内蒙古自治区呼和浩特市五良太中学高二数学理测试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市五良太中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列为等差数列，且，，则公差 ( )
A．－2 B．－ C. D．2
参考答案：
B
略
2. 演绎推理“因为指数函数（）是增函数，而函数是指数函数，所以
是增函数”所得结论错误的原因是（）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理过程错误 D．以上都不是
参考答案：
A
3. 已知，的导函数，即
，，则 ( )
A．B． C.D．
参考答案：
C
略
4. 设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6．现用直径等于2的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率
为（）
A． B． C． D．
参考答案：B
略
5. 袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是()
A. B. C. D.
参考答案：
B
设事件为“第一次取白球”，事件为“第二次取红球”，则，
，故．
故选：B
点睛：点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
6. 已知向量，，若，则的值为
A． B．4 C． D．
参考答案：
C
略
7. 直线,, 若l1∥l2，则a = ( )
A． 3 B．2 C．3或2 D．3或2参考答案：
A
略
8. 已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）
A．﹣3 B．C．5 D．6
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）
设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（2，﹣1）=5
故选：C
9. 对非零实数x，y，z，定义运算“”满足：（1）x x=1；（2）x（y z）=(x y)· z,若
，则下列判断正确的是（）
A. 是增函数又是奇函数
B. 是减函数又是奇函数
C. 是增函数又是偶函数
D. 是减函数又是偶函数
参考答案：10. 已知⊿ABC和⊿BCD均为边长等于的等边三角形，且，则二面角
的大小为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则
的最大值为________．
参考答案：
5
略
12. 已知向量夹角为45°，且，则__________．
参考答案：
试题分析：的夹角，，，
，
.
考点：向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
13. 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是．
参考答案：
②③
【考点】命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件．
【分析】f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论
【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．
∴a＜1＜b＜3＜c
设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc
∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9
∴b+c=6﹣a
∴bc=9﹣a（6﹣a）＜
∴a2﹣4a＜0
∴0＜a＜4
∴0＜a＜1＜b＜3＜c
∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0
故答案为：②③
14. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是
参考答案：
15. 阅读下面的流程图,若输入a=6,b=2,则输出的结果是．
参考答案：
1
16. 一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长
都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．
参考答案：
试题分析:如图,从三视图所提供的信息可以看出该几何体是一个正方体截取一个三棱锥角所剩余的几何体,其体积,表面积,故应填.
考点：三视图的识读和理解．
17. 已知椭圆，求过点
且被
平分的弦所在的直线方程
参考答案：
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，
，求边的值及
的面积.
参考答案：
解：（Ⅰ）由，得. 则
…………5分
（Ⅱ）因为
，则
. ………………7分 又
，所以
.…………8分
所以
.
则
. ………………9分
所以.……10分
19. 已知F 1，F 2是椭圆
的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．
（1）若
为等边三角形，求C 的离心率；
（2)如果存在点P ，使得
，且
的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
参考答案：
(1) ；（2）
，a 的取值范围为
.
【分析】 （1）先连结
，由
为等边三角形，得到
，
，
；再由椭圆
定义，即可求出结果；
（2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，
，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】（1）连结
，由
为等边三角形可知：在
中，
，
，
，
于是，
故椭圆C的离心率为；
（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，
即①
②
③
由②③以及得，又由①知，故；
由②③得，所以，从而，故；
当，时，存在满足条件的点.
故，a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.
20. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和A1B1的中点．
（Ⅰ）求二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值；
（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC1，求|EP|的最小值．
参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．求出B，C1，E，F的坐标，
（Ⅰ）求出面FC1B1的一个法向，面BFC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值．
（Ⅱ）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），利用EP∥平面BFC1，推出，求出x，y的关系，利用空间距离结合二次函数的最值求解即可．
【解答】解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．则．
（Ⅰ）由图可取面FC1B1的一个法向量；
，设面BFC1的法向量为，则，可取．
所以，
即二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值为．
（Ⅱ）因为P在正方形ABCD内部及边界上，所以可设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），
则．
因为EP∥平面BFC1，所以，即（1，2，1）=0，
所以，∵0≤x≤1，0≤y≤1，
∴，∴，
所以=，
当时，．
【点评】本题看v我没觉得平面角的求法，空间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．
21. 已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3) 记，求的前n项和．
参考答案：
解：(1)设的公差为，则：，，
∵，，∴，∴．………………………2分∴．…………………………………………4分
（2）当时，，由，得．…………………5分
当时，，，
∴，即．…………………………7分
∴．……………………………………………………………8分
∴是以为首项，为公比的等比数列．…………………………………9分
（3）由（2）可知：．……………………………10分∴．…………………………………11分∴．∴．
∴
．………………………………………13分∴．…………………………………………………14分
略
22. 已知函数
(1)若求证：在（1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在x∈[1，e]上的最小值．
参考答案：
略。