河南省豫南九校高二数学下学期期中联考试题 理(扫描版

河南省豫南九校2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题理（扫描版）
豫南九校2016—2017学年下期期中联考
高二数学（理）答案
一、选择题：1-4 DDBB 5-8 ACAD 9-12 DDAC 二、填空题： 13．9-
14．44y y ≤-≥或
15．3
16．[0，
1
3
) 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解：（1）
222b a c ∙∙成等差数列，
∴2222a b c =+
∴222
b c a 2
+=
又22
22222b c b c a b c 2bc 12cos A 2bc 2bc 4bc 4bc 2
++-+===≥=
即cos A 最小值为
1
2
……………6分 （2）由（1）知A=
3
π
,且2
2
2
b c 2a 82bc +==≥
bc 4
11S bcsin A 422∴≤∴==∙=12分
(其他方法合理即可)
18．解：
（1）
{}n a 为等差数列，且n S 为其前n 项和
= ……………2分 又
{}n
S 为等差数列，且与{}n
a 公差相等
1d d a 02
⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩ 11d 21
a 4⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ ……………4分
n 11111
a a (n 1)d (n 1)n 4224
∴=+-=+-∙=- ……………6分 （2）
n n
1
b 4a =
n n n C b b 1=∙+ n 1111C ()
(2n 1)(2n 1)22n 12n 1
∴=
=--+-+……………9分
n 1n T C C ∴=+
+
11111
11n
(21335
2n 12n 12n 1
=-+-+
-=
-++……………12分 19．解：
（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM ，平面AD M∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM⊥平面ADM
∵AD ⊂平面ADM
∴AD⊥BM. ……………4分 （2）建立如图所示的直角坐标系。

设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n =， (1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--(2,0,0)AM =-，
设平面AME 的一个法向量(,,),m x y z = 则
20
2(1)0x y z λλ=⎧⎨
+-=⎩
取y=1，得20,1,,1x y z λλ===-所以2(0,1,)1
m λ
λ=-， 因为，|cos ＜
，＞|=
=22．得λ=31或λ=-1 经检验得λ=3
1满足题意。

所以E 为BD 的三等分点. ……………………………………………12分
20. 解：
（1）由⎪⎩⎪⎨⎧==213
22a c a b 得a=2,c=1，32
=b ．
所以，所求椭圆的标准方程为13
42
2=+y x ．……………4分 （2）设过椭圆的右顶点()0,2的直线AB 的方程为2+=my x ．
代入抛物线方程x 2y 2=，得042y 2
=--my ．设()11,y x A 、()22,y x B ，则
⎩⎨
⎧-==+.4,22121y y m y y
……………8分 ∴()()2121212122x x y y my my y y +++=+＝()
()042m 121212
=++++y y m y y ．
∴OB OA ⊥． ………………………12分 21．解：
（1）∵()2
a f x x x
=+，其定义域为（0，+∞），
∴f ′（x ）=1﹣
；又x=1是函数h （x ）的极值点，
∴f'（1）=0，即1﹣a 2=0， ，∴a=1或a=-1；
经检验，a=1或a=-1时，x=1是函数h （x ）的极值点， ∴a=1或a=-1；………………………4分
（2）假设存在实数a ，对任意的x 1，∈[1，2]，[]2,3x 2--∈∃都有f （x 1）≥g（x 2）成立，
等价于对任意的
x 1∈[1，2] x2∈[-3，-2]时，都有[f （x ）]min ≥[g（x ）]min ， 当x∈[1，2]时，g′（x ）=-1-＞0．
∴函数g （x ）在[-3，-2]上是减函数． ∴[g（x ）]min =g （2）=2+ln2．
∵f′（x ）=1﹣
=
，且x∈[1，2]，﹣2＜a ＜0，
①当﹣1＜a ＜0且x∈[1，2]时，f′（x ）=＞0，
∴函数f （x ）=x+
在[1，2]上是增函数．
∴[f（x ）]min =f （1）=1+a 2
．
由1+a 2
≥2+ln2，得a≤﹣，又∵﹣1＜a ＜0， ∴a≤﹣ 不合题意． ②当﹣2＜a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a ，则f′（x ）=＜0，
若﹣a ＜x≤2，则f′（x ）=＞0，
∴函数f （x ）=x+
在[1，﹣a ）上是减函数，在（﹣a ，2]上是增函数．
∴[f（x ）]min =f （﹣a ）=﹣2a
﹣2a≥2+ln2，得a≤﹣1﹣ln2，∴﹣2＜a≤﹣1﹣ln2．
综上，存在实数a 的取值范围为（﹣2，﹣1﹣ln2 ]．…………………………12分
22．解：
（1）圆C 的普通方程为()2
211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标 方程为2cos ρθ=； …………………………4分
（2）由题意得 θ=
6
π
，由极坐标方程2cos ρθ=得31=ρ
由直线的极坐标方程363sin 2=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+πθρ得332=ρ 从而PQ=3221=-ρρ…………………………10分。