4.已知数列√3, √7, √11, √15,…,则该数列的一个通项公式
是 an=√4-1(n∈N+) ,5√3是该数列的第
2.数列的一般形式可以写成
,或简记为数
列 {an}
.
的
,
,…,
名师点睛
1.数列是按一定的“次序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同
而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3与3,2,1就是不同的数列.
2.符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
+1= .
4
4
5
5
(2)令
2 +3
31
an= +1= 3 ,解得
n=9 或
1
n=3(舍去),
31
因此, 是该数列中的项,并且是该数列的第
3
9 项.
规律方法 数列中项的判定方法
4
变式训练3已知数列的通项公式为an= 2 + 3 .
(1)写出数列的前3项.
1
16
(2) 和 是不是它的项?如果是,是第几项?
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)数列的通项公式就是相应函数的解析式.( √ )
(2)每个数列都有通项公式.( × )
(3)数列的通项公式的形式是唯一的.( × )
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n,则下列各数中不是数列中的项的是
( B )
A.2
B.40 C.56 D.90
31
的方程,可判断 是不是数列中的项.
3
,解关于n
解 (1)因为
9
a1=5,a2= ,a3=5,
2
+ + = 5,
所以
4+
+

2
9+
+
3
= 1,
2 +3
=
解得 = 3,所以 an=
+1.

= 1,
= 5,
9
,
2
所以
42 +3
23
52 +3
33
a4=
+1= ,a5=
19
项.
解析 由给出的前几项可归纳出 an= 4-1(n∈N+).故由 4-1=5√3 = √75,
得 4n-1=75,所以 n=19,即 5√3是该数列的第 19 项.
1 2 3 4 5
5.已知数列an=n2-7n+6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由.
的,{1,3,5,7}是一个集合;D是正确的.
1 2 3 4 5
2.已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,那么9是它的( C )
A.第10项
B.第4项
C.第3项
1 2 3 4 5
D.第2项
3.(多选题)下面四个数列中,是无穷数列的是(BCD)
1 1 1
A.1,2 , 3 , 4
π
2π
3π
π
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列
课标要求
表、图象、通项公式).
2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任何一项.
3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式.
基础落实·必备知识全过关
10 27
解 (1)数列的前 3 项:a1=
4
2
=1,a2=
1 +3×1
4
(2)令 2
+3
=
1
,则 n2+3n-40=0,解得
10
4
2
2 +3×2
=
4
10
n=5 或 n=-8,
注意到 n∈N+,故 n=-8 舍去.
1
所以10是数列的第
5 项.
4
令2 +3
2
注意到
=
16
,则
27
4n +12n-27=0,解得
1 2
-1
②0, , ,…, ,…;
2 3

1 1
1
③1, , ,…, -1 ,…;
2 4
2
④9,9,9,9,9,9.
解析 ①④项数有限,是有穷数列.
①④
.
探究点二
由数列的前几项写出数列的一个通项公式
【例2】 写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
1 1 1
(1)1,- , ,- ,…;
确定性、有序性、可重复性;
(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中
的每一项必须是数;
(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列
a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
知识点2 数列的分类
分类标准
按项的个数
名称
含义
有穷数列
项数有限的数列
(2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察,即
1 4 9 16
2
, , , ,…,所以它的一个通项公式为 an= ,n∈N+.
2 2 2 2
2
(3)数列中的每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式
为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,
应函数的解析式.
数列是一种特殊的函数
名师点睛
1.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+(或其子集){1,2,…,n}为定
义域的函数表达式.
2.并不是所有的数列都有通项公式.
3.同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,
1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
解析 A是错误的,例如无穷个3构成的数列3,3,3,……各项都是3;B是错误的,
数列-1,0,1与数列1,0,-1中项的顺序不同,即表示不同的数列;C是错误
探究点三
【例 3】 已知数列
数列通项公式的应用
9
5, ,5,…的通项公式是
2
2 +
an=
+c.

(1)求a4,a5;
(2)判断 31是不是该数列中的项.
3
分析数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于a,b,c的方程组,解方
31
程组即得a,b,c的值,从而求出数列的通项公式,再求a4,a5;令an= 3
变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,继而将an表示为n的函数关
系.
变式训练2写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
1
1
1
1
(1),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)7,77,777,7 777,….
解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数,并且奇数
2.如何区分一个数列是有穷数列还是无穷数列?
提示 根据数列中的项数进行区分,如果数列中项数是有限个,则为有穷数
列;项数是无限个,则为无穷数列.
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成
an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相
3
n=2或
16
n∈N+,所以27不是此数列中的项.
9
n=-2,
=
2
4
,a3= 2
5
3 +3×3
=
4
18
=
2
.
9
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)数列的概念与分类.
(2)数列的通项公式.
2.方法归纳:观察法、归纳法.
3.常见误区:忽视数列中项的顺序性.
成果验收·课堂达标检测
1.下列有关数列的说法正确的是( D )
分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合可得原数列的一
(+1)2 -
个通项公式为an=
2-1
(4)an=10n-1.
=
2 ++1
,n∈N+.
2-1
规律方法
要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数
列中项的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的
(4)1,-1,1,-1,1,-1,…;
(5)6,5)是数列;(2)(5)是有穷数列,(3)(4)是无穷数列.
规律方法 判断数列是有穷数列还是无穷数列,就是根据数列的项数的有
限性或无限性.
变式训练1下列数列是有穷数列的序号为
①2 010,2 012,2 014,2 016,2 018;