无锡市期末模拟A卷2020-2021学年九年级数学上学期期末考试全真模拟卷(江苏地区专用)(解析版)

2020—2021学年无锡市九年级第一学期数学期末模拟卷A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程9x 2﹣1＝0的根是（ ）
A ．x 1＝x 2＝3
B ．x 1＝3，x 2＝﹣3
C ．x 1=13，x 2=−13
D ．x 1＝x 2=13 【分析】利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵9x 2﹣1＝0，
∴9x 2＝1，
则x 2=19， 解得x 1=13，x 2=−13，
故选：C ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（3分）抛物线y ＝x 2﹣6x +4的顶点坐标是（ ）
A ．（3，5）
B ．（﹣3，5）
C ．（3，﹣5）
D ．（﹣3，﹣5） 【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标．
【解答】解：y ＝x 2﹣6x +4＝（x ﹣3）2
﹣5，
故抛物线y ＝x 2﹣6x +4的顶点坐标是：（3，﹣5）．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确进行配方运算是解题关键．
3．（3分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A ．r
B ．2√2r
C ．√10r
D ．3r
【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．
【解答】解：∵圆的半径为r，则扇形的弧长等于底面圆的周长，设圆锥的母线长为R，
则120πR
180
=2πr，
解得：R＝3r．
根据勾股定理得圆锥的高为2√2r，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．
4．（3分）如果一个扇形的半径是2，弧长是π
2
，则此扇形的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据l=nπr
180
，结合题意可得出扇形圆心角的度数．
【解答】解：∵扇形的弧长为π
2
，半径为2，
∴π
2=nπ×2
180
，
解得：n＝45°．
故选：B．
【点评】此题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长的公式，及公式中所含字母代表的含义．
5．（3分）在网页制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，8，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（）
A．中位数是8 B．众数是9
C．平均数是8.5 D．极差是5
【分析】分别利用中位数、众数、平均数及极差的定义求解后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、按从小到大排列为：7，8，8，8，9，9，9，10，中位数是：（8+9）÷2＝8.5，故A选项错误；
B、8出现了3次，次数最多，所以众数是8，故B选项错误；
C、平均数＝（7+10+9+8+8+9+9+8）÷8＝8.5，故C选项正确；
D、极差是：10﹣7＝3，故D选项错误．
故选：C．
【点评】考查了中位数、众数、平均数与极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】由“AC与⊙O相切于点A“得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB＝∠OBA．求出∠OAC 及∠OAB即可解决问题．
【解答】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
=25°，
∴∠OAB=180°−∠O
2
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（3分）下列命题是真命题的是（）
A．经过平面内任意三点可作一个圆
B．相等的圆心角所对的弧一定相等
C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线
D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和
【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；
C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；
D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大．
8．（3分）如图，Rt△AOB∽△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，将△COD 绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据相似三角形的判定定理证明△COB∽△DOA，得到∠OBC＝∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PM≤MS+PS，
∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴OC
OB =OD
OA
，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∴O、B、P、A共圆，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中点，
∴PS=1
2
AB＝5，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS=1
2
OB＝4，
∴MP的最大值是4+5＝9，
【点评】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE
；④△BEC的面积：△BFC 于F，下列结论：①∠AED＝150°；②△DEF∽△BAE；③tan∠ECD=DF
FB
的面积＝（√3+1）：2，其中正确的结论有（）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可
②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF＝∠ABE，即可判定
③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DF
，再与tan∠ECD＝tan30°作比较即可
BF
④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可
【解答】解：
∵△BEC为等边三角形
∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30°
∴在△ABE和△DCE中，
AB＝DC
∠ABE＝∠ECD
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠AEB＝∠DEC=180°−30°
2
=75°
∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150°故①正确
由①知AE＝ED
∴∠EAD＝∠EDA＝15°
∴∠EDF＝45°﹣15°＝30°
∴∠EDF＝∠ABE
由①知∠AEB＝∠DEC，
∴△DEF～△BAE
故②正确
过点F作FM⊥DC交于M，如图
设DM＝x，则FM＝x，DF=√2x
∵∠FCD＝30°
∴MC=√3x
则在Rt△DBC中，BD=√2⋅(√3+1)x
∴BF＝BD﹣DF=√2⋅(√3+1)x−√2x
则DF
BF =√2x
2(3+1−1)x
=√3
3
∵tan∠ECD＝tan30°=√3
3
∴tan∠ECD=DF
BF
故③正确
如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC=√3x，MC＝FG
∴FG=√3x
∵BC＝DC=(√3+1)x
∴BH=√3+1
2
x
∵∠EBC＝60°
∴EH =√3⋅
√3+12x ， ∴S △BEC
S △BFC =12⋅EH⋅BC 12⋅FG⋅BC =EH FG =√3⋅√3+12
x √3x =√3+12
故④正确
故选：A ．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．
10．（3分）已知函数y 1＝ax 2﹣2ax +c （a ＞0），y 2＝﹣ax 2
+2ax +c ，当0≤x ≤2时，2≤y 1≤3，则当0≤x ≤2时，y 2的最大值是（ ）
A ．﹣3
B ．2
C ．3
D ．4 【分析】由0≤x ≤2时，2≤y 1≤3，求出a 、c 的值，即可求解．
【解答】解：由题意得：当0≤x ≤2时，函数y 1在对称轴x ＝1时取得最小值，即y 1＝a ﹣2a +c ＝2①， 函数y 1在x ＝2时，取得最大值，即y 1＝4a ﹣4a +c ＝3②，
联立①②并解得：{a =1c =3
， 故y 2＝﹣ax 2+2ax +c ＝﹣x 2
+2x +3，
当0≤x ≤2时，y 2在对称轴处取得最大值，
∴当x ＝1时，y ＝4，
故最大值是4，
故选：D ．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和二次函数的最值问题，解题的关键在于通过y 1的信息，确定a 、c 的值，进而求解．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．（2分）如果m 是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的一个根，那么代数式2m ﹣m 2+7的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m 2﹣2m ﹣6＝0，
∴原式＝﹣（m 2﹣2m ）+7
＝﹣6+7
＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
12．（2分）已知，x
2=y
2
=z
5
，则3x−2y+z
2x
=7
4
．
【分析】设x
2=y
2
=z
5
=k，得出x＝2k，y＝2k，z＝5k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：设x
2=y
2
=z
5
=k，则x＝2k，y＝2k，z＝5k，
3x−2y+z
2x =6k−4k+5k
4k
=7
4
；
故答案为：7
4
．
【点评】此题考查了比例性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
13．（2分）某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为（1+x）2＝121 ．
【分析】等量关系为：1+第一轮传染的人数+第二轮传染的人数＝121，把相关数值代入即可求得所求方程．
【解答】解：∵1人患流感，一个人传染x人，
∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；
∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x，
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴可列方程为：（1+x）2＝121．
故答案为：（1+x）2＝121．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相关量的等量关系，易错点是得到第一轮的受传染人数和第二轮的受传染人数．
14．（2分）小明在同一时刻测量位于同一地点的旗杆和建筑物在太阳光下的影长，测得旗杆的影长为3m，建筑物的影长为30m，已知旗杆的高为4m，则这个建筑物高为40 m．
【分析】根据同一时刻同一地点的物高与影长成正比即可求得答案．
【解答】解：设建筑物的高为x米，
根据题意得：x
30=4
3
，
解得：x＝40，故答案为：40．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
且a≠0 ．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，则a的取值范围是a≥−16
7【分析】直接利用根的判别式进行计算，“图象和x轴有交点”说明△≥0，a≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，
∴△＝b2﹣4ac＝64+28a≥0，
，其中a≠0．
∴a≥−16
7
且a≠0．
故答案为：a≥−16
7
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，易错点是漏掉a≠0，主要考查的是根的判别式的应用．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝35 °．
【分析】如图，连接AD．证明∠1+∠2＝90°即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，
故答案为35．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得
△ADE，则在旋转过程中BC扫过的图形面积是1
3
π．
【分析】利用等腰直角三角形的性质得到AC=√2AB＝2√2，再根据旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝30°，△ABC≌△ADE，根据扇形的面积公式，利用BC扫过的图形面积＝S扇形EAC+S△ABC﹣S△ADE﹣S扇形BAD＝S扇形EAC
﹣S扇形BAD进行计算．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=√2AB＝2√2，
