自主招生考试数学试卷

浙江省杭州市自主招生考试数学试卷
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）
1．（4分）（2006?潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．1
2．（4分）（2006?潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部
分的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．1﹣
D ．1﹣
3．（4分）（2004?宁波）已a ，b 为实数，ab=1，M=
，N=，则M ，N 的大小关系是（ ） A ．M ＞N B ．M=N C ．M ＜N D ．无法确定
4．（4分）（2005?淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他
改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步
行提前了（ ）
A ．20分钟
B ．22分钟
C ．24分钟
D ．26分钟
5．（4分）（2012?大田县校级自主招生）二次函数y=﹣2x 2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x 2的图象（ ）
A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位
6．（4分）（2011?浙江校级自主招生）下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省
身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）
A ．①④⑦
B ．②④⑧
C ．②⑥⑧
D ．②⑤⑥
7．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件
物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这
三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）
A ．500元
B ．600元
C ．700元
D ．800元 8．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深H 的函数
关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：（每题6分，共30分）
9．（6分）（2013?福建校级自主招生）若关于x 的分式方程在实数范围内无解，则实数
a=．
10．（6分）（2011?浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm2．
11．（6分）（2014?南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是．
12．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a﹣3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是．
13．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、
3、4、5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．
14．（8分）（2011?萧山区校级自主招生）田忌赛马
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；
（2）田忌能赢得比赛的概率是．
15．（10分）（2011?浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；
（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．
16．（10分）（2011?萧山区校级自主招生）如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，
求证：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．
17．（10分）（2011?萧山区校级自主招生）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．
四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）
18．（2011?城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．
2011年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）
1．（4分）（2006?潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）
A．2 B．C．D．1
【解答】解：原式=+﹣=．
故选：C．
2．（4分）（2006?潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．1﹣D．1﹣
【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′=60°，
∴∠DAE=×60°=30°，
∴DE=1×=，
∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．
故选：C．
3．（4分）（2004?宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定
【解答】解：M==，
∵ab=1，∴==1．
N==，
∵ab=1，∴==1，∴M=N．
故选B．
4．（4分）（2005?淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他
改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）
A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟
【解答】解：他改乘出租车赶往考场的速度是÷2=，所以到考场的时间是10+÷=16分钟，
∵10分钟走了总路程的，
∴步行的速度=÷10=，
∴步行到达考场的时间是1÷=40，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了40﹣16=24分钟．
故选C．
5．（4分）（2012?大田县校级自主招生）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【解答】解：二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．
故选C．
6．（4分）（2011?浙江校级自主招生）下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）
A．①④⑦B．②④⑧C．②⑥⑧D．②⑤⑥
【解答】解：②高斯⑤陈景润⑥陈省身是数学家．
故选D．
7．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）
【解答】解：∵买化妆品不返购物券，
∴先购买衣服和鞋，利用所得购物券再买化妆品．
付现金220元就可买一件衣服，因为付现金220元可得购物券200元，所以200+220=420元正好可购买一件衣服；
付现金280元可买一双鞋，同时返购物券200元；
再付现金100元加上买鞋时返的购物券200就可购买一套化妆品．
张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为：220+280+100=600元．
故选B．
8．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（）
A． B．C． D．
【解答】解：因为高度不是均匀上升的，应排除D；图象中没有出现对称情况，应排除C；随着V的不断增加，H的改变越来越快，图象应是越来越窄．
故选B．
二、填空题：（每题6分，共30分）
9．（6分）（2013?福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=1．
【解答】解：原方程化为整式方程得：1﹣x﹣3=a，
整理得x=﹣2﹣a，
因为无解，所以x+3=0，
即x=﹣3，
所以a=﹣2+3=1．
10．（6分）（2011?浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为14 cm2．
【解答】解：设两边的夹角为A，
则三角形面积=×4×7?sinA=14sinA，
当A=90时，
面积的最大值=14．
11．（6分）（2014?南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是36．
【解答】解：∵，
∴原方程变形为：﹣4+x=44，
整理得，x+2﹣48=0，
设=a，则a2+2a﹣48=0，
解得a=6或﹣8，
∵≥0，
∴a=6，
∴x=36．
故答案为：36．
12．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a﹣3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解
大于1小于2，a的取值范围是﹣1＜a≤﹣2+3．
【解答】解：设f（x）=x2+（a﹣3）x+3，问题等价于f（x）有一个零点在（1，2）内
根据二次方程根的分布，这等价于f（1）?f（2）＜0或f（1）?f（2）＞0，
即[1+（a﹣3）+3]?[4+（a﹣3）2+3]＜0或[1+（a﹣3）+3]?[4+（a﹣3）2+3]＞0，
也即（a+1）?（2a+1）＜0或（a+1）?（2a+1）＞0，
解得﹣1＜a＜﹣或a＜﹣1或＞﹣，
当△≥0时，即b2﹣4ac≥0，
∴（a﹣3）2﹣12≥0，
∴a≥2+3或a≤﹣2+3，
则a的范围是：﹣1＜a≤﹣2+3．
故答案为：﹣1＜a≤﹣2+3．
13．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2007名学生所报的数是3．
【解答】解：观察发现，以（1、2、3、4、5、4、3、2）为一个循环组，依次进行循环，
2007÷8=250…7，
∴第2007名学生所报的数是第251组的第7个数，是3．
故答案为：3．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．
14．（8分）（2011?萧山区校级自主招生）田忌赛马
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；
（2）田忌能赢得比赛的概率是．
【解答】解：（1）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为．
15．（10分）（2011?浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；
（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．
【解答】解：（1）集合{1，2}不是好的集合，
这是因为8﹣1=7，而7不是{1，2}中的数，
所以{1，2}不是好的集合；
{1，4，7}是好的集合，
这是因为8﹣1=7，7是{1，4，7}中的数，
8﹣4=4，4也是{1，4，7}中的数，
8﹣7=1，1又是{1，4，7}中的数．
所以{1，4，7}是好的集合；
（2）答案不唯一．集合{4}、{3，4，5}、{2，6}、{1，2，4，6，7}、{0，8}等都是好的集合．
16．（10分）（2011?萧山区校级自主招生）如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，
求证：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．
【解答】证明：∵2CD=3AB，
∴，
∵E，F为CD三等分点，D为AB中点，
∴AD=DF；
∴∠AFD=45°，
∴由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=2DF2∵2DF2=EF（EF+CE）=FE?FC；
∴AF2=FE?FC，
∴=，
∵∠AFE=∠CFA，
∴△AEF∽△CFA，
∴∠CAF=∠AEF；
即∠ACD+∠AED=∠AFD=45°；
∴∠ACD+∠AED+∠AFD=90°，
∴∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．
17．（10分）（2011?萧山区校级自主招生）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x0，x20），则
PM==x20+1；
又因为点P到直线y=﹣1的距离为，x20﹣（﹣1）=x20+1
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1相切．
（2）如图，分别过点P，Q作直线y=﹣1的垂线，垂足分别为H，R．
由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y=﹣1，
所以，PH∥MN∥QR，
于是=，
所以，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．
四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）
18．（2011?城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．
【解答】解：答案不唯一，如：数学是思维的体操，可以培养自己的逻辑思维能力、发散思维能力等．
参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；zhehe；星期八；hnaylzhyk；蓝月梦；hbxglhl；lanchong；HJJ；HLing；天马行空；lanyan；lf2-9；张其铎；wdxwwzy；kuaile；zcx；MMCH；zhjh；心若在（排名不分先后）
菁优网
2016年4月26日。