七年级数学菱形的性质和判定人教实验版五四制知识精讲

七年级数学菱形的性质和判定人教实验版五四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
菱形的性质和判定
二. 教学重点：
菱形的性质定理和判定定理，菱形与矩形的区别与联系
三. 教学难点：
菱形是特殊的平行四边形，菱形面积的计算
【典型例题】
[例1] 如图，点O是矩形ABCD对角线的交点，BE∥AC，CE∥BD，BE、CE相交于点E，求证：EO平分∠BEC
解析：因为BE∥AC，CE∥BD，所以OBEC是平行四边形，又因为ABCD是矩形，所
以AC=BD，并且OB=1
2
BD，OC=
1
2
AC，所以OB=OC，所以OBEC为菱形，所以EO平
分∠BEC。

[例2] 如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a，求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积
答案：（1）120°；（2
；（3
）22
a 解析：（1）连接BD ，交AC 于O 点，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD=AB ，因为DE 垂直平分AB ，所以BD=AD=AB ，所以△ABD 是等边三角形，所以△BCD 也是等边三角形，所以
∠ABC=60°×2=120°，（2）由菱形性质知AC 与BD 互相垂直平分，所以OB=12BD=12AB=12
a ，所
以2OA a ===，于是
，（3
）2ABCD 11222S AC BD a a =
⋅=⋅=菱形
[例3] 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠BAC 的平分线AE 交CD 于F ，EG ⊥AB ，垂足为G ，求证：四边形GECF 是菱形
解析：因为AE 平分∠BAC ，且EG ⊥AB ，EC ⊥AC ，所以EG=EC ，因为∠AEC= 90°－∠EAC ，∠CFE=∠AFD=90°－∠EAB ，而∠EAC=∠EAB ，所以∠AEC=∠CFE ，所以CF=EC ，所以EG=CF ，因为EG ⊥AB ，CD ⊥AB ，所以EG ∥CF ，所以四边形GECF 是平行四边形，又因为EG=EC ，所以四边形GECF 是菱形
[例4] 已知，如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，16AC cm =，12BD cm =，求菱形的高
解析：因为16AC cm =，12BD cm =，
所以2ABCD 1116129622
S AC BD cm =
⋅=⨯⨯=菱形，因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，且DO=12BD=6，
AO=12
AC=8，所以10AD cm ==，又因为S AD h =⋅菱形，所以969.610S h cm AD ===
[例5] 已知，如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ，求证：∠AFD=∠CBE
解析：因为ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ，所以∠AFD=∠CDE ，又因为菱形的对角线平分一组对角，所以AC 平分∠BCD ，所以∠BCE=∠DCE ，又因为CB=CD ，CE=CE ，所以△BCE ≌△DCE ，所以∠CBE=∠CDE ，所以∠AFD=∠CBE
[例6] 如图，O 为矩形ABCD 对角线交点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD 、BC 于F 、E ，若2AB cm =，4BC cm =，求四边形AECF 的面积
答案：2
5cm
解析：在矩形ABCD 中，OA=OC ，可以证得△AOF ≌△CEO ，所以OE=OF ，即EF 与AC 互相垂直平分，所以四边形AECF 为菱形，所以AE=EC ，设AE=x ，则CE=x ，BE=4
－x ，在Rt △ABE 中，222AE AB BE =+，即222
2(4)x x =+-，
解得 2.5x =，所以AECF 25S CE AB x =⋅==菱形，即四边形AECF 的面积为25cm
[例7] 已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数
答案：18°
解析：连接AC ，因为四边形ABCD 为菱形，所以∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=AD ，所以△ABC 与△CDA 为等边三角形，所以AB=AC ，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，因为 ∠EAF=60°，因为∠EAF=60°，所以∠BAE=∠CAF ，所以△ABE ≌△ACF （ASA ），所以AE=AF ，又以为∠EAF=60°，所以△EAF 为等边三角形，所以∠AEF=60°，因为∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF ，所以∠CEF=∠BAE=18°
[例8] 如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，点E 为AB 的中点，点F 是AC 上一动点，求EF+BF 的最小值
答案：解析：连接BD 、DE ，设DE 交AC 于M ，连接MB 、DF ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC 、BD 互相垂直平分，所以点B 关于AC 的对称点为D ，所以FD=FB ，所以
EF+BF=EF+DF≥DE，所以当F运动到点M时，EF+BF取最小值，在△ABD中，因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ABD为等边三角形，又E为AB的中点，所以DE⊥AB，AE=3，所
以DE==EF+BF
的最小值为
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 下列条件中能够判定一个四边形是菱形的是（）
A. 对角线互相平分且相等
B. 对角线互相垂直且相等
C. 对角线互相垂直且对角相等
D. 对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角
2. 若菱形ABCD的对角线交于O点，则菱形ABCD中等腰三角形的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3. 对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（）
A. 正方形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 菱形
4. 菱形的两条对角线分别为6,8
cm cm，那么这个菱形的周长为（）
A. 40cm
B. 20cm
C. 10cm
D. 5cm
5. 给出下列命题：（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）菱形的对角线互相垂直；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的个数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二. 填空题：
1. 菱形的周长为24cm，相邻两内角的比为1：2，则该菱形对角线的长分别为
2. 若菱形的两条对角线的长分别是10和24，则此菱形的面积为
3. 延长等腰三角形ABC的顶角平分线AD到E，使DE=AD，连接BE、CE，则四边形ABEC是
4. 菱形的一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长为12cm，则菱形的周长为
5. 菱形的两邻角的比是5：1，高为7cm，则菱形的周长是，面积是
三. 解答题：
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF分别与AD、AC、BC交于点E、O、F，求证：四边形AFCE是菱形
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形
【试题答案】
一.
1. C
2. D
3. D
4. B
5. C
二.
1.6cm
2. 120
3. 菱形
4.48cm
5.56cm；2
98cm
三.
1. 因为EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC，FA=FC，又因为在矩形ABCD中，AD ∥BC，所以∠EAC=∠FCA，所以△AOE≌△COF，所以AE=CF，所以AE=AF=FC=CE，所以四边形AFCE是菱形
2. 因为∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，所以E是AB边的中点，所以CE=AE=BE，因为∠BAC=60°，所以△ACE为正三角形，CE=AC=AE，在△AEF中，∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°，而AF=CE，又CE=AE，所以AE=AF，所以△AEF也为正三角形，所以AE=AF=EF，所以CE=AC=AF=EF，所以四边形ACEF是菱形。