∵△ABC绕点A逆时针旋转30°得△ADE，
∴∠BAD＝∠CAE＝30°，△ABC≌△ADE，
∴BC扫过的图形面积＝S扇形EAC+S△ABC﹣S△ADE﹣S扇形BAD
＝S扇形EAC﹣S扇形BAD
=30⋅π⋅(2√2)2
360−30⋅π⋅22
360
=1
3
π．
故答案为1
3
π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n
360
πR2
或S扇形=1
2
lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
18．（2分）已知点A（1，0）、点B（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．若点P在y轴的负半轴上，且∠APB＝30°，则满足条件的点P的坐标为（0，﹣2√3−√7）或（0，﹣2√3+√7）．【分析】利用圆周角定理可判断点A、B、P在以C点为圆心，CA为半径的圆上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，则CA＝CB＝AB＝4，⊙C交y轴于P和P′点，连接CP，如图，作CD⊥AB于D，CE⊥y轴于E，根据垂径定理得到得到AD＝DB＝2，PE＝P′E，所以CD＝2√3，OD＝3，再利用勾股定理计算出
PE得到OP′和OP的长，从而得到满足条件的点P的坐标．
【解答】解：∵∠APB＝30°，
∴点A、B、P在以C点为圆心，CA为半径的圆上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CA＝CB＝AB＝4，
⊙C交y轴于P和P′点，连接CP，如图，
作CD⊥AB于D，CE⊥y轴于E，则AD＝DB＝2，PE＝P′E，
∵AD＝2，CA＝4，
∴CD＝2√3，OD＝OA+AD＝3，
在Rt△PCE中，PE=√42−32=√7，
∵OE＝CD＝2√3，
∴OP′＝2√3−√7，OP＝2√3+√7，
∴P（0，﹣2√3−√7），P′（0，﹣2√3+√7），
∴满足条件的点P的坐标为（0，﹣2√3−√7）或（0，﹣2√3+√7）．
故答案为（0，﹣2√3−√7）或（0，﹣2√3+√7）．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．
三．解答题（共10小题，满分84分）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣x﹣20＝0；
（2）x2﹣9x+5＝0．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程x 2﹣x ﹣20＝0，
分解因式得：（x ﹣5）（x +4）＝0，
可得x ﹣5＝0或x +4＝0，
解得：x 1＝5，x 2＝﹣4；
（2）方程x 2﹣9x +5＝0，
这里a ＝1，b ＝﹣9，c ＝5，
∵△＝81﹣20＝61，
∴x =9±√612
， 解得：x 1=9+√612，x 2=9−√612．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．（8分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为边AD 上一点，连接AC 、BE ，它们相交于点F ，且∠ACB ＝∠ABE ．
（1）求证：AE 2
＝EF •BE ；
（2）若AE ＝2，EF ＝1，CF ＝4，求AB 的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD ∥BC ，则∠DAC ＝∠ACB ，然后证明△EAF ∽△EBA ，则利用相似三角形的性质得到结论；
（2）先利用AE 2
＝EF •BE 计算出BE ＝4，则BF ＝3，再由AE ∥BC ，利用平行线分线段成比例定理计算出AF =43，然后利用△EAF ∽△EBA ，根据相似比求出AB 的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAC ＝∠ACB ，
∵∠ACB ＝∠ABE ，
∴∠DAC ＝∠ABE ，
∵∠EAF ＝∠EBA ，∠AEF ＝∠BEA ，
∴△EAF ∽△EBA ，
∴EA ：EB ＝EF ：EA ，
∴AE 2＝EF •BE ；
（2）∵AE 2＝EF •BE ，
∴BE =221=4，
∴BF ＝BE ﹣EF ＝4﹣1＝3，
∵AE ∥BC ，
∴AF FC =EF BF ，即AF 4=13，解得AF =43， ∵△EAF ∽△EBA ，
∴AF AB =EF AE
，即43AB =12， ∴AB =83．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．
21．（8分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 甲
9 8 8 7 乙 10 6 7 9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【解答】解：（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
14[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]=12， 乙的方差是：
14
[（10﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]=52． 所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
【点评】本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差公式．
22．（8分）已知关于x 的方程x 2﹣4x +3﹣m ＝0．
（1）若方程都有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．
（2）若此方程的一个根为1，求m 的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）将x ＝1代入方程即可求出m 的值．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝16﹣4（3﹣m ）＞0，
解得：m ＞﹣1；
（2）将x ＝1代入方程可得：1﹣4+3﹣m ＝0，
解得：m ＝0．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
23．（8分）四张形状相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，小明先随机抽一张卡片，记下数字为x 后放回，小亮再随机抽一张卡片，记下数字为y ．两人在此基础上共同协商一个游戏规则：当x ＞y 时小明获胜，否则小亮获胜，问他们规定的游戏规则公平吗？请说明理由．
