工程测量：测量误差

24以上 Σ
测 量 学 基 础
0
181
0
0．505
0
177
0
0．495
0
358
0
1.000
Fundamentals of Geomatics
6.2
2、直方图->分布曲线
偶然误差的特性
k n / d
当n→∞，区间→0时， 形成误差分布曲线
X=Δ -21 -15 -9 -3 0 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 +6 +12 +18 +24
+σ

当/Δ/→ 小，f(Δ) →大；当Δ＝0时， 最大值 f ( Δ)max
1 2
σ是正态分布的密度函数曲线拐点的横坐标值，
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Fundamentals of Geomatics
6.3 衡量精度的指标
比较 :不同观测精度的两组观测值情况：

曲线Ⅰ：
误差小，分布集中 精度高。 曲线Ⅱ： 误差分散， 精度低。
上一章主要内容


水准测量误差及注意事项
角度测量误差及注意事项 距离测量误差及注意事项
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Fundamentals of Geomatics
测量学基础
第六章 测量误差基本知识
Chapter 6 Introduction to Observation Errors
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根据正态分布曲线，可以表示出偶然误差出现在微小区间
dΔ中的概率：
k n
/ d
X=Δ
-21 -15 -9 -3 -24 -18 -12 -6 0 +3 +9 +15 +21 +6 +12 +18 +24
p( ) f ( ) d
km
1 2 m
e


2 2
2m
d
2 2
P ( km )
例：度盘分划误差，测量仪器轴线位置不准确。
2、人为误差(personal error) 观测者由于感觉器官的鉴别能力局限性而存在的误差。 例：观测者在仪器对中、整平、瞄准、读数等操作时产生 误差。 3、外界误差(natural error) 观测中受到外界自然环境影响而存在的误差。 例：温度变化使钢尺产生伸缩，大气折光使望远镜产生瞄
观测值
180°00ˊ03" 180°00ˊ02" 179°59ˊ58" 179°59ˊ56" 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57" 179°59ˊ58" 180°00ˊ03
真误 Δ２ 差Δ"
-3 -2 +2 +4 -1 0 -4 +3 +2 -3 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9

-σ2 -σ1
+σ1 +σ2
∴ 标准差σ为指标合适。
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6.3 衡量精度的指标
标准差：

lim
n
[Δ ] n
2

lim
n
[ΔΔ] n
2、中误差(mean square error)

定义：按有限次观测的偶然误差求出的标准差即为 中误差： m
准偏差。
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三、测量误差种类
1、系统误差(systematic error)
在同样观测条件下进行一系列观测，如果出现的误差在
数值上、符号上具有规律性地变化，或保持不变。 例：使用l名为30m，而l真为30.004m的钢尺量距给每个尺段带
Δ＝L－X
例 1： 三角形闭合差(triangular disclosure): W=(β1＋β2＋β3)－180o 例 2 ：闭合水准路线高差闭合差
fh＝Σh－0
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二、测量误差来源
1、仪器误差(instrumental error) 测量仪器由于其精密度和检校程度限制而存在的误差。
1 2


2 2
e
2
X=Δ
3、偶然误差的特性
有限性：超过一定限值的误差出现的几率为零： ( 24) 0 K
单峰性： 较小的误差出现的几率大(次数多)。 对称性：曲线对称于纵轴： K ( ) K ( ) 抵偿性：当观测次数无限增多时，其算数平均值趋近于 0。
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6.2
误差区间
偶然误差的特性
正误差 K
46 41 33 21 16 13 5 2
负误差 K
45 40 33 23 17 13 6 4
误差绝对值 K
91 81 66 44 33 26 11 6
dΔ "
0～3 3～6 6～9 9～12 12～15 15～18 18～21 21～24
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1 2 m
km
e


2m
d
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6.3 衡量精度的指标

分别以k＝1，2，3 代入上式，可得到偶然误差的绝对值 不大于中误差、2倍中误差和3倍中误差的概率：
P ( m ) 0.683 68.3 0 0 P ( 2m ) 0.954 95.4 0 0 P ( 3m ) 0.997 99.7 0 0

准确度低， 精密度高

准确度较高， 精密度低

准确度高， 精密度高
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6.3 衡量精度的指标
分析 :
k n / d
X=Δ
-21 -15 -9 -24 -18 -12 -6 -3
-σ
0 +3
+9 +15 +21 +6 +12 +18 +24
2、偶然误差(accident error)/随机误差(random error)：
人力所不能控制的因素或无法估计的因素共同因此的测量
误差，其数值的正负、大小纯属偶然。但： 服从一定统计规律。 例：人眼的分辨能力、仪器的极限精度和气象因素。 3、错误(blander)/粗差(gross error): 由于观测者操作不正确、疏忽大意或过分疲劳而产生的不符
2 n
Δ1 Δ2 Δn
2 2
2
n
lim
n
[Δ ] n
2

