计算力学 有限单元法 清华大学 王勖成

0.5 本课程的内பைடு நூலகம்与要求
1. 计算力学（1）包括： 第1章 有限单元法的理论基础 ——加权余量法和变分原理 第2章 弹性力学问题有限单元法的 一般原理和表达格式
第3章 线性代数方程组的解法 第4章 单元和插值函数的构造 第5章 等参单元和数值积分 第6章 有限单元法应用中的若干实际考虑
2. 学习的形式 1）课堂讲授（48学时＋8学时辅导） 2）作业习题（概念和算法的练习） 3）自选论文（程序） 程序实践，要求写出程序报告。
增压风洞的第1阶模态
f = 10.36 Hz
0.3.2 对各种复杂材料细观结构的 分析
Voronoi单元的特点
充分考虑夹杂的微 观结构特点
夹杂随机分布 夹杂大小正态分布 夹杂形状任意
能计算宏观结构变 形 便于分析微观结构 变化对宏观性能的 影响
单元脱层过程的模拟
脱层断裂准则 网格重划分技术
复杂复合材料的损伤模拟
等著名学者著教材
计算力学（1）
—— 有限元方法与数值分析
授课教师：牛莉莎
Chap.0 绪论
计算力学的定义
以现代力学、应用数学为基础，以计算机及 其技术为工具，以求解现代工程和科技中的 力学问题为目标。研究离散化理论和求解方 程的一门应用基础性学科。它伴随计算机的 出现而兴起，现仍在快速发展的学科。
课程设置目标及主要内容
课程设置的目标
使学生掌握扎实的理论基础， 掌握有限单元法的原理、方法和计算机执行； 另一方面培养学生很强的实践动手能力， 包括建模、求解、使用和开发程序的能力。
0.1. 有限元方法 Finite Element Method
0.1.1 有限元方法是一种 关于微分方程的数值解的方法； 微分方程的数值解的方法
关于程序训练 通常安排在第5或第6周开始上机训练， 读懂程序（Fortan）, 利用程序计算简单的 算例 (输入数据文件，约束条件， 精度分析等等)，完成上机报告。
3.考核方法 平时习题 自选论文(程序实践) 考试
期中考试 期末考试 20％ 40％
10% 30% 60%
教材和教材参考书： 教材： 有限单元法 FINITE ELEMENT METHOD
有限元法的特点有限元法的特点031031对复杂几何构件的适应性对复杂几何构件的适应性铸造机上的銯杠沙河口号载驳船在弯扭联合作用下的结构应力变形有限元分析新型号飞机研究的主要地面实验设备风洞强度与振动增压风洞的第增压风洞的第阶模态阶模态1036hz1036hz032032对各种复杂材料细观结构的对各种复杂材料细观结构的分析分析voronoivoronoi单元的特点单元的特点充分考虑夹杂的微充分考虑夹杂的微观结构特点观结构特点夹杂随机分布夹杂随机分布夹杂大小正态分布夹杂大小正态分布夹杂形状任意夹杂形状任意能计算宏观结构变能计算宏观结构变便于分析微观结构便于分析微观结构变化对宏观性能的变化对宏观性能的影响影响单元脱层过程的模拟单元脱层过程的模拟脱层断裂准则脱层断裂准则网格重划分技术网格重划分技术复杂复合材料的损伤模拟复杂复合材料的损伤模拟解析单元嵌入有限元中跨尺度计算或称多尺度计算033033对于各种物理问题的对于各种物理问题的可应用性可应用性有限元法求解的是物理问题的控制方程有限元法求解的是物理问题的控制方程对线弹性弹塑性问题粘弹塑性问题对线弹性弹塑性问题粘弹塑性问题动力问题屈曲问题热传导问题动力问题屈曲问题热传导问题均可以进行有效的分析均可以进行有效的分析针对不同物理问题的控制方程针对不同物理问题的控制方程未知场函数未知场函数选用合适的单元形函数选用合适的单元形函数相应的求解方法相应的求解方法034034建立于严格理论基础的可靠性建立于严格理论基础的可靠性控制方程微分方程控制方程微分方程加权余量法变分原理等效的积分形式等效的积分形式有限元求解方程有限元求解方程近似解收敛于精确解近似解收敛于精确解035035适合计算机实现的高效性适合计算机实现的高效性有限元法
0.4 有限元法的发展、现状和未来
1 有限元法的早期工作
1943 Courant从应用数学角度的考虑 1956 Turner、Clough等将刚架位移法 推广到弹性力学平面问题 1960 Clough第一次提出了“有限单元法” （ The finite element method ）
2 有限元的发展和现状
0.3.4 建立于严格理论基础的可靠性
控制方程（微分方程）
变分原理 加权余量法
等效的积分形式
单 元 满 足 收 敛 准 则
有限元求解方程
求 解 算 法 稳 定
近似解收敛于精确解
0.3.5 适合计算机实现的高效性
有限元法： 单元、形函数等的规范化 求解方程矩阵形式的规范化 适合计算机程序的编制和执行 计算机软、硬件的飞速发展
王勖成编著 清华大学出版社
教学参考资料：Zienkiewicz The finite element method Bathe Finite element procedures Batoz Modelisation des Structures
par La Medod Elements Finites
有限元所求解的微分方程 主要 ∈ 椭圆方程(定常态物理现象)
例如：
弹性力学中的平衡问题、 位势场(静电磁场、引力场等) 无粘性流体的无旋运动、 亚声速流及渗流问题， 热传导问题中的温度分布， 扩散中的浓度分布及导体中的电子密度分布…… (椭圆型方程的定解问题)
0.1.2 有限元方法在当今的工程分析中 获得最为广泛应用；
（1）单元的类型与形式 （2）有限元法的理论基础与离散格式 （3）有限元方程的解法
3 有限元法的未来
1. 为真实模拟新材料、新结构的行为， 发展单元类型、新材料本构。 2. 为分析、模拟各类形式的结构在复杂工矿和 环境作用下的全 寿命过程的响应。 3. 有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同 集成完整的虚拟产品发展系统
0.1.3 有限元方法伴随着计算机科学 和技术得到快速发展。
0.2.有限元方法的要点
0.2.1 连续求解域离散为有限个子域 (单元) 这些有限个子域通过它们边界上 的结点相互联接成为组合体。
三维实体
板
壳
直梁
曲梁
三维实体
板
壳
直梁
曲梁
二维连续体不同单元的离散
工程问题的离散
0.2.2 求解离散域的未知场函数 未知场函数由结点参数 和插值函数表示。
解析单元嵌入有限元中
跨尺度计算 或称多尺度计算
0.3.3 对于各种物理问题的 可应用性
有限元法求解的是物理问题的控制方程， 对线弹性，弹塑性问题，粘弹塑性问题， 动力问题，屈曲问题，热传导问题， ……， 均可以进行有效的分析
针对不同物理问题的控制方程 未知场函数 选用合适的单元、形函数 相应的求解方法
0.2.3 对原问题的数学模型 (微分方程、边界条件)求解
实质求解与微分方程相等效的积分形式 变分原理或加权余量法
0.3.有限元法的特点
0.3.1 对复杂几何构件的适应性
铸造机上的銯杠
“沙河口”号载驳船在弯扭联合作用 下的结构应力－变形有限元分析
新型号飞机研究的主要地面实验设备 －风洞－ 强度与振动