第二章习题课线性代数

a x1 b x 3 1, c d 0, x3 x1 则有 a x 2 b x 4 0, c x 2 d x 4 1.
23
a x1 b x 3 1, c d 0, x3 x1 则有 a x 2 b x 4 0, c x 2 d x 4 1.
2
解
n1 1 1 原式 n 1
1

n1 1
1 1 n 1
2
17
n1 1 1 n 1
2
1 1

n1
n1 1 1 n 1 1
方阵的行列式：
满足:
k 1
a1 A a0 E
1 AT A;
2 A n A;
3 AB A B
7
一些特殊的矩阵: 转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 A 的转置矩阵,记 A . 新矩阵,叫做
满足：1 A
T

T
A;
T T T T
a
k 1
s
பைடு நூலகம்ik
b kj
( i 1,2, , m; j 1,2, n)
5
乘法满足 ( AB )C A( BC );
( AB ) (A) B A(B ), (其中为数);
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
E m Amn Amn Amn E n .
第二章 矩阵及其运算 习题课
主要内容 典型例题
1
第二章
一. 矩阵概念
矩阵
二. 矩阵的基本运算
三. 逆矩阵
四. 矩阵的分块
2
a1 n (1)矩阵的概念 a2n a mn 方阵 m n ; a12 a 22 am1
(2) 特殊矩阵
1. 矩阵概念
22
2、逆矩阵的运算及证明
例4
a b 求 (ad bc 0)的逆矩阵. c d 解 方法一 用定义求逆阵 x1 x 2 1 设 , 由 A1 A E , 得 A x 3 x4 a b x1 c d x 3 x2 1 0 , x4 0 1
A1 B，B 1 A 则A、B都可逆，且
11
满足规律： A ) A, (
1
1
( A)
1
1

A ( 0)
1 1
(A ) (A ) ,
1
T
T 1
A
1
A
若同阶方阵A与B都可逆, 那么AB也可逆, 且 ( AB ) B 1 A1 .
1
逆矩阵求法： （1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法(下一章讲)
由此得
f ( A) A2 (a d ) A (ad bc) E
19
f ( A) A2 (a d ) A (ad bc) E
ab bd a b (a d ) 2 bc d c d 1 0 (ad bc) 0 1 0 0 , 0 0
12
AX B, XA B, AXB C , 解矩阵方程 其中 A, B均为可逆矩阵。
注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。
矩阵方程 解
AX B XA B
同而常数项分别为单位 矩阵的各列的 元方程组. n
用伴随矩阵法
1
A
d 1 1 A c A ad bc
b a
24
AX B, XA B, AXB C , 例5: 解矩阵方程 其中 A, B均为可逆矩阵。
注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。
15
典 型
例 题
一、矩阵的运算
二、逆矩阵的运算及证明 三、矩阵的分块运算
16
1、矩阵的运算 例１ 计算
1 n1 n n 1 n1 n n 1 1 1 n n n 1 n 1 n n 1 n n n
2 A B A B ; 3 A A ; 4 AB B A .
T T T T
对称矩阵和反对称矩阵：
A是对称矩阵 A是反对称矩阵
AT A A A
T
幂等矩阵： 为n阶方阵且 A2 A A
8
伴随矩阵：
行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成的如下矩阵
AXB C
X A1 B X BA1 X A1 C B1
13
4. 矩阵的分块.
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本, 最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。 (1) 加法: 同型矩阵, 采用相同的分块法
(2) 数乘: 数k乘矩阵A, 需k乘A的每个子块
数乘满足 ( ) A ( A);
( ) A A A; ( A B ) A B .
矩阵与矩阵相乘： A (a ij )ms, B (bij )sn, 设 规定 AB C (c ij )mn,
其中 c ij a i 1b1 j a i 2b 2 j a is b sj
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
6
A是n 阶方阵， Ak A A A 方阵的幂：

k个
并且 方阵的多项式：
k

A A A k m A Amk （m,k为正整数）
m k
mk
f ( x ) ak x k ak 1 x k 1 a1 x a0
f ( A) ak A ak 1 A

1
n1 1 1 n 1
1

1
(n 1)2 1 1 1
(n 1)2 (n 1)
(n 1)(n 1 1)
n(n 1)
n n( n 1) n( n 1) 1 n 2 n n n
即f ( A) 0.
a 2 bc ac cd
20
1 0 0 1 0 0 AP PB , B 0 0 0 , P 2 1 0 例3：已知 0 0 1 2 1 1 5 求A与A .
解： P 0
1 n1 n n 1 n1 n n 1 1 n n
n n( n 1)
(n 1) (1) (1) (n 1) 1 1
n
1 n 1 n n 1 n
1 d A ad bc c
1
d x1 ad bc , b , x2 ad bc 解得 c x3 , ad bc a b . . x4 ad bc a
注 方法二
依定义求A的逆, 实质上是求解 个系数相 n
0 0 0
0 0 B 1
B5 B
A5 PB 5 P 1 PBP 1 A
又 P 1 1 2 4 0 1 1 0 0 1
1 0 0 A5 A 2 0 0 6 1 1
1 交换律：A B B A.

2结合律（A B） C A (B C ).
3 A O A,其中A与O是同型矩阵.
4 A A O .
4
数与矩阵相乘：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为 A A ( aij )
10
3. 逆矩阵
(1)定义：
A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 1 1 A (2)判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A A 推论： 设A、B为同阶方阵，若AB E ,
矩阵方程 解
AX B XA B
AXB C
X A1 B X BA1 X A1 C B1
25
3、矩阵的分块运算
A 0 设A, B都是n阶可逆矩阵, 证明D 例５ C B 必为可逆矩阵, 并求D的逆矩阵.
证
因为det D det A det B 0( A, B均可逆,
2(n 1) (n 2) n
18
a b 例２ 设A , 试将f ( ) E A 写成的 c d 多项式, 并验证f ( A) 0. a b 解 f ( ) E A c d
2 (a d ) ad bc,
P 1存在
A PBP 1
A2 PBP 1 A
3 2
PB P PBP PB P
1 1 3
PBP 1 PB2 P 1
1
A5 PB 5 P 1
21
1 2 又 B 0 0
0 0 0
0 1 0 , B3 0 0 1
A1 O A2 A A A A . 1 2 s A O As A可逆 Ai 可逆i 1,2,, s且
A1 diag A11 , A2 1 ,, As1 .
A1－1 －1 O A2 A O －1 As
a11 a 21 A a m1

零矩阵. 行矩阵与列矩阵; 上(下)三角矩阵
对角矩 阵;数量矩阵； 单位矩阵;
3
(3)矩阵的应用实例
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足
(3) 乘法:
若A与B相乘, 需A的列的划分与B的划分相一致 (4) 转置: T T A11 As1 A11 A1r T A A AT AT 14 As1 A sr sr 1r
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
A11 A12 A A 1n

A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
AA A A A E .
9
注意
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算 不同.