山东高二高中数学期末考试带答案解析

山东高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.是虚数单位，复数的实部是
A．B．C．D．
2.已知，满足，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
3.设函数，则等于
A．0B．C．D．
4.有一批种子，每一粒发芽的概率为，播下粒种子，恰有粒发芽的概率为
A．B．C．D．
5.已知,由不等式可以推广为
A．B．
C．D．
6.，则等于
A．B．C．D．
7.设随机变量等于
A．B．C．D．
8.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，
则点Q取自△ABE内部的概率等于
A．B．C．D．
9.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当
时该命题不成立，那么可推得
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题成立D．当时，该命题不成立
10.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为
，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是
A．身高一定是145.83cm B．身高超过146.00cm
C．身高低于145.00cm D．身高在145.83cm左右
11.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
A．6种B．12种C．24种D．30种
12.如图，是直棱柱，，点，分别是，的中点.若，则
与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
二、填空题
1.= .
2.在平面直角坐标系中, 二元一次方程 (不同时为)表示过原点的直线. 类似地: 在空间直角坐标系中, 三元一次方程 (不同时为)表示 .
3.若二项式的展开式的第三项是常数项，则=_______.
4.函数的单调递增区间是 .
三、解答题
1.（本小题满分12分）已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对
值成等差数列．
（I）求展开式的第四项；
（II）求展开式的常数项.
2.（本小题满分12分）已知函数的导数满足，，其中常数
，求曲线在点处的切线方程.
3.（本小题满分12分）已知，证明：.
4.（本小题满分12分）某医院计划从10名医生（7男3女）中选5人组成医疗小组下乡巡诊.
（I）设所选5人中女医生的人数为，求的分布列及数学期望；
（II）现从10名医生中的张强、李军、王刚、赵永4名男医生，李莉、孙萍2名女医生共6人中选一正二副3名组长，在张强被选中的情况下，求李莉也被选中的概率.
5.（本小题满分12分）如图，在四面体中,，，且
（I）设为线段的中点，试在线段上求一点，使得；
（II）求二面角的平面角的余弦值.
6.（本小题满分14分）已知函数，，
，其中且.
（I）求函数的导函数的最小值；
（II）当时，求函数的单调区间及极值；
（III）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.
山东高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.是虚数单位，复数的实部是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
分析：由复数除法的运算法则，将复数复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化成a+bi（a，b∈R）的形式，进而可以得到复数（i是虚数单位）实部．
解：∵==2-i，
∴复数（i是虚数单位）实部是2．
故选A．
2.已知，满足，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【考点】不等式的基本性质．
分析：由于|a|-|c|≤|a-c|，再利用条件|a-c|＜|b|可得|a|-|c|≤|b|，即|a|＜|b|+|c|，从而得到答案．
解：∵|a|-|c|≤|a-c|，再由|a-c|＜|b|可得|a|-|c|≤|b|，
∴|a|＜|b|+|c|，
故选D．
3.设函数，则等于
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】【考点】导数的运算．
分析：设1-2x3=u（x），则f（x）=[u（x）]10，利用符合函数的求导法则，得到f′（x）=10[u（x）]9?[u′（x）]，把x=1代入导函数中，即可求出f′（1）的值．
解：求导得：f′（x）=（-6x2）?10（1-2x3）9=（-60x2）?（1-2x3）9，
把x=1代入导函数得：f′（1）═（-60）?（1-2）9=60．
故选B
4.有一批种子，每一粒发芽的概率为，播下粒种子，恰有粒发芽的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
5.已知,由不等式可以推广为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】认真观察各式，不等式左边是两项的和，第一项是：x，x2，x3，…右边的数是：2，3，4…，利用此规律观察所给不等式，都是写成x n+＞n+1的形式，从而即可求解．
解：认真观察各式，
不等式左边是两项的和，第一项是：x，x2，x3，…
右边的数是：2，3，4…，利用此规律观察所给不等式，
都是写成x n+＞n+1的形式，从而此归纳出一般性结论是：x n+＞n+1
故选B．
6.，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据=f′（x
），将已知条件代入即可求出所求．
解：∵=1，
∴=f′（x
）=
故选C．
7.设随机变量等于
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4-c）=1-p（ξ＞c），得到结果．
解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
对称轴是：μ=2，
又4-c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：
∴p（ξ＞4-c）=1-p（ξ＞c）=1-a．
故选B．
8.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，
则点Q取自△ABE内部的概率等于
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
9.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当
时该命题不成立，那么可推得
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题成立D．当时，该命题不成立
【答案】D
【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．
解：由题意可知，
P（n）对n=3不成立（否则n=4也成立）．
同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．
故选D
当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．
10.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为
，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是
A．身高一定是145.83cm B．身高超过146.00cm
C．身高低于145.00cm D．身高在145.83cm左右
【答案】D
【解析】据所给的高与年龄的回归模型，可以估计孩子在10岁时可能的身高，这是一个预报值，不是确定的值，在叙述时注意不要出错．
解：∵身高与年龄的回归模型为=7.19x+73.93．
∴可以预报孩子10岁时的身高是=7.19x+73.93．
=7.19×10+73.93=145.83
故选D．
11.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
A．6种B．12种C．24种D．30种
【答案】C 【解析】略
12.如图，是直棱柱，，点，分别是，的中点.若，则
与所成角的余弦值为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】【考点】异面直线及其所成的角。