标准差σ为
σ
lim
n
[Δ ] n
2

lim
n
[ΔΔ] n

由上式可知，标准差的大小决定于在一定条件下偶然误
差出现的绝对值的大小。当出现有较大绝对值的偶然误差 时，在标准差的数值大小中会得到明显的反映。
真误 Δ２ 差Δ"
0 +1 -7 -2 -1 +1 +8 0 +3 -1 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1
1 2 m 1
Y
f ( )
1
1 2 m 2
f ( )
2
-σ -m -m2 -σ1 1 2
+σ +m +m1 +σ2 2 1

Σ|
|
m1
24
10
2
72
m2
24
来的误差，量距误差符号不变，且与所量距离的长度成
正比，系统误差具有积累性。

系统误差产生原因： 水准尺零点差、 仪器误差： 度盘偏心、 测站偏心等； 安置误差 人员误差
竖直指标差i、 照准习惯、读数习惯等。
2C等；
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三、测量误差种类
按照规律加以处理，以求的最可靠的数值。
例：高差闭合差的调整、 盘左盘右取平均值、 多测回取平均值、 往返测距平均值等。
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6.2
偶然误差的特性
1、意义：从具有偶然误差的一系列观测值中，发现其规律性， 以便求出最可靠的观测结果与评定观测成果精度的
值，是可以避免的。
例：瞄错目标、读错大数。
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四、误差处理原则
(1) 粗差 (2) 系统误差

包含错误的观测值应该舍弃，并重新进行观测。 计算改正数； 采用一定的观测方法设法降低或者消除。
(3) 随机误差

多余观测
发现观测中的错误； 评定观测精度；
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测量学基础
0 lim
n
Δ1 Δ2 Δn n
lim
n
[Δ ] n
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6.2 偶然误差的特性

偶然误差分布密度函数： f ( )
1 2


2 2
e
2
方差σ2为偶然误差平方的理论平均值：
σ lim
K/n
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011
K/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
K/n
0.254 0.226 0.184 0.123 0.092 0.073 0.031 0.017
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6.3 衡量精度的指标
1、精度（precision） 测量值与其真值的接近程度 准确度（accuracy）：表示测量结果与其真值接近程度 的量。表示系统误差的大小。 精密度（ precision ）：表示误差的分布密集或离散程度 表示偶然误差的大小。
理论和方法。
例：在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角 形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值为180°， 因此，根据真误差计算公式Δ＝L－ 180°，计算每个三角 形内角之和的真误差Δi，将它们分为负误差和正误按误差 绝对值由小到大排列次序。以误差区间dΔ=3″进行误差个 数k的统计，并计算其相对个数k/n（n＝358），（ k/n 称为 误差出现的频率）。
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测量学基础ຫໍສະໝຸດ 测 量 学 基 础Fundamentals of Geomatics
一、测量误差
1、测量(观测)误差(observation error)： 同一观测量之间，或者观测值与其理论值之间的差异。 2、真误差(true error)： 某项观测值与其真值之差，即
10
2
130
3.6
中误 差
m1 < m2， 第一组的观测 成果的精度高。
2.7
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6.3 衡量精度的指标
3、相对误差（relative error）
观测值的中误差与观测值之比 ，一般用分子为1的分式表示。
K m D 1 D m
例：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是 ±2cm ，可见其精度相同，但： K1=0.02／200 ＝1／10000，
K2=0.02／40＝l／2000，
显然前者的量距精度高于后者。
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6.3 衡量精度的指标
4、极限误差（limit error）
偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线(密度函数)的 方程式为：
f ( ) 1 2

2 2
e
2
式中， △为真误差，σ为观测误差的标准差，σ2为方差。
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6.2
k n
偶然误差的特性
/ d
f ( )
-21 -15 -9 -3 -24 -18 -12 -6 0 +3 +6 +9 +15 +21 +12 +18 +24
因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差， 简称“限差”，即Δ允＝2m
现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。如果观测误差
超过了允许误差，被认为不可靠，应予剔除，重新观测。
Δ1 Δ 2 Δ n
2 2 2

ΣΔ i n
2
n

结论：中误差是标准差的估值（近似值），
当n→∞时，m ＝ σ。
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6.3 衡量精度的指标
第一组观测 次序
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
第二组观测 观测值
180°00ˊ00" 179°59ˊ59" 180°00ˊ07" 180°00ˊ02" 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01"