【分析】首先根据题意画出树状图得出所有等情况数和小明、小亮获胜的情况数，然后利用概率公式求得其概率，再比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，小亮获胜的有10种情况，
∴P （小明获胜）616=38，P （小亮获胜）1016=58．
∵38＜58，
∴他们规定的游戏规则不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24．（6分）二次函数y ＝ax 2﹣2x +c 中的x ，y 满足如表：
x
… ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m … （1）求抛物线的解析式；
（2）求m 的值．
【分析】（1）取两组对应值代入y ＝ax 2
﹣2x +c 得到关于a 、c 的方程组，然后解方程组即可；
（2）把x ＝3代入二次函数的解析式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 经过（﹣1，0），（0，﹣3），
∴{a +2+c =0c =−3
， 解得：{a =1c =−3
， 所以抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）把x ＝3代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，可得y ＝9﹣6﹣3＝0，
所以m ＝0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
̂的中点，过点C作CE⊥AD，25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF
垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BF，证明BF∥CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；
（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE⊥AD，
∴BF∥CE，
连接OC，
̂的中点，
∵点C为劣弧BF
∴OC⊥BF，
∵BF∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
̂的中点，
∵点C为劣弧BF
̂=BĈ，
∴FC
∴∠FOC ＝∠BOC ＝60°，
∵OF ＝OC ，
∴∠OCF ＝∠COB ，
∴CF ∥AB ，
∴S △ACF ＝S △COF ，
∴阴影部分的面积＝S 扇形COF ，
∵AB ＝4，
∴FO ＝OC ＝OB ＝2，
∴S 扇形FOC =60⋅π×22360=23π，
即阴影部分的面积为：23π．
【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
26．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x （元/
千克）
55 60 65 70
销售量y （千克） 70 60 50 40 （1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
{55k +b =7060k +b =60
， 解得：{k =−2b =180
． ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝﹣2x +180．
（2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +180）＝600，
整理得：x 2
﹣140x +4800＝0，
解得x 1＝60，x 2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w 元，则：
w ＝（x ﹣50）（﹣2x +180）
＝﹣2（x ﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x ＝70时，w 最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
27．（10分）如图，已知线段a ，点A 在平面直角坐标系xOy 内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P ，使点P 到两坐标轴的距离相等，且与点A 的距离等于a ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a ＝2√5，A 点的坐标为（3，1），求P 点的坐标．
【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P ，使点P 到两坐标轴的距离相等，且与点A 的距离等于a ；
（2）在（1）的条件下，根据a ＝2√5，A 点的坐标为（3，1），利用勾股定理即可求P 点的坐标．
【解答】解：（1）如图，点P 即为所求；
（2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），
过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，
∵P A＝a＝2√5，A点的坐标为（3，1），
∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，
根据勾股定理，得
P A2＝PD2+AD2，
∴（2√5）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，
解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．
所以P点的坐标为（5，5）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E的坐标．
【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；
AB（y D﹣y E），即可求解．
（3）利用S四边形AEBD=1
2
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PF＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：m+2
，
2
=2，解得：m＝2，
即：m+2
2
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E 坐标为（x ，x 2
﹣4x +3），则点D （x ，﹣x +3），
S 四边形AEBD =12AB （y D ﹣y E ）＝﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3＝﹣x 2+3x ，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD 面积有最大值，
当x =32，其最大值为94，此时点E （32，−34）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。