2025优化设计一轮第2节 充分条件、必要条件、充要条件

p是q的必要不充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件
2.p是q的充分不必要条件⇔¬p是¬q的必要不充分条件;p是q的必要不充分
条件⇔¬p是¬q的充分不必要条件;p是q的充要条件⇔¬p是¬q的充要条件.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.如果p的充分条件是q,那么q的必要条件是p.( √ )
所以1-m≤1+2m,即m≥0.因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以集合B
1- ≥ 1,
是集合A的真子集,则有m≥0且
1 + 2 ≤ 5
取到),解得m=0,故实数m的取值集合是{0}.
(不等式组中两个等号不同时
变式探究1
在本例中,其他条件不变,若改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则实数m
2
1
3

-1
2
},
(2)(2024·山东潍坊模拟)若“x=α”是“sin x+cos x>1”的一个充分条件,则α的
π
π
(只需满足 α∈(2kπ,2kπ+ )(k∈Z)即可)
一个可能值是______________________________________.
4
2
解析
所以
π
π √2
由 sin x+cos x>1 可得√2sin(x+4)>1,则 sin(x+4)> 2 ,
充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p⇒q,q p
p是q的_________________条件
充分不必要
p q,q⇒p
p是q的_________________条件
必要不充分
p⇒q,q⇒p
p是q的_________________条件
充要
p q,q p
p是q的_________________条件
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若x为整数,则2x+1一定为整数,但2x+1为整数,x不一定为整数,
例如x=
1
,所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件,选A.
2
8.(2021·全国甲,理7)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}
π
当 α=β=4时,sin2α+sin2β=1 成立,而 sin α+cos β=√2 ≠0,故充分性不成立.
综上,“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要不充分条件,故选B.
(3)(2024·河北石家庄模拟)已知复数z1,z2,则“z2>z1”是“
2
1
>1”的( D )
C.a<1
D.a≥2
1
1
解析 ∀x>0,x+ >a 恒成立,只需要(x+ )min>a 即可,而


1
当且仅当 x= ,即 x=1 时,等号成立,所以 a<2,

1
即“∀x>0,x+>a”成立的充要条件是 a<2,
因此其成立的一个必要不充分条件是 a<3,故选 B.
1
x+

≥2
1
· =2,

规律方法
2.“α≠β”是“sin α≠sin β”的既不充分也不必要条件.( × )
3.若p是q的充分不必要条件,且是r的必要不充分条件,则r是q的充分条件.
( √ )
4.函数f(x)=lg(x-1)-m有零点的充要条件是m>1.( × )
题组二 回源教材
5.(人教A版必修第一册34页复习参考题第4题)请用“充分不必要条件”“必
研考点
精准突破
考点一
充分条件与必要条件的判断
例1(1)(2024·广州调研测试)已知p:(x+2)·(x-3)<0,q:|x-1|<2,则p是q的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由已知得p:-2<x<3,q:-1<x<3,
因为{x|-2<x<3}⫌{x|-1<x<3},所以p是q的必要不充分条件,故选B.
例3(2024·山东青岛模拟)已知集合A是函数 f(x)= -1+2 5- 的定义域,非
空集合B={x|1-m≤x≤1+2m},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数m的
{0}
取值集合是__________.
解析 依题意,A={x|1≤x≤5},因为集合B={x|1-m≤x≤1+2m}为非空集合,
(2)(2023·全国甲,理7)“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,等号两边同时平方,
得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,故必要性成立.
(3)根据集合 M 与N 的关系建立关于参数的方程 (组)或不等式(组);
(4)解方程(组)或不等式(组),求出参数的取值或 取值范围.
1
[对点训练 2](1)(2024·广东惠州模拟)设 p:log 1 (2x+1)>m;q: >1.若 p 是 q 的必要不
x
3
充分条件,则 m 的取值范围是( D )
-1,例如 a=1,b=0.5,故 C 正确;
对于 D,如果 ln a>ln b,可得 a>b>0,如果 a>b>0,可得 ln a>ln b,是充要条件,
故 D 错误,故选 C.
1
(2)(2024·四川德阳模拟)“∀x>0,x+ >a”成立的一个必要不充分条件是( B )
A.a<2
B.a<3
探求充分条件、必要条件的两种方法
(1)直接根据充分条件、必要条件的定义判断选择;
(2)先求出结论成立的充要条件,再将充要条件对应的范围缩小即得该结论
成立的一个充分不必要条件;将充要条件对应的范围扩大即得该结论成立
的一个必要不充分条件.
[对点训练1](1)(多选题)(2024·湖南长沙模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成
即不充分也不必要条件
6.(人教B版必修第一册1.2.3习题B第5题)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是
(-∞,3)
x∈B的充分不必要条件,则实数a的取值范围是__________.
解析 依题意集合A是集合B的真子集,
所以a<3.
题组三 连线高考
7.(2022·天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的( A )
解
1- = 1,
若x∈A是x∈B的充要条件,则有A=B,即m≥0且1 + 2 = 5,
此方程组无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件.
规律方法
根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤
(1)记集合 M ={x|p(x)},N ={x|q(x)}(M,N 为非空集合);
(2)根据p,q 的关系确定集合M 与N 的关系;
立”的充分不必要条件可以是( CD )
1
A.m>
4
B.m<2
C.m=1
D.m≥2
解析 ∵不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立,
∴关于 x 的方程 x -x+m=0 无实数解,Δ=(-1) -4m<0,解得
2
2
1
4
1
4
∵{m|m=1}⫋ > ,{m|m≥2}⫋ > ,
∴其充分不必要条件可以是 m=1 或 m≥2,故选 CD.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若 z2>z1,可知复数 z1,z2 都为实数,
2
当 z1<z2<0 时,有 <1,所以充分性不成立;
1
2
2
反之,若 >1,取复数 z1=1+i,z2=2+2i,满足 =2>1,
1
1
但此时复数 z1,z2 不能比较大小,
A.[1,+∞)
B.(-∞,1]
C.[-1,+∞)
D.(-∞,-1]

