全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)

全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结
(超全)
单选题
1、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）
A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}
C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}
答案：B
分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+bx+ c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；
由题得{a<0
−1+4=−b
a
−1×4=c
a
,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；
设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；
不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.
故选：B
2、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=
A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}
答案：C
分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则
M∩N={x|−2<x<2}．故选C．
小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
3、已知1
a <1
b
<0，则下列结论正确的是（）
A．a<b B．a+b<ab
C．|a|>|b|D．ab>b2
答案：B
分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
因为1
a <1
b
<0，所以b<a<0，故A错误；
因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；
因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；
ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误. 故选：B
4、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当
a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
5、下列命题正确的是（）
A．若ac>bc，则a>b
B．若ac=bc，则a=b
C．若a>b，则1
a <1
b
D．若ac2>bc2，则a>b
答案：D
分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.
对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；
对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误；
对于C ，当a >0>b 时，1a >0>1b ，C 错误； 对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确.
故选：D.
6、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（ ）
A ．a +1b <b +1a
B ．2a+b a+2b <a b
C ．b a−c >a b−c
D ．√c a 3<√c b 3 答案：B
分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断
解：对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b ，所以a +1b >b +1a ，所以A 错误，
对于B ，因为a >b >0，
所以2a+b a+2b −a b =
(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0， 所以2a+b a+2b <a b ，所以B 正确，
对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c
=13<a b−c =1，所以C 错误， 对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√c b
3=−1，所以D 错误， 故选：B
7、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1
，则4a +2b 的取值范围是（ ） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]
答案：C
分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果.
设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2
， 解得{A =3B =1
，4a +2b =3(a +b )+a −b ， 因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1
， 所以2≤4a +2b ≤10.
故选：C.
8、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4
答案：A
分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.
∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，
∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，
解得：m⩽1，
∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，
∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，
∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，
解得：m=−1或m=4(舍去).
故选：A.
9、下列说法正确的为（）
A．x+1
x
≥2
B．函数y=2
√x2+3
的最小值为4
C．若x>0,则x(2−x)最大值为1
D．已知a>3时，a+4
a−3≥2√a⋅4
a−3
，当且仅当a=4
a−3
即a=4时，a+4
a−3
取得最小值8
答案：C
分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；
对于选项B,y=
2
√x2+3
2
√x2+3
=2√x2+3
√x2+3
，令√x2+3=t(t≥√3)，
即y=2t+2
t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3
√3
=8√3
3
,
则B不正确；
对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；
对于选项D,当a>3时，a+4
a−3=a−3+4
a−3
+3≥2√(a−3)⋅4
a−3
+3=7，当且仅当
a−3=4
a−3
时，即a=5，等号成立，则D不正确.
故选：C.
10、前后两个不等式解集相同的有（）
①x+5
2x−1
≥0与(2x−1)(x+5)≥0
②x+5
2x−1
>0与(2x−1)(x+5)＞0
③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0
④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0
A．①②B．②④C．①③D．③④
答案：B
分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.
对于①，由x+5
2x−1≥0可得{
2x−1≠0
(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>
1
2
或x≤−5.
(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥1
2
或x≤−5}，故①不正确；
对于②，由x+5
2x−1>0可得{
2x−1≠0
(x+5)(2x−1)>0，解得：x>
1
2
或x<−5.
(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>1
2
或x<−5}，故②正确；
对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥1
2
}，
(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥1
2
或x≤−5}，故③不正确；
对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>1
2
}，
(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>1
2
或x<−5}，故④正确；
故选：B.
填空题
11、函数y=3x+1
x−1
(x>1)的最小值是_____
答案：3+2√3
分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值.
因为x >1，则x −1>0，
所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，
当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =
3+√33时，等号成立. 所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.
所以答案是：3+2√3.
12、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________.
答案：10≤V ≤40
分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.
第一次操作后，利下的纯药液为V −10，
第二次操作后，利下的纯药液为V −10−
V−10V ×8，由题意可知： V −10−V−10V ×8≤V ⋅60%⇒V 2−45V +200≤0⇒5≤V ≤40，
因为V ≥10，所以10≤V ≤40，
所以答案是：10≤V ≤40
13、已知∀a ∈[0,2]时，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案：(−2,−1)
分析：由题意构造函数关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则可得{f(0)<0f(2)<0
，从而可求出x 的取值范围.
由题意，因为当a ∈[0,2]，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，
可转化为关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，
则f (a )<0对任意a ∈[0,2]恒成立，
则满足{f(0)=x +1<0f(2)=2x 2+2x −3+x +1<0
， 解得−2<x <−1，
即x 的取值范围为(−2,−1)．
所以答案是：(−2,−1)
解答题
14、若x ,y 为正实数,且2x +8y −xy =0,求x +y 的最小值.
答案：18
解析：首先已知条件变形为8x +2y =1，再化简x +y =(x +y )(8x +2y )，利用基本不等式求最小值.
2x +8y −xy =0⇒8x +2y =1 x +y =(x +y )(8x +2y )=8+8y x +2x y +2=10+(8y x +2x y
)≥10+2×4=18 (当8y x =2x y 时取“=”)
所以x +y 的最小值是18.
小提示：本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意.
15、解关于x 的不等式ax 2−2≥2x −ax (a ∈R )．
答案：详见解析.
分析：分类讨论a ，求不等式的解集即可.
原不等式变形为ax 2+(a −2)x −2≥0．
①当a =0时，x ≤−1；
②当a ≠0时，不等式即为(ax −2)(x +1)≥0，
当a >0时，x ≥2a 或x ≤−1；
由于2a −(−1)=a+2a ，于是
当−2<a <0时，2a ≤x ≤−1；
当a =−2时，x =−1；
当a<−2时，−1≤x≤2
．
a
,+∞)；
综上，当a=0时，不等式的解集为(−∞,−1]；当a>0时，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2
a
,−1]；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为当−2<a<0时，不等式的解集为[2
a
[−1,2
]．
a。