第1课时二次函数y=ax2k的图象与性质

26.2 二次函数的图象与性质
y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质
学习目标：
y=ax2+k的图象.（重点）
y=ax2+k的性质并会应用.（难点）
y=ax²与y=ax²+k之间的联系.（重点）
自主学习
一、知识链接
1.填写下表：
y=2x向上平移2个单位，得到的新的直线的表达式为______________;直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过怎样的变换得到的？
思考：y=x2与y=x2+3的图象之间能通过平移变换得到吗？
二、新知预习
（预习课本P9-10）试说出函数y=ax2+k（a,k是常数，且a≠0）的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标：
a＜0开口向______练习：
y=1
2
x2-3的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看做是由抛物线y=
1
2
x2向
平移个单位得到.
y=2x2-3的图象向上平移4个单位后，所得抛物线是，其顶点坐标是，当x时，y 随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y取最值，为.
合作探究
一、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移
做一做在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象．
(1)列表:
x···- -101···y1=2x2······
y2=2x2+1······（2）列表，连线.
（3）观察列表，当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么
关系？
（4）将（3）中的数值转换为坐标，反映在函数图象上，观察图象，相应的两个点之间的位置有什么关系？
【要点归纳】二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移kk < 0 时，向下平移－k个单位得到.
规律总结为：平方项不变，常数项上加下减.
【典例精析】
抛物线y=2x2-5通过平移，得到抛物线y=2x2，则平移方式正确的是（）
A．向左平移5个单位B．向右平移5个单位
C．向上平移5个单位D．向下平移5个单位
【针对训练】（1）将抛物线y=-x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的表达式是_______________; (2)将抛物线y=x2+2向下平移4个单位后所得新抛物线的表达式为___________________.
探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质
思考图形平移之后，性质会发生改变吗？你能通过二次函数y=2x2的性质推断出函数y=2x2+1的性质吗？观察观察二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象，填写下表：
【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
做一做在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=－1
2
x2，y=－
1
2
x2-2，y=－
1
2
x2+2的图象，并
说一说它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性.
观察与思考根据图象回答下列问题:
(1)三条抛物线的开口方向_____________；(2)对称轴都是____________________ ；
(3) 从上而下顶点坐标分别是_____________________;
(4)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、______﹑
______.
(5) 函数的增减性都相同:_____________________________________.
【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质
当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.
【典例精析】
例2 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（）
A．其图象的开口方向向上B．当x=0时，y有最大值4
C．其图象的对称轴是y轴D．其图象的顶点坐标为（0，4）
【针对训练】关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是（）
A．开口方向相同B．顶点相同
C．对称轴相同D．当x＞0时，y随x的增大而增大
例3在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝-x2+1的图象大致是（）
【针对训练】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为( )
【方法归纳】熟记一次函数y ＝kx ＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口
方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
二、课堂小结
当堂检测
1.对于抛物线y =2x 2-1,下列说法中，正确的有______________(填序号).
①顶点坐标为（-1,0）；②对称轴为y 轴；③开口方向向上；④可由抛物线y =2x 2向下平移1个单位得到；⑤(-1,y 1),( -3,y 2)是该抛物线上的两个点，则y 1＜y 2.
2.已知抛物线y =ax 2+k .
（1）若抛物线y =ax 2+k 的形状与y =2x 2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是____________;
（2）若抛物线y =ax 2+k 向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为yx 2-1，则a =______,k =______; （3）若抛物线y =ax 2+k 的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线y =ax 2+k 向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________. 3.二次函数y=a 243
m m x --+(m -5)的图象的顶点在x 轴下方，求m 的值.
4.已知二次函数y =x 2+k 的图象经过点P （-2，3）. （1）求二次函数的表达式； （2）画出此二次函数的图象；
（3）若该二次函数图象的顶点为D ，与x 轴正半轴的交点为A ，求△APD 的面积.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.向上向下（0,0）（0,0）y轴y轴减小增大增大减小
2.y=2x+2 直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过向下平移3个单位得到
二、新知预习
练习：1.向上y轴（0，-3）下 3 2.y=2x2+1 （0,1）＞0 ＜0 =0 小1合作探究
一、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移
做一做：
（1）填表如下：
（2）列表，连线如图△所示：
（3）当自变量x取同一数值时，函数值y2比y1大1.
（4）函数y2=2x2+1的图象上的每一点都在函数y1=2x2的图象上相应点的上方1个单位.
C 【针对训练】（1）y=-x2+3 (2)y=x2-2
图△ 图△
探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质观察填表如下：
做一做：二次函数y=－
2x2，y=－
2
x2-2，y=－
2
x2+2的图象如图△所示.
观察与思考（1）向下（2）y轴（或直线x=0）(3)(0,2),(0,0),（0，－2）（4）高大y=2 y=0 y=－2
（5）对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小
B 【针对训练】
C
D 【针对训练】D
二、课堂小结
上y轴（0，k）＞0 ＜0 下y轴（0，k）＜0 ＞0 上下
当堂检测
1.②③④⑤
2.（1）y=-2x2-3 （2）-0.5 -3 （3）y=x2+4 y=x2+1
3.解：由题意得m2-4m-3=2，且m-5＜0，则m=-1.
4.解：（1）把（-2，3）代入y=x2+k得4+k=3，解得k=-1，
所以二次函数的表达式为y=x2-1；
（2）抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），当y=0时，x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（1，0），如图所示.
（3）设直线PD的表达式为y=kx+b,将点（-2,3），（0，-1）代人得
23,
1,
k b
b
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
解得
2,
1,
k
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
即直线
PD的表达式为y=-2xy=0时，-2x-1=0,解得x=
1
2
-.设直线PD与x轴的交点为C，则C
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
.
△S△APD=S△APC+S△ADC=1313
31 2222
⨯⨯+⨯⨯=3.。