1
( ) -1
1
解析 由 log 1 (2x+1)>m,得- <x< 3
;
1
由>1,得
3
2
2
0<x<1,
因为 p 是 q
1
的必要不充分条件,所以{x|0<x<1}⫋{x|-2<x<

1
( ) -1
所以 3
≥1,解得 m≤-1,故选 D.
既不充分也不必要
微点拨充分条件与必要条件具有以下两个特征:
(1)对称性:“p⇒q”⇔“q⇐p”.
(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分
(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p与“A的充分不必要条件是B”含义相同吗?
[2,+∞)
的取值范围为__________.
解析 因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A是B的真子集,
1- ≤ 1,
所以m≥0且 1 + 2 ≥ 5 (不等式组中两个等号不同时取到),
解得m≥2,即实数m的取值范围是[2,+∞).
变式探究2
本例中,其他条件不变,试探究是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件?
π
π
3π
π
2kπ+4<x+4<2kπ+ 4 (k∈Z),解得 2kπ<x<2kπ+2(k∈Z),
因为“x=α”是“sin x+cos x>1”的一个充分条件,故
π
α 的一个可能取值为4.
本 课 结 束
2025
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第2节 充分条件、必要条件、充要条件
课标解读
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.能够判断或探求充分条件与必要条件.
3.能够利用充分、必要条件解决相关问题.
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
是递增数列,则( B )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
解析 当数列{an}满足q=1>0,a1=-1时,an=-1,Sn=-n,{Sn}不是递增数列;
当{Sn}是递增数列时,n≥2时,an=Sn-Sn-1>0,q>0,
所以甲是乙的必要不充分条件.
1
A,如果

>
C.√-1 > √-1
1
,不一定有

D.ln a>ln b
a>b>0,例如 a=-2,b=-1,故 A 错误;
对于选项 B,如果 a3>b3,则 a>b,但不一定 a>b>0,故 B 错误;
对于选项 C,如果 -1 >
-1,则必有 a>b≥1>0,
但若 a>b>0,则不一定有 -1 >
提示 不相同.“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但B
条件是B”是指B⇒A但A
B.
A;“A的充分不必要
常用结论
1.若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q中相应变量的取值集合分别为
A,B(A,B不为空集),那么有以下结论:
集合关系
A⫋B
A⊆B
A⫌B
A⊇B
A=B
结论
p是q的充分不必要条件
p是q的充分条件
要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空:
(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的__________;
充要条件
(2)x∈A是x∈A∪B的_______________;
充分不必要条件
(3)x∈A是x∈A∩B的_______________;
必要不充分条件
(4)x,y为无理数是x+y为无理数的_____________________.
1
m>4,
(2)(2024·安徽安庆模拟)已知a∈R,则直线l1:x-ay-2=0与直线l2:(a-1)x-2y2=0相交的充要条件是(
D
A.a≠0
B.a≠2
C.a≠-1
)
D.a≠2且a≠-1
解析 由已知两直线相交,则-2+a(a-1)≠0,解得a≠2且a≠-1,故选D.
考点三
充分条件与必要条件的应用
2
因此必要性不成立,所以“z2>z1”是“ >1”的既不充分也不必要条件,故选 D.
1
规律方法
解决集合概念问题的解题技巧
考点二
充分条件与必要条件的探求
例2(1)(2024·江苏苏州模拟)已知a,b∈R,则使得“a>b>0”成立的一个充分不
必要条件为( C )
1
A.
>
1

解析 对于选项
B.a3>b3