分析：先取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D ，将BD 1平移到F 1D ，则∠DF 1A 就是异面直线BD 1与AF 1所成角，在△DF 1A 中利用余弦定理求出此角即可。

解答：
取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D
∴D 1B ∥D 1F
∴∠DF 1A 就是BD 1与AF 1所成角 设BC=CA=CC 1=2，则AD=，AF 1=，DF 1=
在△DF 1A 中，cos ∠DF 1A=
/10。

故选A 。

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题。

二、填空题
1.
= .
【答案】5 【解析】略
2.在平面直角坐标系中, 二元一次方程 (不同时为)表示过原点的直线. 类似地: 在空间直角坐标系中, 三元一次方程 (
不同时为)表示 .
【答案】过原点的平面 【解析】略
3.若二项式的展开式的第三项是常数项，则=_______.
【答案】6 【解析】略
4.函数的单调递增区间是 . 【答案】
【解析】略
三、解答题
1.（本小题满分12分）已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对
值成等差数列．
（I）求展开式的第四项；
（II）求展开式的常数项.
【答案】解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为、、，
所以+=，即.
解得. …………………………………………………………………………….4分
（I）第四项；…………………………………….7分
（II）通项公式为=，
令，得. …………………………………………………………….10分
所以展开式中的常数项为. ………………………………….12分
【解析】略
2.（本小题满分12分）已知函数的导数满足，，其中常数
，求曲线在点处的切线方程.
【答案】解：（I）因为，所以……..2分
令得.
由已知，所以. 解得. …………………….4分
又令得.
由已知所以解得…………………..6分
所以，. …………………………..8分
又因为………………………………………….10分
故曲线处的切线方程为
，即. …………………………………..12分
【解析】略
3.（本小题满分12分）已知，证明：.
【答案】证明：因为，要证，
只需证明. …………..……………………………….4分
即证. ……………7分
即证，即.
由已知，显然成立. ………………………………………………………..10分
故成立. ……………………………………………….12分
（其它证法参照赋分）
【解析】略
4.（本小题满分12分）某医院计划从10名医生（7男3女）中选5人组成医疗小组下乡巡诊.
（I）设所选5人中女医生的人数为，求的分布列及数学期望；
（II）现从10名医生中的张强、李军、王刚、赵永4名男医生，李莉、孙萍2名女医生共6人中选一正二副3名
组长，在张强被选中的情况下，求李莉也被选中的概率.
【答案】解：（I）的所有可能的取值为0，1，2，3，….………………………….2分则；
；
；
. ……………………………………………….6分
的分布列为
. ……………………………………9分
（II）记“张强被选中”为事件，“李莉也被选中”为事件，
则，，
所以.（亦可直接得）……………12分
【解析】略
5.（本小题满分12分）如图，在四面体中,，，且
（I）设为线段的中点，试在线段上求一点，使得；
（II）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】解：在平面内过点作交于点.
以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（如
图）. ………………………………………………………………………1分
则、、、. ……………………….…..3分
（I）设，因为，
所以，.
因为，所以. 即，解得.
故所求点为.
即点为线段的三等分点（靠近点）. ………………………………………7分
（II）设平面的法向量为，.
由得.
令得. 即. …………………………………………..9分
又是平面的法向量，………………………………………………10分所以.
故二面角的平面角的余弦值为. ……………………………………12分【解析】略
6.（本小题满分14分）已知函数，，
，其中且.
（I）求函数的导函数的最小值；
（II）当时，求函数的单调区间及极值；
（III）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.
【答案】解：（I），其中.
因为，所以，又，所以，
当且仅当时取等号，其最小值为. ……………………………4分（II）当时，，. ………………………………………………………..6分
的变化如下表：
所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是. ……………………………………………………………….8分
函数在处取得极大值，在处取得极小值. ……………………………………………………………….10分
（III）由题意，.
不妨设，则由得. ……………12分
令，则函数在单调递增.
在恒成立.
即在恒成立.
因为，因此，只需.
解得.
故所求实数的取值范围为. …………………………………….14分
【解析】略。